第二节第二节:导数的运算导数的运算几个基本初等函数的导数；几个基本初等函数的导数；导数的四则运算法则；导数的四则运算法则；复合函数求导法复合函数求导法隐函数求导法；隐函数求导法；对数求导法；对数求导法；反函数求导法；反函数求导法；高阶导数；高阶导数；主要内容有：主要内容有：一、几个基本初等函数的导数一、几个基本初等函数的导数n幂函数的导数幂函数的导数n正弦函数和余弦函数的导数正弦函数和余弦函数的导数n对数函数的导数对数函数的导数n指数函数的导数指数函数的导数例如例如,解解更一般地更一般地即即例： 求求函数函数(n(n为为正整数正整数) )的导数的导数. .例：例：求函数求函数解故故同理同理，例例: :求求函数函数的的导数导数. .解解: :特别地，特别地，求求函数函数例例: :的的导数导数. .解:( (无穷小等价代换无穷小等价代换) )即即二、导数的四则运算法则二、导数的四则运算法则证：(2)(2)【推论推论】注意！例例： 求求的导数的导数. .解例. 设设求求解例例7 7解同理可得同理可得例例8 8解解同理可得同理可得例：求多项式函数例：求多项式函数练习：练习： 求函数求函数 的导数的导数证明：三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导( (链式法则链式法则) ).推广推广: : 设设即即 因变量对自变量求导等于因变量对中间变量因变量对自变量求导等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导求导，乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )注意：例例: :解 由上例可见，初等函数的求导必须熟悉由上例可见，初等函数的求导必须熟悉. . (a) (a)基本初等函数的导数公式；基本初等函数的导数公式； (b)(b)复合函数的分解；复合函数的分解； (c)(c)复合函数的求导公式复合函数的求导公式. .复合函数的分解过程熟悉后，可以不写复合函数的分解过程熟悉后，可以不写中间变量，而直接写出结果中间变量，而直接写出结果. .例:解练习：例：解解解解例：例： 定义:隐函数的显化问题问题: :隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导? ?如何求导如何求导? ?例如：例如：如何求导如何求导? ?四、隐函数的求导法则四、隐函数的求导法则隐函数求导法：n注意：注意：隐函数求导之后仍为隐函数隐函数求导之后仍为隐函数!例: 求由方程求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数的导数的导数解 解得解得由原方程知由原方程知1 1 对数求导法对数求导法2 2 适用范围适用范围: :先在先在 两边取对数两边取对数, ,然后利用隐函数的然后利用隐函数的 求导方法求出求导方法求出y y的导数的导数. .求幂指函数求幂指函数和和多个函数相乘的导数多个函数相乘的导数. .五、对数求导法五、对数求导法幂指函数求导：幂指函数求导：先两端取对数先两端取对数然后两端对然后两端对求导求导，得得，所以所以，例：解等式两边取对数得等式两边取对数得方法二：例17解 等式两边取对数得等式两边取对数得定理2. .即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .注意：的的均为求导，但意义不同均为求导，但意义不同. .六、反函数的求导法则六、反函数的求导法则证于是有于是有例18解同理可得同理可得例19:已知例：解：解：例:解:例例*：求关于求关于x的导数的导数:解：解：问题：变速直线运动的加速度问题：变速直线运动的加速度 设设七、高阶导数七、高阶导数( (higher higher derivativesderivatives) )记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数, 高阶导数求法举例由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数. .例:解例:解例：解例：解同理可得同理可得例:解例20：解：解： 例：例：求求y=1/x的的n阶导数。阶导数。 解：解：*莱布尼兹公式例*: 设设,求求解例*:解例* 试以试以导出导出解八、小结n熟练掌握基本初等函数的导数和求导四则运算法则；熟练掌握基本初等函数的导数和求导四则运算法则；n复合函数求导法则：先对外函数求导再对内函数求导复合函数求导法则：先对外函数求导再对内函数求导 即即n隐函数求导法则隐函数求导法则: 等式两边先关于等式两边先关于x求导，然后解出求导，然后解出 ；n对数求导法则：等式两边取对数，然后按照隐函数求导法对数求导法则：等式两边取对数，然后按照隐函数求导法进行求导，适用于幂指函数或者函数连乘积的形式；进行求导，适用于幂指函数或者函数连乘积的形式；n反函数求导法则，注意要带回本来的变量；反函数求导法则，注意要带回本来的变量；n掌握高阶导数的定义和求法；掌握高阶导数的定义和求法；作业nPage:6869 7-(2)、(6) （可以不做！可以不做！） 8 9-(2)、(3) 10-(2) 11(2)、(4) 下下 课课谢谢大家！谢谢大家！