第二章第二章 薄板小挠度弯曲的变分方薄板小挠度弯曲的变分方程及近似解法程及近似解法2021/3/111l薄板小挠度弯曲的变分方程薄板小挠度弯曲的变分方程lRitz法法lRitz法的应用举例法的应用举例lGalerkin法法lGalerkin法的应用举例法的应用举例第二章第二章 薄板小挠度弯曲的变分方程及近似薄板小挠度弯曲的变分方程及近似解法解法2021/3/112l建立薄板小挠度弯曲问题的变分方程，用变分法推导弹性力学问题的基本建立薄板小挠度弯曲问题的变分方程，用变分法推导弹性力学问题的基本方程和边界条件，并在此基础上发展一系列的近似解法，是解决弹性力学方程和边界条件，并在此基础上发展一系列的近似解法，是解决弹性力学问题的一个重要途径。问题的一个重要途径。l薄板小挠度弯曲问题的变形能与余变形能薄板小挠度弯曲问题的变形能与余变形能弹性体每单位体积变形能增量为：弹性体每单位体积变形能增量为：对于薄板小挠度弯曲问题，上式变为：对于薄板小挠度弯曲问题，上式变为：沿厚度积分，用曲率、扭率和弯矩、扭矩表示板单位沿厚度积分，用曲率、扭率和弯矩、扭矩表示板单位 面积上的应变能密度增量面积上的应变能密度增量把板的应变能密度看成是把板的应变能密度看成是 、 和和 的函数，应满足的函数，应满足2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程薄板小挠度弯曲的变分方程2021/3/113l由弯矩、扭矩以及曲率、扭率的表达式：由弯矩、扭矩以及曲率、扭率的表达式：l得到单位面积上的应变能密度为：得到单位面积上的应变能密度为：l把内力分量把内力分量 、 和和 看成是自变量，板的余变形能密度满看成是自变量，板的余变形能密度满足：足：l板的余变形能密度增量为：板的余变形能密度增量为：2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程薄板小挠度弯曲的变分方程2021/3/114l板的余应变能密度应满足：板的余应变能密度应满足：l所以有：所以有：l对于线弹性问题，变形能密度对于线弹性问题，变形能密度W与余变形能密度与余变形能密度We相等。相等。l在线弹性情况下，余变形能密度可以表示为：在线弹性情况下，余变形能密度可以表示为： 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程薄板小挠度弯曲的变分方程2021/3/115l几何可能解几何可能解 ：在面内关于：在面内关于x，y连续，且二阶可导，满连续，且二阶可导，满足所有的足所有的位移位移边界条件，可以由几何方程得到对应的边界条件，可以由几何方程得到对应的可能变可能变形形。l静力可能解：在面内满足与外力静力可能解：在面内满足与外力q平衡，满足所有的平衡，满足所有的力力边界条边界条件，由物理方程的到的变形不一定是几何可能的。件，由物理方程的到的变形不一定是几何可能的。l真实解真实解: 满足所有方程和边界条件。满足所有方程和边界条件。l运用最小位能原理推导薄板小挠度弯曲问题的微分方程和边运用最小位能原理推导薄板小挠度弯曲问题的微分方程和边界条件界条件l最小位能原理：在一切几何可能解中，真实解使位能取得最最小位能原理：在一切几何可能解中，真实解使位能取得最小值。小值。l对应几何可能解的位能表达式为：对应几何可能解的位能表达式为：lU是每单位体积的变形能，是每单位体积的变形能，Xi是体积力，是体积力， 为给定的边界力为给定的边界力 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程薄板小挠度弯曲的变分方程2021/3/116l对于薄板，板上作用与对于薄板，板上作用与z方向相同的分布载荷方向相同的分布载荷q，在给定位移边，在给定位移边界上，有界上，有 或或 。在力的边界上，。在力的边界上，给定弯矩给定弯矩 ， 给定等效剪力给定等效剪力 ，在，在k个未给定位移的角点个未给定位移的角点上，有给定的集中力上，有给定的集中力 。l用几何可能解表示的薄板的位能为：用几何可能解表示的薄板的位能为： 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程薄板小挠度弯曲的变分方程2021/3/117l真实解使位能的变分为零，对上式变分得真实解使位能的变分为零，对上式变分得薄板小挠度薄板小挠度弯曲的变分方程弯曲的变分方程。l其中单位面积变形能（变形能密度）的变分为：其中单位面积变形能（变形能密度）的变分为： 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程薄板小挠度弯曲的变分方程2021/3/118l由格林公式得：由格林公式得：l带入位能的变分得：带入位能的变分得： 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程薄板小挠度弯曲的变分方程2021/3/119l在位移边界上，几何可能解满足：在位移边界上，几何可能解满足： ，上一个，上一个式子可以进一步简化为：式子可以进一步简化为：l真实解应使：真实解应使： ，由于变分，由于变分 的任意性，真的任意性，真实解实解w应满足：应满足：l变分方程与薄板弯曲微分方程及相应边界条件是等价的。变分方程与薄板弯曲微分方程及相应边界条件是等价的。 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程薄板小挠度弯曲的变分方程2021/3/1110l运用最小余能原理运用最小余能原理 ，我们同样可以得到薄板弯曲基，我们同样可以得到薄板弯曲基本微分方程：本微分方程：l最小位能原理和最小余能原理得到的变分方程，与薄板小挠最小位能原理和最小余能原理得到的变分方程，与薄板小挠度弯曲的微分方程及边界条件是等价的，对于微分方程，我度弯曲的微分方程及边界条件是等价的，对于微分方程，我们可以采用双三角级数或单三角级数法来求解，对于变分方们可以采用双三角级数或单三角级数法来求解，对于变分方程，可以采用程，可以采用Ritz法、法、Galerkin法等近似解法求解。法等近似解法求解。 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程薄板小挠度弯曲的变分方程2021/3/1111l最小位能原理指出：在一切几何可能解中，真实解使得最小位能原理指出：在一切几何可能解中，真实解使得薄板的位能取得最小值。假设真实解的表达式为：薄板的位能取得最小值。假设真实解的表达式为：l其中其中 为满足所有位移边界条件的设定函数，而为满足所有位移边界条件的设定函数，而ai是待是待定常数，它应该满足：定常数，它应该满足：l因为因为 是任意的，故满足上式的条件是：是任意的，故满足上式的条件是：l如果如果 是完备函数族，且自由度是完备函数族，且自由度 ，则所得到的，则所得到的解是精确解。一般情况下，若给出合理的解是精确解。一般情况下，若给出合理的设定设定函数，则函数，则只需要几项上式就可以得到足够精度的解。只需要几项上式就可以得到足够精度的解。2.2 Ritz法法 方程变为代数方程方程变为代数方程把求把求w的问题转化的问题转化为求为求ai的问题，的问题，2021/3/1112l位能表达式写成关于挠度位能表达式写成关于挠度w的形式：的形式：l如果每个边都满足至少下面边界条件之一：如果每个边都满足至少下面边界条件之一：l则有：则有：l得得2.2 Ritz法法2021/3/1113l例例1 1：四边固支矩形薄板，利用：四边固支矩形薄板，利用Ritz法求解，承受均布法求解，承受均布载荷载荷q q，挠度假设为：，挠度假设为：l满足边界条件满足边界条件l将挠度表达式带入到位能表达式中，得到将挠度表达式带入到位能表达式中，得到2.3 Ritz法的应用法的应用2021/3/11142.3 Ritz法的应用法的应用2021/3/1115laij应满足：应满足：l即：即：l这是关于这是关于aij代数方程组，当代数方程组，当m=1, n=1, 时有时有2.3 Ritz法的应用法的应用2021/3/1116l对于方板对于方板a=b：l最大挠度发生在板的中点最大挠度发生在板的中点 l当当m=3, n=3时有时有l只要位移函数取得合适，只要位移函数取得合适，Ritz法具有足够的精度。增加法具有足够的精度。增加m，n精度可以得到进一步改善。精度可以得到进一步改善。2.3 Ritz法的应用法的应用2021/3/1117l例例2：两对边简支，一边固定，一边自由，：两对边简支，一边固定，一边自由，承受均布载承受均布载荷荷q q，挠度假设为：，挠度假设为：l满足所有位移边界条件满足所有位移边界条件 l代入到位能的表达式代入到位能的表达式2.3 Ritz法的应用法的应用2021/3/1118l真实解使得真实解使得 ，若，若m=1，得到关于，得到关于a1的代数方程的代数方程 ：l求解得：求解得： l所以挠度为：所以挠度为：2.3 Ritz法的应用法的应用2021/3/1119l在一切几何可能解中，真实解应是使位能的变分为零的在一切几何可能解中，真实解应是使位能的变分为零的解。薄板小挠度弯曲的变分方程为：解。薄板小挠度弯曲的变分方程为： l如果几何可能解在如果几何可能解在力的边界上力的边界上满足所有力的边界条件，满足所有力的边界条件，则位能的变分可进一步表达为则位能的变分可进一步表达为 ：2.4 Galerkin法法2021/3/1120l假设位移边界条件和力的边界条件均为齐次，假设位移边界条件和力的边界条件均为齐次，Galerkin法假设板的挠度为：法假设板的挠度为：l 满足所有的边界条件，满足所有的边界条件， ai是待定的系数，满足变分方是待定的系数，满足变分方程，即：程，即：l因为因为 是任意的所以有：是任意的所以有：l这是一个关于这是一个关于ai的代数方程组，求解可得的代数方程组，求解可得ai。2.4 Galerkin法法2021/3/1121l物理含义：物理含义： 在域内，近似的挠度不可能使得平衡方程在域内，近似的挠度不可能使得平衡方程 处处精确满足，但应该使残差值处处精确满足，但应该使残差值 在各个位移位移函数所做的功在整个域上的积分为零。在各个位移位移函数所做的功在整个域上的积分为零。2.4 Galerkin法法2021/3/1122l例例1 1：仍以四边固支矩形薄板为例，利用：仍以四边固支矩形薄板为例，利用Galerkin法求法求解，承受均布载荷解，承受均布载荷q q，挠度假设为：，挠度假设为：l满足全部边界条件满足全部边界条件2.4 Galerkin法的应用法的应用2021/3/1123l若只取：若只取：m=1, n=1m=1, n=1l代入代入l得到：得到：2.4 Galerkin法的应用法的应用2021/3/1124l作业作业14-52021/3/1125