第七节第七节 定积分的物理应用定积分的物理应用一、变力沿直线作功一、变力沿直线作功 二、液体对薄板的侧压力二、液体对薄板的侧压力 第五章第五章 三三、引力引力 ( (自学自学) )1设物体在连续变力设物体在连续变力 F(x) 作用下沿作用下沿 x 轴从轴从 xa 移动到移动到力的方向与运动方向平行力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功求变力所做的功 。在其上所作的功元在其上所作的功元素为素为因此变力因此变力F(x) 在区间在区间 上所作的功为上所作的功为一、变力沿直线作功一、变力沿直线作功 2例例1. 弹簧在拉伸过程中，需要的力弹簧在拉伸过程中，需要的力 F (单位：单位：N)与弹与弹簧的伸长量簧的伸长量 s (单位单位:cm)成正比，即成正比，即F=ks (k是比例常是比例常数数)如果把弹簧由原长拉伸如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所做的功。，计算所做的功。解：解：当弹簧从当弹簧从x拉伸至拉伸至x+dx，可认为外力近似于，可认为外力近似于F=kx于是外力做功元素于是外力做功元素 dW= kxdx而弹簧拉伸而弹簧拉伸6cm，从而从而3例例2.直径为直径为20cm、高为高为80cm的的圆柱体内充满压强为圆柱体内充满压强为 10N/cm2的蒸汽。设温度保持不变，要使蒸汽体的蒸汽。设温度保持不变，要使蒸汽体 积缩小一半，问需要做多少功？积缩小一半，问需要做多少功？ 解：解：建立坐标系如图所示，因为温度不变，建立坐标系如图所示，因为温度不变，当圆柱体的高减少当圆柱体的高减少xcm时的压强为时的压强为dxxyo80是定值。是定值。4解解: :则木板对铁钉的阻力为则木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为例例3. 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入时将铁钉击入1cm，若每次锤击所作的功相等，问，若每次锤击所作的功相等，问第第n次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？设设n次击入的总深度为次击入的总深度为h厘米厘米n次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为假如钉子钉入木板的深度为假如钉子钉入木板的深度为xcm而每次锤击所作的功相等而每次锤击所作的功相等所以所以n次击入的总深度为次击入的总深度为第第n次击入的深度为次击入的深度为5例例4.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图。建立坐标系如图。任取一小区间任取一小区间这薄层水的体积元素这薄层水的体积元素这薄层水吸出桶外所作的功这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为为故所求功为故所求功为( kJ )设水的密设水的密度为度为一蓄满水的圆柱形水桶高为一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为底圆半径为3m, 6作多少功作多少功 ? 内盛满了水内盛满了水,试问要将容器内的水全部吸出需试问要将容器内的水全部吸出需例例5. 有一半径为有一半径为 4 米开口向上的半球形容器米开口向上的半球形容器, 容器容器解解: 取坐标原点在球心取坐标原点在球心, x轴垂直向下建立坐标系轴垂直向下建立坐标系,Oxx x+dx7例例6. 半径为半径为R的球沉入水中的球沉入水中, 球的上部与水面相切，球球的上部与水面相切，球 的密度为的密度为1，现将球从水中取出，现将球从水中取出,需作多少功？需作多少功？ 相相应应于于区区间间x，x+dx的的球球体体中中的薄片的薄片(球台球台)的体积约为的体积约为 当当球球体体恰恰好好露露出出水水面面时时，这这一一薄薄片片在在水水面面以以上上移动的路程为移动的路程为R+x，解：解：建立坐标系如图所示。建立坐标系如图所示。克服重力做功为克服重力做功为O xR+x x水面水面x+dx由于球的比重与水相同，由于球的比重与水相同，球的这一部分的由球的这一部分的由x提升到水面不做功提升到水面不做功。奇函数奇函数8二、液体对薄板的侧压力二、液体对薄板的侧压力 压力压力=压强压强受力面积受力面积= g h受力面积受力面积例例7. 的的液体液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力。求桶的一个端面所受的侧压力。 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 所论半圆的所论半圆的方程为方程为一水平横放的半径为一水平横放的半径为R 的圆桶的圆桶,内盛半桶密度为内盛半桶密度为 小窄条上各点的压强小窄条上各点的压强利用对称性利用对称性 , 侧压力元素侧压力元素端面所受侧压力为端面所受侧压力为9说明说明: 当桶内充满液体时当桶内充满液体时,小窄条上的压强为小窄条上的压强为侧压力元素侧压力元素故端面所受侧压力为故端面所受侧压力为奇函数奇函数10例例8. 有等腰梯形水闸有等腰梯形水闸, 上底长上底长10m, 下底下底6m, 高高20m。 试求当水面与上底相齐时试求当水面与上底相齐时, 闸门一侧所受的水压力。闸门一侧所受的水压力。 解：解：建立坐标系如图所示。建立坐标系如图所示。直线直线AB的方程为的方程为xB(20,3)A(0,5)Oy闸门上对应于区间闸门上对应于区间x，x+dxxx+dx窄条形所受的压力约为窄条形所受的压力约为11例例10. 有等腰梯形水闸有等腰梯形水闸, 上底长上底长6m, 下底下底2m, 高高10m。 试求当水面位于上底下试求当水面位于上底下2 m时时, 闸门所受的水压力。闸门所受的水压力。 解：解：建立坐标系如图所示。建立坐标系如图所示。直线直线AB的方程为的方程为x2B(10,1)A(0,3)Oy闸门上对应于区间闸门上对应于区间x，x+dxxx+dx窄条形所受的压力约为窄条形所受的压力约为12例例11. 设某水库闸门为椭圆形水泥板，椭圆的长轴平行设某水库闸门为椭圆形水泥板，椭圆的长轴平行 于水面且离水面的距离为于水面且离水面的距离为h，求闸门所受的压力。求闸门所受的压力。 解：解：建立坐标系如图所示。建立坐标系如图所示。椭圆的方程为椭圆的方程为于是窄条所受的水压力约为于是窄条所受的水压力约为y由题设，由题设，h b在在y轴任取区间轴任取区间 y，y+dy椭圆板上对应窄条的面积的近似值为椭圆板上对应窄条的面积的近似值为2xdy则所求水压力为则所求水压力为xbO-ba-ah奇函数奇函数yy+dy1314例例. 设一锥形贮水池，深设一锥形贮水池，深15米，口径米，口径20米，盛满米，盛满 水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？ 解：解：任取一小区间任取一小区间x, x+dx，则直线则直线AB的方程为的方程为建立坐标系如图所示。建立坐标系如图所示。xx+dxO A(0,10) yxB(15,0)这薄层水的体积元素为这薄层水的体积元素为把这一部分水吸出所需做的功元素为把这一部分水吸出所需做的功元素为 15例例. 一底为一底为10cm, 高为高为6cm的等腰三角形薄片的等腰三角形薄片,铅直地铅直地 沉入水中沉入水中,顶在上顶在上,底边在下且与水面平行底边在下且与水面平行,而顶离而顶离 水面水面3cm时时, 试求它的一个侧面所受的水压力。试求它的一个侧面所受的水压力。解：解：建立坐标系如图所示。建立坐标系如图所示。直线直线AB的方程为的方程为xx+dxxB(9,5)A(3,0)Oy16