第12章 多元函数微分学的MATLAB求解编者 Outlinen12.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念n12.2 偏导数偏导数n12.3 全微分全微分n12.4 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用n12.5 方向导数与梯度方向导数与梯度n12.6 多元函数的极值多元函数的极值n12.7 多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式n12.8 最小二乘法及其最小二乘法及其MATLAB实现实现12.1 多元函数的基本概念1.1.平面点集与平面点集与n元元空间空间 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合，称为平面点集，记作 我们用 表示 n 元有序实数组 的全体所构成的集合，为了在集合 中的元素之间建立联系，在 中定义线性运算如下：设 为 中任意两个元素， ，规定这样定义了线性运算的集合 称为 n 维空间。2.2.多元函数的定义多元函数的定义设 D D 是 的一个非空子集,称映射 为定义在 D D 上的二元函数，通常记为 ，或其中点集 D D 称为该函数的定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量。一般地，将上述定义中的平面点集 D D 换成 n 维空间 内的点集 D D ，映射 就称为定义在 D D 上的 n 元函数，通常记为或简记为 3.3.多元函数的多元函数的极限极限 设二元函数 在点 的某邻域内有定义（ 可以除外），如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正数 ，使当 时，恒有 成立，则称当 时，函数 以常数 A 为极限，记作 或 为了区别于一元函数的极限，我们将二元函数的极限叫做二重极限。4.4.多元函数的多元函数的连续性连续性 设二元函数 满足以下条件：在点 的某邻域内有定义；极限 存在；则称函数 在点 连续。如果函数 在其定义域 D 的每一点都连续，那么就成函数 在 D 上连续，或者称 是 D 上的连续函数。二元连续函数在图形上表现为一个无空隙、无裂缝的曲面。与闭区间上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上连续的多元函数具有如下性质。有界性与最大最小值定理有界性与最大最小值定理 在有界闭区域 上的多元连续函数，必定在 上有界，且能取得它的最大值和最小值。介值定理介值定理 在有界闭区域 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。12.2 偏导数1.1.偏导数的偏导数的定义定义 设函数 在点 的某一领域内有定义，当 固定在 而 在 处有增量 时，相应的函数有增量如果 存在，则称此极限为函数 在点 处对 x 的偏导数，记作 或 2.2.偏导数的几何偏导数的几何意义意义 以二元函数 为例，其在点 的偏导数有下属几何意义。设 为曲面 上的一点，过 作平面 ，截此曲面得一曲线，此曲线在平面 上的方程为 ，则导数 ，即偏导数 ，就是这曲线在点 处的切线 对 x 轴的斜率如图所示。 图 偏导数的几何意义 3.3.偏导数的偏导数的MATLABMATLAB符号符号求解求解在MATLAB中，求解多元函数的偏导数仍然采用diff函数。例：例：设 ，求 及 。 如果函数 的两个二阶混合偏导数 在区域 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。4.4. 隐函数的隐函数的偏导数偏导数 设函数 在点 的某一邻域内具有连续偏导数，且 ， 则方程 在点 的某一领域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 ，它满足条件 ，并且类似地，扩展到 n 元隐函数 ，则可以通过隐函数求出自变量之间的偏导数。具体可以用下面的公式求出 ：12.3 全微分1.1. 全微分的全微分的定义定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果函数在点 , 的全增量 可表示为其中 不依赖于 而仅与 有关， ，则称函数 在点 可微分，而 称为函数 在点 的全微分，记作 ，即 如果函数 在区域 内各点处都可微，那么称这函数在 内可微分。下面讨论函数 ， 在点 可微分的必要条件和充分条件。必要条件必要条件 如果函数 在点 可微分，则该函数在点 的偏导数 必存在，且函数 在点 的全微分为充分条件充分条件 如果函数 的偏导数 在点 连续，则函数在该点可微分。2.2.全微分的全微分的应用应用 由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在的充分条件可知，当二元函数 在点 的两个偏导数 连续，并且 都较小时，就有近似等式上式也可以写成12.4 全微分1.1.空间曲线的切线与空间曲线的切线与法平面法平面 设空间曲线 的参数方程为 这里假定上述方程的三个函数都在 上可导，且三个导数不同时为零。现在要求曲线 在其上一点 处的切线及法平面方程。设与点 对应的参数为 ，记 ，则向量 就是曲线 在点 处的一个切向量，从而曲线 在点 ， 处的切线方程为 通过点 且与切线垂直的平面称为曲线 在点 的法平面，它是通过点 且以 为法向量的平面，因此法平面方程为 2 2. .曲面的切平面与曲面的切平面与法线法线 我们先讨论由隐式给出曲面方程 的情形。设曲面 由上述隐式方程给出， 是该曲面 上的一点，并设函数 的偏导数在该点连续且不同时为零。在该曲面 上，通过点 M任意引一条曲线 。曲线上通过点 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一个平面上，这个平面称为曲面 在点 M 的切平面。通过点 M 且垂直于上述切平面的直线称为曲面在该点的法线。切平面方程：法线方程 ： 12.5 方向导数与梯度1.1.方向导数方向导数 设 是 平面上以 为始点的一条射线， 是与 同方向的单位向量，射线 的参数方程为设函数 在点 的某个邻域内有定义， 为 上另一点，且 P 在该邻域内。如果函数增量： 与 P 到 的距离 的比值 当 P 沿着 趋向于 时极限存在，则称此极限为函数 在点 沿方向 的方向导数，记作 则：2.2.梯度梯度 与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度，在二元函数的情形，设函数 ： 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 ，都可定义出一个向量 这向量称为函数 在点 的梯度记作 或 即12.6 多元函数的极值1.1.多元函数的极值及其求多元函数的极值及其求法法 设函数 的定义域为 D ， 为 D内一点，若存在 的某个邻域 ，使得对于该邻域内异于 的任何点 ，都有则称函数 在点 有极大（小）值 ，点 称为函数 的极大（小）值点。极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点。具有二阶连续偏导数的函数 的极值的求法：第一步 解方程 求得一切实数解，即求得一切驻点；第二步 对于每一个驻点 ，求出二阶偏导数的值 ；第三步 定出 的符号，按照函数取得极值的充分条件判定 是不是极值，是极大值还是极小值。2.2.条件极值条件极值 对于对自变量有附加条件的极值称为条件极值。对于有些条件极值，我们可以通过代入手段将其化为无条件极值，但很大一部分是不能转化的，此时我们可以采用拉格朗日乘数法求解。要找函数 在附加条件 下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数 其中 为参数，求其对 的一阶偏导数，并使之为零，然后与 联立起来： 由该方程组解出 及 ，这样得到的 就是函数 在附加条件 的可能极值点12.7 多元函数的泰勒公式设 在点 的某一邻域内连续且有直到 阶的连续偏导数， 为该邻域内任一点, 则有其中记号 表示 表示上述公式称为二元函数 在点 处的二元 阶泰勒公式。12.8 最小二乘法及其MATLAB实现设有一系列实验数据 及各点的权系数 （可以是实验的次数或 的可信程度），要求在函数类 中求函数满足式中 为 中任意函数，称这种函数近似表达式的方法为数据（曲线）的最小二乘拟合，称 为最小二乘解。谢谢大家！