在土木工程中常见的平面桁架、水坝、挡土墙等，作用在其上的平面力系都是平面一般力系。2.5 平面一般力系的平衡平面一般力系的平衡返回一、一、 平面一般力系的平衡条件平面一般力系的平衡条件物体在平面一般力系作用下处于平衡状态，该物体就不能产生移动和转动，因此平面一般力系的平衡条件为：力系中所有各力在两个坐标轴中x、y 每一轴上的投影的代数和都等于零；力系中所有各力对任一点的力矩的代数和等于零。即上式称为平面一般力系平衡方程的基本形式，其中前两个称为投影方程，后一个称为力矩方程。我们也可以理解为：物体在力系的作用下，不能沿x 轴和y 轴方向产生移动，并且物体不能绕任一点转动。平面一般力系的平衡方程除了上面的基本形式外，还有另一种表示形式（二力矩形式），即其中其中A、B 两点的连线不能与两点的连线不能与x 轴垂直。轴垂直。平面一般力系的平衡方程虽有两种形式，但无论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，因此只能求解三个未知量。在实际解题时，所选的平衡方程形式应尽可能使计算简便，力求在一个方程中只包含一个未知量，避免求解联立方程。记住：二力矩形式的限制条件是记住：二力矩形式的限制条件是A、B 两点的连线不与两点的连线不与x 轴轴垂直。垂直。二、 平面一般力系平衡方程的应用例1:悬臂梁AB 上受到集度为q q 的均布荷载作用，并在B 端作用一集中力F F，如图a 所示。设梁长l=2 m，q = 4 kN / m，F = 10 kN，试求固定端A 的约束力。由 Fx = 0 得 FAx = 0由 Fy = 0， FAy - ql - F = 0得 FAy = ql +F = = 4 2 +10 = 18 kN （）由 MA（F） = 0 得解:画出AB的受力图如图（b）所示建筑工程中的雨篷、阳台等，一端牢固地嵌入墙内，另一端无约束，这类结构称为悬臂结构。在力学计算时，都作为悬臂梁来考虑。悬臂结构因其受力情况的特殊性，比较容易发生倒塌事故。雨篷由雨篷板和雨篷梁两部分组成，如下图所示。雨篷板上的荷载，可能使整个雨篷绕梁底外缘A 轴转动而倾覆。雨篷板上的荷载对A 的力矩，称为倾覆力矩，用M倾表示。但作用于雨篷梁上的墙体重量以及其他可能压在雨篷梁上的荷载，则抵抗倾覆。雨篷梁上所有荷载的合力W对A 的力矩，称为抗倾覆力矩，用M抗表示。为了保持雨篷的稳定，规范要求抗倾覆安全因数不小于1.5，即要求M抗 1.5 M倾。如抗倾覆力矩太小，应增加雨篷梁压在墙体内的长度，以增加压在梁上的墙体重量，或使雨篷梁与周围的构件相连接。工程中发生的雨篷、阳台等结构的倒塌事故中，属抗倾覆安全因数太小造成倒塌的较多见；另外，如受力钢筋放到下部或被踩到下部、漏放钢筋、钢筋长度不足或未按要求连接好、拆模时间过早等，也易使悬臂结构断裂倒塌，这里不再详述。总之，由于悬臂结构受力情况的特殊性，在设计和施工时要特别注意。例2：有一个简支刚架如下图a 所示，承受水平荷载F = 50 kN，求支座反力。解 ：（ 1） 画受力图如图b 所示。（ 2） 列平衡方程求解支座反力。由 Fx = 0，FAx + F = = 0得FAx = -F = = -50 kM （）（b）（a）（1） 根据题意选取适当的研究对象。（2） 对所选的研究对象进行受力分析，画出受力图。要根据各种约束的性质来画约束力。当约束力的指向不能确定时，可以任意假设其指向。若计算结果为正，则表示假设的指向与实际指向一致；若计算结果为负，则表示假设的指向与实际指向相反。画受力图时，注意不要遗漏作用在研究对象上的主动力。注意：当三个未知量中有两个交点时（如简支梁、外伸梁、刚架中铰支座的约束力），一般选用二力矩形式，且以两个未知量的交点为矩心建立力矩方程求解。（3） 根据具体情况，选用适当形式的平衡方程，最好是一个方程只包含一个未知量，这样可免于解联立方程，从而简化计算。为此，要选取适当的坐标轴和矩心。当所选的坐标轴与未知力作用线垂直时，该未知力在此轴上的投影为零，可使所建立的投影方程中未知量个数减少。矩心选在两个未知力的交点上，这样通过矩心的这两个未知力的力矩等于零，可使力矩方程中只含有一个未知量。（4） 在求出所有未知量后，可利用其他形式的平衡方程对计算结果进行校核。平面一般力系平衡问题的解题步骤和方法平面任意力系平衡计算分析举例平面任意力系平衡计算分析举例楼房主梁AB 两端支承在墙里（图a），可简化为两端分别用固定铰支座和可动铰支座支承的梁（图b、c）。主梁自重及楼板传来的均布荷载合计为q = 20 kN / m，由次梁传来的集中荷载F = 200 kN,试求墙体两端给梁的支座反力。读者自己分析计算读者自己分析计算三、三、 物体系统的平衡物体系统的平衡在实际工程中，经常遇到由几个物体通过一定的约束联系在一起的物体系统。例如，土建工程中常用的三铰拱（下图），由左、右两半拱通过铰C 连接，并支承在A、B 两固定铰支座上组成。当系统平衡时，组成系统的每一个物体也必须处于平衡状态。所以，可取整个系统中某一部分为研究对象，应用相应的平衡方程求解未知量。例：组合梁的支承及荷载情况如图（a） 所示。已知F1 = 10 kN，F2 = 20 kN，试求支座A、B、D 的约束力及铰C 处的相互作用力。梁CD、梁AC 及整体梁的受力图如图b、c、d 所示。各约束力的指向都是假定的，但约束力FFCx、FFCy 必须分别与F FCx、F FCy 等值、反向、共线。由三个受力图可看出，在梁CD 上只有三个未知力，而在梁AC上由五个未知力、整体梁上有四个未知力。因此，应先取梁CD 为研究对象，求出F FCx、F FCy、F FND，然后再考虑梁AC 或整体梁平衡，就能解出其余未知力。解：组合梁由梁AC 和CD 两段组成，每段梁上的力系都是平面一般力系，因此可列六个独立的平衡方程。未知量也有六个：A、C 处各二个，B、D 处各一个。（1） 取梁CD 为研究对象,受力图如图（b）（2） 取梁AC为研究对象,受力图如图(c)求解物体系统平衡问题的要领如下：（1） “拆”：将物体系统从相互联系的地方拆开，在拆开的地方用相应的约束力代替约束对物体的作用。这样，就把物体系统分解为若干个单个物体，单个物体受力简单，便于分析。（2）“ 比”：比较系统的独立平衡方程个数和未知量个数，若彼此相等，则可根据平衡方程求解出全部未知量。一般来说，由n 个物体组成的系统，可以建立3n 个独立的平衡方程。（3） “取”：根据已知条件和所求的未知量，选取研究对象。通常可先由整体系统的平衡，求出某些待求的未知量，然后再根据需要适当选取系统中的某些部分为研究对象，求出其余的未知量。（4） 在各单个物体的受力图上，物体间相互作用的力一定要符合作用与反作用关系。物体拆开处的作用与反作用关系，是顺次继续求解未知力的“桥”。在一个物体上，可能某拆开处的相互作用力是未知的，但求解之后，对与它在该处联系的另一物体就成为已知的了。可见，作用与反作用关系在这里起“桥”的作用。（5） 注意选择平衡方程的适当形式和选取适当的坐标轴及矩心，尽可能做到在一个平衡方程中只含有一个未知量，并尽可能使计算简化。 相关链接2008 年3 月15 日，纽约曼哈顿一建筑工地的吊车坠落事故（下图）最终造成7 人死亡，24 人受伤。事故发生在当地时间下午2 点30 分左右，悬在大厦一侧的吊车突然自15 层高处落下，造成旁边一座4 层建筑物坍塌，其他3座建筑物受损。 经初步调查发现，事故原因是工人在安装一个用以固定起重机的钢圈时发生坠落，并砸掉处在低位的一个起到支撑起重机作用的钢圈，使起重机失去平衡坠向旁边的建筑物。钢圈失去约束作用，没有了支座反力，起重机失去平衡，倒塌。小结一、 平面汇交力系的平衡平面汇交力系平衡的条件是合力FR 为零。平面汇交力系中各分力在两个坐标轴上的投影的代数和都等于零二、 力矩平面力偶系的平衡（1） 力矩是力使物体绕矩心转动效应的度量。力矩的大小等于力的大小与力臂的乘积。在平面问题中，力矩是代数量，一般规定力使物体绕矩心逆时针方向转动为正；反之为负。力矩的大小和转向不仅与力有关，而且还与矩心的位置有关。返回（2） 力偶是由等值、反向、不在同一作用线上平行的两个力组成的力系。力和力偶都是组成力系的基本元素。力偶没有合力，所以不能与一个力来代替，因而也不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。力偶对物体的转动效应完全决定于力偶矩Me，Me = Fd。只要力偶矩保持不变，力偶可在其所作用的平面内移动和转动，也可以相应地改变组成力偶的力的大小和力偶臂的长短，都不会改变力偶对物体的转动效果。力偶在任一轴上的投影都等于零。力偶的两个力对平面内任一点的矩等于力偶矩，且与矩心的位置无关。（3） 平面力偶系的平衡条件是各力偶矩的代数和为零，即 Mei = 0三、 平面一般力系的平衡（1） 基本形式（2） 二力矩形式其中其中A、B 两点两点的连线不与的连线不与x 轴轴垂直垂直平面一般力系只有三个独立的平衡方程，可求解三个未知量。对于单个物体或物体系统的平衡问题，可应用平面力系的平衡方程求解出约束力和物体间的相互作用力。要恰当地选取研究对象，正画出各物体的受力图。在解题时要注意选择平衡方程的形式、坐标轴和矩心，并尽可能做到一个平衡方程只有一个未知量，以简化计算。课堂练兵课堂练兵1、已知F1 = F2 = 200 N，F3 = F4 = 100 N，各力的方向如图所示。试求各力在x轴和y 轴上的投影。2、图示支架由AB、AC构成，A、B、C三处均为铰接，在点A悬挂重为W = 10 kN的重物，试求图杆AB、AC所受的力，并说明它们是拉力还是压力。3、计算下列各图中力F对点O之矩。4、求图示各梁的支座反力。5、求图示组合梁的支座反力。