必修必修5 5 第三章第三章 不等式不等式基本不等式基本不等式威威县第一中学第一中学刘霄刘霄这是北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。( (一）创设情境，提出问题一）创设情境，提出问题思考思考1 1：这会会标中含有怎中含有怎样的几何的几何图形？形？思考思考2 2：你能否在：你能否在这个个图案中找出一些相等关系或案中找出一些相等关系或不等关系？不等关系？ab（1 1）设直角三角形的两条直角直角三角形的两条直角边长为a a、b b（abab）, ,那么正方形的那么正方形的边长为（），面），面积S1S1为（）（2 2）4 4个直角三角形的面个直角三角形的面积之和之和S2S2为（）（3 3）S1S1和和S2S2有什么大小关系？（有什么大小关系？（)ADBCEFGHbaE(FGH)abABCD思考：此思考：此时S1S1和和S2S2的关系是什么？的关系是什么？重要不等式：重要不等式： 一般地，一般地，对于任意于任意实数数a a、b b，我，我们有有当且当且仅当当a=ba=b时，等号成立。，等号成立。思考：你能思考：你能给出重要不等式的出重要不等式的证明明吗？证明：明：作差法作差法替换后得到：替换后得到： 即：即：即：即：1 1、基本不等式、基本不等式（1）（2）在数学中，）在数学中， 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；因此基本不等式可的几何平均数；因此基本不等式可叙叙 述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数。均数。( (二）师生互动，探究新知二）师生互动，探究新知证明：要证证明：要证 只要证只要证要证要证，只要证，只要证要证要证，只要证，只要证显然显然, 是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时, 中的等号成立中的等号成立. 分析法分析法思考：你能思考：你能给出基本不等式的出基本不等式的证明明吗？思考：你能思考：你能给出基本不等式的几何意出基本不等式的几何意义吗？ABCDEabO如如图,AB,AB是是圆的直径的直径,O,O为圆心，心，点点C C是是ABAB上一点上一点,AC=,AC=a a,BC=,BC=b b.过点点C C作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦DE,DE,连接接ADAD、BDBD、OD.OD.RtACDRtDCB，如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_思考：你能思考：你能给出基本不等式的几何意出基本不等式的几何意义吗？ABCDEabO如如图,AB,AB是是圆的直径的直径,O,O为圆心，心，点点C C是是ABAB上一点上一点,AC=,AC=a a,BC=,BC=b b.过点点C C作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦DE,DE,连接接ADAD、BDBD、OD.OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD例1（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？分析：对于（1），矩形菜园的面积是确定的，要求周长的最小值，由题意知长和宽之积是确定的，要求长和宽之和的最小值。解：设矩形菜园的长和宽分别为x米、y米，则xy=100,篱笆的长为2(x+y)由基本不等式得 则所以当且仅当x=y=10时等号成立。( (三）例题讲解三）例题讲解例1（2）一段长为36 米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?分析：对于（2），矩形菜园的周长是确定的，要求面积的最大值，由题意知长和宽之和是确定的，要求长和宽之积的最大值。解：设矩形菜园的长和宽分别为x米、y米，则2(x+y)=36,x+y=18由基本不等式可得则当且仅当x=y=9时等号成立。( (三）例题讲解三）例题讲解【教师总结】基本不等式成立的条件：（一正，二定，【教师总结】基本不等式成立的条件：（一正，二定， 三相等）三相等） x x，y y必须是正数必须是正数xx与与y y的积或和必须是常数（和定积最大，积定和最小）的积或和必须是常数（和定积最大，积定和最小）等号成立的条件必须存在等号成立的条件必须存在( (三）例题讲解三）例题讲解例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米。如果池底每平方米的造价是150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？解：设底面的长和宽分别为x、y，水池的总造价为z,则 xy=4800/3=1600当且仅当x=y=40时等号成立。( (三）例题讲解三）例题讲解1 1x0x0，当，当x x取什么值时，取什么值时，y=x+1/xy=x+1/x的值最小？最小值是多的值最小？最小值是多少？少？2 2已知直角三角形的面积等于已知直角三角形的面积等于5050，两条直角边各为多少，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？时，两条直角边的和最小，最小值是多少？3 3用用2020米长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎么米长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎么折？折？( (四）学生练习四）学生练习1. 重要不等式重要不等式2. 基本不等式基本不等式 （1）基本不等式）基本不等式 （2）几何平均数、算术平均数）几何平均数、算术平均数 （3）基本不等式的证明）基本不等式的证明 （4）基本不等式的几何意义）基本不等式的几何意义 ( (五）课堂总结五）课堂总结1 1x0x0，当，当x x取什么值时，取什么值时，y=4x+9/x y=4x+9/x 的值最小？的值最小？最小值是多少？最小值是多少？2 20x10x1，当，当x x取什么值时，取什么值时，y=x(1-x)y=x(1-x)的值最大的值最大？最大值是多少？最大值是多少？( (六）当堂检测六）当堂检测1 1课本课本100100页习题页习题3.4A3.4A组组1,2,3,41,2,3,42 2x0x0时，时， y=x+1/x y=x+1/x的最大值是多少？的最大值是多少？此时此时x x取什么值？取什么值？( (七）课后作业七）课后作业