第五节第五节 重力和惯性力同时作用下液体的相对平衡重力和惯性力同时作用下液体的相对平衡 以等角速旋转容器中的相对平衡液体为例，讨论相对平衡液体以等角速旋转容器中的相对平衡液体为例，讨论相对平衡液体问题的一般分析方法。问题的一般分析方法。 如如图图，一一盛盛有有某某种种液液体体的的圆圆柱柱形形容容器器，以以等等角角速速度度 绕绕其其中中心心铅铅直直轴轴旋旋转转。液液体体达达到到平平衡衡时时。液液面面为为一一旋旋转转曲曲面面。将将直直角角坐坐标标系系的的原原点点选选在在液液面面中中心心，并并取取 z z 轴轴竖竖直直向向上上与与转转轴轴重重合合。这这时时液液体体中中任任一一质质点点A A受受到到的的单单位位质质量量力力在在三三个个坐坐标轴方向上的分量分别为标轴方向上的分量分别为 第第4讲讲1将它们代入欧拉微分方程式得将它们代入欧拉微分方程式得式中式中C为积分常数。将边界条件为积分常数。将边界条件x=y=z=0时，时，p=p0代入上式得代入上式得 C=p0，则液体内部静水压强的分布规律为，则液体内部静水压强的分布规律为 作等角速度旋转的相对平衡液体，其内部静水压强的分布除作等角速度旋转的相对平衡液体，其内部静水压强的分布除与与z z轴有关外，还同时与轴有关外，还同时与x x、y y轴有关，即轴有关，即 在液体内对上式积分得在液体内对上式积分得(A)2讨论：讨论： 可见，在等角速度旋转的相对平衡液体中，铅直方向上的静可见，在等角速度旋转的相对平衡液体中，铅直方向上的静水压强分布规律与静止液体中静水压强分布规律相同。水压强分布规律与静止液体中静水压强分布规律相同。 可以证明，在重力和惯性力同时作用的相对平衡液体中，铅直可以证明，在重力和惯性力同时作用的相对平衡液体中，铅直方向上的静水压强分布规律都与满足上式。方向上的静水压强分布规律都与满足上式。 （1）设液面的）设液面的 z 轴坐标用轴坐标用zs表示，则将表示，则将 p=p0 代入上代入上(A)式可得液式可得液面方程为面方程为 表明，液面为一旋转抛物面。因为液体中任一点的水深表明，液面为一旋转抛物面。因为液体中任一点的水深 ，则由上，则由上(A)式可得式可得 (A)3 该式表明，在等角速度旋转的相对平衡液体中，等压面为一该式表明，在等角速度旋转的相对平衡液体中，等压面为一系列平行于液面的旋转抛物面。系列平行于液面的旋转抛物面。 注意，上述规律与水静力学基本方程一样，也必须是在同种注意，上述规律与水静力学基本方程一样，也必须是在同种相互连通的平衡液体中才成立。相互连通的平衡液体中才成立。 （2）将）将P = 常数代入上常数代入上(A)式得等压面方程为式得等压面方程为4平面上静水总压力的计算问题就是确定其大小和作用点。平面上静水总压力的计算问题就是确定其大小和作用点。 第六节第六节 作用在平面上的静水总压力作用在平面上的静水总压力 一、解析法一、解析法如如图图，AB为为一一与与水水平平面面成成 角角的的任任意意形形状状倾倾斜斜平平面面，其其左左侧侧承承受受水水压压，水水面面与与大大气气相相通通。设设该该平平面面面面积积为为A，形形心心点点为为C。取取平平面面AB的的延延伸伸面面与与水水面面的的交交线线为为ox轴轴，方向垂直纸面向里，方向垂直纸面向里，oy轴沿轴沿着着AB平面的倾斜方向向下。为使受压平面平面的倾斜方向向下。为使受压平面AB能展示出来，将其绕能展示出来，将其绕oy轴旋转轴旋转90 。51 1静水总压力静水总压力P P的大小的大小由由于于受受压压平平面面AB两两侧侧都都同同时时承承受受着着大大气气压压作作用用，求求静静水水总总压压力力时时，可可只只计计算算相相对对压压强强引引起起的的作作用用。在在平平面面AB上上任任取取一一点点M，围围绕绕点点M取取一一微微元元面面积积dA。设设M点点在在水水面面下的淹没深度为下的淹没深度为h，则，则 dA面上受到的静水压力为根据平行力系的求和原理，整个面上受到的静水压力为根据平行力系的求和原理，整个AB面面上静水总压力上静水总压力P的大小为的大小为 6 为受压平面为受压平面AB对对ox轴的静矩。由理论力学可知，其值轴的静矩。由理论力学可知，其值等于受压面面积等于受压面面积A与其形心点坐标与其形心点坐标 yc 的乘积。故的乘积。故式中式中p pc c和和h hc c分别为受压面分别为受压面ABAB形形心点心点C C处的静水压强和处的静水压强和C C点在水点在水面下的淹没深度。面下的淹没深度。 当当受受压压平平面面形形心心在在液液面面下下的的淹淹没没深深度度h hc c不不变变时时，只只要要受受压压面面积积不不发发生生变变化化, ,静静水水总总压压力力P P值值就就不不会会随随受受压压面面的的倾倾斜角斜角 而变化而变化. .72 2静水总压力静水总压力P P的作用点的作用点 静水总压力静水总压力P P的作用线与受压平面的交点称为静水总压力的的作用线与受压平面的交点称为静水总压力的作用点，又称为压力中心，常以作用点，又称为压力中心，常以D D表示。表示。yD的的确确定定 如如图图，根根据据理理论论力力学学中中的的合合力力矩矩定定理理（即即合合力力对对某某一一轴轴的的力力矩矩等等于于合合力力的的各各分分力力对对同同一一轴轴力力矩矩的的代代数数和和），对对oxox轴取力矩得轴取力矩得 为受压面为受压面ABAB对对oxox轴的惯性矩，则轴的惯性矩，则 8若令若令IC C为受压面为受压面ABAB对通过其形心对通过其形心C C并与并与oxox轴平行的直线为轴的惯性轴平行的直线为轴的惯性矩，则根据理论力学中的惯性矩平行移轴定理得矩，则根据理论力学中的惯性矩平行移轴定理得 所以所以 式中的式中的y yD D和和y yC C分别表示从静水分别表示从静水总压力的作用点总压力的作用点D D和受压平面和受压平面的形心的形心C C沿着受压平面到自由沿着受压平面到自由液面的距离液面的距离 上式就是计算上式就是计算y yD D的常用公式，因为式中的的常用公式，因为式中的总是正值，故总是正值，故9yDyC。这说明静水总压力这说明静水总压力P P的作用点的作用点D D总是位于受压平面总是位于受压平面的形心点的形心点C C之下之下 xD的确定的确定 作用点作用点D的横坐标的横坐标xD的确定方法与的确定方法与yD类似。在类似。在工程实际中，受压平面常常具有纵向（即平行于工程实际中，受压平面常常具有纵向（即平行于oy轴方轴方向）对称轴。这时，总压力的作用点向）对称轴。这时，总压力的作用点D必位于该对称轴必位于该对称轴之上。故当之上。故当yD确定之后，总压力作用点确定之后，总压力作用点D的位置就完全确的位置就完全确定了，可无需计算定了，可无需计算.常见受压平面的面积常见受压平面的面积A A，形心，形心y yC C和惯性矩和惯性矩IC C的计算公式的计算公式见下表见下表 10受压平面形状受压平面形状面积面积A A形心置形心置y yC C惯性矩惯性矩IC C11 说说明明，上上述述公公式式只只适适用用于于受受压压平平面面一一侧侧有有同同种种液液体体，并并且且液液面面相相对对压压强强为为零零（即即为为自自由由液液面面）的的情情况况。当当不不符符合合这这些些条条件件时时，应注意正确使用这些公式。应注意正确使用这些公式。 例例如如，若若受受压压平平面面一一侧侧为为同同种种液液体体，但但液液面面的的相相对对压压强强不不为为零零，公公式式中中的的hc应应取取受受压压平平面面形形心心点点C在在测测压压管管液液面面下下的的淹淹没没深深度度，式式中中的的yC和和yD则则应应取取受受压压平平面面的的形形心心点点C和和静静水水总总压压力力的的作作用用点点D沿受压平面到测压管液面的距离沿受压平面到测压管液面的距离.二、图解法二、图解法 图解法就是利用静水压强分布图求解平面上静水总压力的图解法就是利用静水压强分布图求解平面上静水总压力的方法。计算底边与液面平行的矩形平面上的静水总压力时，采方法。计算底边与液面平行的矩形平面上的静水总压力时，采用此法很方便。用此法很方便。 12如如图图为为与与水水平平面面成成 角角的的矩矩形形平平面面闸闸门门，其其宽宽度度为为b，高高为为l，上上边边缘缘与与自自由由水水面面齐齐平平，闸闸前前水水深深为为H。现现讨讨论论该该闸闸门门上上静静水水总总压压力力P的计算问题。的计算问题。 1 1静水总压力静水总压力P P的大小的大小式中式中恰好为闸门上静水压强分布图的面积恰好为闸门上静水压强分布图的面积,令为令为Sp，则，则 该闸门上静水总压力该闸门上静水总压力P的大小等于作用其上的静水压强分布图的大小等于作用其上的静水压强分布图的面积的面积Sp与闸宽与闸宽b的乘积，即为静水压强分布体的体积的乘积，即为静水压强分布体的体积V。 13 2 2静水总压力静水总压力P P的作用点的作用点 静静水水总总压压力力P的的作作用用线线必必通通过过静静水水压压强强分分布布体体的的形形心心并并与与矩矩形形闸闸门门的的纵纵向向对对称称轴轴相相交交，这这一一交交点点即即为为的作用点的作用点D。 如如图图闸闸门门上上静静水水压压强强分分布布图图为为直直角角三三角角形形，故故作作用点用点D到自由水面的距离为到自由水面的距离为或或D D点的淹没深度为点的淹没深度为这一关系也可由解析法得到这一关系也可由解析法得到 14例例2-6 某某倾倾斜斜矩矩形形闸闸门门AB，转转轴轴位位于于A端端，如如图图。已已知知闸闸门门的的倾倾角角=60 ，门门宽宽b=2.5m，门门长长l = 4m，门门顶顶在在水水面面下下的的淹淹没没深深度度h1=3m。若若不不计计闸闸门门自自重重和和轴轴间间摩摩擦擦阻阻力力，试试求求闸闸门门开开启启时时所需竖直向上的提升力所需竖直向上的提升力T。 【解解】（1 1）先求作用于闸门上的静水总压力）先求作用于闸门上的静水总压力P P矩形平面上的静水总压力，可采用矩形平面上的静水总压力，可采用解析法和图解法两种方法求解。解析法和图解法两种方法求解。 解析法解析法P P的大小的大小 P P的作用点的作用点 15式中式中 图解法图解法P P的大小的大小 首先画出闸门首先画出闸门ABAB上的静水压强分布图，如上图上的静水压强分布图，如上图. . 门顶门顶A A点的静水压强点的静水压强 门底门底B B点的静水压强点的静水压强 面积为面积为 16则静水总压力则静水总压力P P为为P P的作用点的作用点 如图，将闸门如图，将闸门ABAB上的静水压强分布图分解为三角形和矩形上的静水压强分布图分解为三角形和矩形两部分，并假设这两部分对闸门两部分，并假设这两部分对闸门ABAB产生的作用力分别为产生的作用力分别为P P1 1和和P P2 2根据合力矩定理，对根据合力矩定理，对A A轴取力矩得轴取力矩得 故故17（2 2）求竖直向上的拉力）求竖直向上的拉力T T 在不计闸门在不计闸门AB的自重和轴间摩擦阻力时，该闸门所受的力的自重和轴间摩擦阻力时，该闸门所受的力为：静水总压力为：静水总压力P和提升力和提升力T。当提升力。当提升力T对对A轴的力矩大于等轴的力矩大于等于压力于压力P对对A轴的力矩时，闸门轴的力矩时，闸门AB才能被开启。才能被开启。令令 即竖直向上的提升力即竖直向上的提升力时闸门才能被开启时闸门才能被开启 18例例2-7 平面平面AB如图所示。已知其宽度如图所示。已知其宽度b=1m，倾角，倾角=45，左侧，左侧水深水深h1=3m，右侧水深，右侧水深h2=2m。试求作用在平面。试求作用在平面AB上的静水总上的静水总压力大小及其作用点。压力大小及其作用点。 （1）总压力）总压力P 的大小的大小画出画出AB平面上的静水压强平面上的静水压强分布图。该压强分布图由三分布图。该压强分布图由三【解解】 对于两侧具有同种液对于两侧具有同种液体的受压平面，采用图解法体的受压平面，采用图解法计算较为简单、方便，其求计算较为简单、方便，其求解过程如下：解过程如下：角形角形AEA和矩形和矩形EFBA组成，图中组成，图中所以压强分布图的面积为所以压强分布图的面积为19（2）总压力）总压力P的作用点的作用点 静水总压力静水总压力P 的大小为的大小为设三角形和矩形压强分布图对平面设三角形和矩形压强分布图对平面AB所产生的作用力分别为所产生的作用力分别为P1和和P2. 则则20小结：小结：（1 1）平面壁静水总压力计算的解析法）平面壁静水总压力计算的解析法 P P的大小的大小 P P的作用点的作用点（2 2）平面壁静水总压力计算的图解法）平面壁静水总压力计算的图解法作业作业4 4：21