3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 一、心轴弯曲的概念与实例一、心轴弯曲的概念与实例二、作用在心轴上载荷的分类二、作用在心轴上载荷的分类 三、剪力与弯矩三、剪力与弯矩 四、剪力图与弯矩图四、剪力图与弯矩图 五、五、 平面弯曲梁的强度计算平面弯曲梁的强度计算 六、平面弯曲梁的刚度计算六、平面弯曲梁的刚度计算 七、提高梁强度和刚度的措施七、提高梁强度和刚度的措施3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 一、心轴弯曲的概念与实例一、心轴弯曲的概念与实例 心轴：心轴：工作时仅承受弯矩而不传递转矩。工作时仅承受弯矩而不传递转矩。受力特点：受力特点：梁轴线平面内受到力偶矩或垂直于轴线方向的梁轴线平面内受到力偶矩或垂直于轴线方向的 外力外力作用。作用。变形特征：变形特征：构件的轴线由直线变成一条曲线，这种变形称为构件的轴线由直线变成一条曲线，这种变形称为弯曲弯曲变形变形。以弯曲变形为主的构件习惯上称为。以弯曲变形为主的构件习惯上称为梁梁。 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 工程实际中常用直梁的横截面形状主要有圆形、矩形、工程实际中常用直梁的横截面形状主要有圆形、矩形、T字形和工字形等。字形和工字形等。3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 心轴横截面一般都有一个或几个对称轴，由纵向对称轴与梁的轴线组成的平面称为纵向对纵向对称平面称平面。 图 6.3 二、作用在心轴上载荷的分类二、作用在心轴上载荷的分类集中力集中力集中力偶集中力偶均布载荷均布载荷3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 外伸梁：外伸梁：梁的一端或两端伸在支座之外的简支梁。悬臂梁：悬臂梁：梁的一端为固定端支座， 另一端为自由端。简支梁：简支梁： 梁的一端为固定铰链支座， 另一端为活动铰链支座。u梁的简化梁的简化3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 三、剪力与弯矩三、剪力与弯矩 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 利用静力平衡条件求出A、B的支座反力NA与NB为： 用一截面将梁沿m-m截面截开，取左段取左段进行分析： 若取m-m截面右段右段为研究对象，作同样分析后，可求得与左段截面上等值、反向的剪力s和弯矩M，与左段截面上的剪力Fs和弯矩M互为作用与反作用的关系。3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 剪力符号规定剪力符号规定 剪力符号规定剪力符号规定：使所取该段梁产生“左上右下”的相对错动的剪力方向为正，反之为负；弯矩符号规定：弯矩符号规定：使所取该段梁弯曲呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负。弯矩符号规定弯矩符号规定3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 u 梁梁内内任任一一截截面面上上的的剪剪力力，等等于于截截面面任任一一侧侧梁梁上上外外力力的的代代数数和和；梁梁内内任任一一截截面面上上的的弯弯矩矩，等等于于截截面面任任一一侧侧梁梁上上外外力力对对该该截面形心力矩的代数和。截面形心力矩的代数和。计算剪力时计算剪力时：截面左侧向上的外力、右侧向下的外力取正号；截面左侧向上的外力、右侧向下的外力取正号；计算弯矩时：计算弯矩时：无论截面左侧或右侧，向上的外力取正号，向下无论截面左侧或右侧，向上的外力取正号，向下的外力取负号。的外力取负号。3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 四、剪力图和弯矩图四、剪力图和弯矩图 工程中，梁梁横横截截面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩沿沿梁梁的的轴轴线线发发生生变变化化。 若以横坐标x表示梁的横截面位置，则梁在各横截面上的剪力Fs和弯矩M可以写成x的函数： Fs=Fs(x)M=M(x) 为了直观地反映梁上各横截面上的剪力和弯矩的大小及变化规律，可根据剪力方程和弯矩方程, 用用横横坐坐标标x表表示示梁梁的的横横截截面面的的位位置置, 纵纵坐坐标标分分别别表表示示剪剪力力Fs和和弯弯矩矩M的的大大小小而而画画出出的的图图形形， 分别称为分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。 剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 【例例3-1】如图 (a)所示，简支梁AB受集中截荷F=12kN， 试画出其剪力图和弯矩图。 例例3-1图图 解解 (1) 求A、B的支座反力。 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 (2) 列剪力方程与弯矩方程。 对AC段，取距A端为x1的截面左段，画出受力图，如图(b)所示。列平衡方程：对CB段，取距A端为x2的截面左段，画出受力图，如图(c)所示。列平衡方程： (3) 绘制剪力图和弯矩图。3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 【例例3-2】 如图（a）所示，简支梁AB上作用一集中力偶M，试绘出梁AB的剪力图和弯矩图。 例例3-2图图 解解 (1) 求AB的支座反力，由力偶系平衡可得 (2) 列剪力方程和弯矩方程。 1-1截面，剪力方程为： 弯矩方程为： (0x1a) 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 2-2截面，剪力方程为： 弯矩方程为： (ax2l) (3) 绘制剪力图和弯矩图。3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 【例例3-3】 如图(a)所示，悬臂梁AB受均布载荷作用,试绘制其剪力图和弯矩图。 解解 设截面m-m与B端之间的距离为x，取m-m截面的右段为研究对象，画出受力图，如图（b）所示。 根据平衡条件： Fs-qx=0 Fs=qx (0xl) (0xl) 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 四、剪力图和弯矩图四、剪力图和弯矩图 利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系，可不比列出剪力和弯矩方程即可画利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系，可不比列出剪力和弯矩方程即可画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 五、平面弯曲梁的强度与刚度计算五、平面弯曲梁的强度与刚度计算1、纯弯曲试验、纯弯曲试验 纯弯曲：纯弯曲：只有弯矩没有剪力。只有弯矩没有剪力。剪切弯曲：剪切弯曲：既有剪力又有弯矩。既有剪力又有弯矩。3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 纯弯曲梁的变形纯弯曲梁的变形纯弯曲梁的变形特征：纯弯曲梁的变形特征： 横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度； 纵向线（包括轴线）都变成了弧线； 梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 2、横截面上的正应力、横截面上的正应力梁受纯弯曲时，其横截面上梁受纯弯曲时，其横截面上只有正应力，没有切应力只有正应力，没有切应力。横横截截面面上上任任意意一一点点的的正正应应力力与与该该点点到到中中性性轴轴的的距距离离成成正正比比，距距中中性轴等高度的各点正应力相等，而中性轴上各点处正应力为零性轴等高度的各点正应力相等，而中性轴上各点处正应力为零3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 离离中中性性轴轴最最远远的的梁梁的的上上、下下边边缘缘处处正正应应力力最最大大，最最大大正正应应力力用用符号符号max表示，其值为：表示，其值为： 式中式中, 称为截面对中性轴称为截面对中性轴z的的抗弯截面系数抗弯截面系数， 其其单位为单位为m3或或mm3可以证明距离中性轴为可以证明距离中性轴为y处点的正应力计算公式为：处点的正应力计算公式为：y=My y/Iz式中，式中，Iz为横截面对中性轴的惯性矩为横截面对中性轴的惯性矩对对矩形截面：矩形截面：Iz=bh3/12，圆形截面：圆形截面：Iz=d4/64。 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 圆形截面：圆形截面： 圆环截面：圆环截面：圆形截面：圆形截面： 矩形截面：矩形截面： 圆形截面：圆形截面： 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 3、组合截面二次矩、组合截面二次矩 平行移轴公式平行移轴公式 若梁的截面形状复杂，并可分解为几个简单图形的组合，则可用平行移轴公式计算某截面对任意轴的截面二次矩：3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 3、组合截面二次矩、组合截面二次矩 平行移轴公式平行移轴公式【例例】试求图3-2-27所示T形截面对其形心轴的惯性矩。 解：解：1.求T形截面的形心座标yc2.求截面对形心轴z轴的惯性矩3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 4、弯曲正应力强度条件、弯曲正应力强度条件 对于一般塑性材料其抗拉强度与抗压强度相等时，采用材料的许用拉(压)应力。 当材料的抗拉强度与抗压强度不相同（脆性材料），应分别校核抗拉强度与抗压强度。对于中性轴不是截面的对称梁，其最大拉应力值与最大压应力值不相等。如图所示的T形截面梁，最大拉应力和最大压应力分别为：3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 4、弯曲正应力强度条件、弯曲正应力强度条件 利用强度条件可解决三类强度计算问题：强度校核：强度校核： 截面设计：截面设计： 确定需用载荷：确定需用载荷： 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 【例例】 如图所示，一矩形截面悬臂梁长l=4m，材料的许用应力=150MPa， 求此悬臂梁的许可载荷。 图 6.15 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 解：解： 绘出悬臂梁的弯矩图, 如图b)所示。 图中，Mmax=Fl=4000F。 梁的横截面抗弯截面系数为： 由梁的弯曲正应力强度条件得： 因此, 悬臂梁的许可载荷为F=25 000N。 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 【例例】 某建筑工地上, 用长为l=3 m的矩形截面木板做跳板, 木板横截面尺寸 b=500 mm, h=50 mm, 木板材料的许用应力=6 MPa, 试求： （1） 一体重为700N的工人走过是否安全？ （2） 要求两名体重均为700N的工人抬着1500 N的货物安全走过，木板的宽度不变，重新设计木板厚度h。 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 解解 （1）计算弯矩的最大值max。当工人行走到跳板中央时，弯矩最大。 校核弯曲强度: 所以, 体重为700 N的工人走过是安全的。 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 (2) 设工人重力和货物重力合成为一个集中力，且作用在跳板长度的中点时最危险，此处弯矩最大值为：按弯曲强度设计： h65.95 所以，木板厚度h应满足h66 mm。 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 六、梁六、梁 的的 弯曲变形概述弯曲变形概述挠度：挠度：截面形心位移的垂直分量（线位移），用表示。 1、挠度与转角、挠度与转角AytqC1CmBxtBmmmq正负号规定：正负号规定：向上为正，向下为负转角：转角：梁弯曲变形后，轴上任意一点C处的横截面m-m将绕中性轴转动一个角度至m-m，其角位移称为该截面的转角。正负号规定：正负号规定：逆为正，顺为负 =f(x)挠曲线方程挠曲线方程3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 2、挠曲线微分方程挠曲线微分方程几种常见梁的简单载荷作用下的变形几种常见梁的简单载荷作用下的变形 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 当梁上同时受到几个载荷作用时，可分别计算出单个载荷作用下梁的挠度和转角，再将它们求代数和，得到所有载荷同时作用时梁的总变形。 3、计算变形的叠加法、计算变形的叠加法4、刚度条件、刚度条件其中、的具体数值可查有关设计手册。 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 【例】 如图 (a)所示，行车大梁采用NO.45a工字钢， 跨度l=9m，电动葫芦重5 kN，最大起重量为55 kN，许用挠度=l/500， 试校核行车大梁的刚度。 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 解解：将行车简化后受力情况如图6.17(b)所示。把梁的自重看成均布载荷，并且，当电动葫芦处于梁的中央时，梁的变形最大。 (1) 用叠加法求挠度。 查手册可知：NO.45a工字钢的q=788N/m, Iz=32 240 cm4, E=200GPa。 梁需要承受的最大载荷F=5+55=60kN。 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 查表可得，在力F作用下产生的挠度为： 在均布载荷q作用下产生的挠度为： 梁的最大变形： c max=CF+Cq=0.015 m。 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 (2) 校核梁的刚度。 梁的许用挠度 ，则： 所以梁的刚度足够。 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 七、提高梁的承截能力的措施七、提高梁的承截能力的措施 1、合理安排梁的支承、合理安排梁的支承 均布载荷作用在简支梁上时，最大弯矩与跨度的平方成正比，如能减少梁的跨度，将会降低梁的最大弯矩。3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 七、提高梁的承截能力的措施七、提高梁的承截能力的措施2、合理布置载荷合理布置载荷 使梁上载荷分散布置，可以降低最大弯矩。3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 3、选择合理的截面、选择合理的截面根据抗弯截面系数与截面面积比值Wz/A选择截面七、提高梁的承截能力的措施七、提高梁的承截能力的措施 抗弯截面系数越大，梁能承受载荷越大；横截面积越小，梁使用的材料越少。同时考虑梁的安全性与经济性，可知Wz/A值越大，值越大，梁截面越合理梁截面越合理。 矩形截面：圆形截面：高为h的工字形与槽形截面：三种截面的合理顺序是：三种截面的合理顺序是：1）工字形与槽形截面；）工字形与槽形截面；2）矩形截面；）矩形截面；3）圆形截面。）圆形截面。 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 4. 减小跨度或增加支承减小跨度或增加支承 由前面内容可知，梁的变形与梁的跨度的高次方成正比， 减小跨度L能够有效地提高梁的抗弯刚度并减少弯矩； 增加支承也可以提高梁的抗弯刚度。 如车床上车削工件时，由于车刀尖给工件作用力，不用尾架顶尖时工件易变形。使用顶尖后， 变形可以减小。 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 3、选择合理的截面、选择合理的截面根据材料的拉压性能选择截面七、提高梁的承截能力的措施七、提高梁的承截能力的措施 对于塑性材料对于塑性材料，其抗拉强度和抗压强度相等，宜采用中性轴为截面对称轴的截面，使最大拉应力与最大压应力相等。如矩形、工字形、圆环形、圆形等截面形式。 对于脆性材料对于脆性材料，其抗压强度大于抗拉强度，宜采用中性轴不是对称轴的截面，如T形截面，使中性轴靠近受拉端：3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 思思 考考 与与 练练 习习 3.1 具有对称截面的直梁发生平面弯曲的条件是什么？ 3.2 如何理解在集中力作用处，剪力图发生突变? 在集中力偶作用处，弯矩图发生突变? 3.3 一矩形截面梁，它的高、宽之比h/b=2, 在相同受力条件下， 截面竖放与平放时， 横截面上的最大正应力相差几倍？ 3.4 为什么弯曲与拉伸组合变形时只需要校核拉应力强度条件，而弯曲与压缩组合变形时脆性材料要同时校核拉应力和压应力强度条件？ 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 3.5 同时承受拉伸、扭转和弯曲变形的圆截面杆件，按第三强度理论建立的强度条件是否可写成如下形式？为什么？ 3.6 试列出练习3.6图示的各梁的剪力方程和弯矩方程， 画出剪力图和弯矩图。 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 练习3.6图 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 3.7 空心管梁受载如练习3.7图所示，已知=150MPa，外径D=80 mm, 求内径d的最大值。 练习3.7图 3.2.3 3.2.3 心轴的强度和刚度计算心轴的强度和刚度计算 3.8 一矩形截面外伸梁受力如练习3.8图所示。已知材料许用应力=160MPa，求最大许可载荷Fmax。 练习3.8图