上页 下页(一一) 向量代数向量代数 1、向量的有关概念与表示法、向量的有关概念与表示法（1） 坐标表示坐标表示（2） 向量的模向量的模（3） 方向角与方向余弦方向角与方向余弦 （4） 向量的投影向量的投影 1 上页 下页2、向量的运算、向量的运算3、向量间的关系、向量间的关系 夹角夹角 垂直垂直 平行平行 加减法加减法 数乘数乘 数量积数量积 向量积向量积2 上页 下页(二二) 空间解析几何空间解析几何1、空间直角坐标系、空间直角坐标系（1） 点的坐标；点的坐标；（2） 两点间距离公式两点间距离公式2、曲面、曲面球面球面旋转曲面旋转曲面 锥面锥面 柱面柱面缺项的方程缺项的方程3 上页 下页二次曲面二次曲面椭球面椭球面椭球面椭球面椭圆抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面 （马鞍面）（马鞍面）双曲抛物面双曲抛物面 单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面椭圆锥面4 上页 下页3、曲线、曲线 一般方程一般方程 参数方程参数方程 在坐标平面上的投影在坐标平面上的投影.设空间曲线设空间曲线 C 的一般方程为的一般方程为消去消去 z 得投影柱面得投影柱面则则C 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线5 上页 下页空间平面空间平面一般式一般式点法式点法式截距式截距式三点式三点式4 4、 空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程重点是点法式重点是点法式重点是点法式重点是点法式6 上页 下页为直线的方向为直线的方向 向量向量.空间直线空间直线一般式一般式对称式对称式或点向式或点向式参数式参数式为直线上一点为直线上一点; 7 上页 下页面与面的关系面与面的关系平面平面平面平面垂直垂直: :平行平行: :夹角公式夹角公式: :5. .线面之间的相互关系线面之间的相互关系8 上页 下页直线直线线与线的关系线与线的关系直线直线垂直垂直: :平行平行: :夹角公式夹角公式: :9 上页 下页平面平面:垂直：垂直：平行：平行：夹角公式：夹角公式：面与线间的关系面与线间的关系直线直线:10 上页 下页二、导数与微分二、导数与微分 1 1、偏导数、偏导数2 2、高阶偏导数、高阶偏导数( (求法求法: :定义，一元函数求导公式定义，一元函数求导公式 ) )（求法：逐次求导。混合偏导数连续则（求法：逐次求导。混合偏导数连续则 相等相等 ）3 3、复合函数求导法则、复合函数求导法则11 上页 下页一、极限与连续一、极限与连续1 1、多元函数：、多元函数：定义域定义域 图像图像 一张曲面一张曲面3 3、多元函数的连续性、多元函数的连续性2 2、二重极限、二重极限求法求法1 1）用多元函数的连续性，连续点求极限即求函数值，）用多元函数的连续性，连续点求极限即求函数值，）用多元函数的连续性，连续点求极限即求函数值，）用多元函数的连续性，连续点求极限即求函数值，多元初等函数求极限即求函数值多元初等函数求极限即求函数值多元初等函数求极限即求函数值多元初等函数求极限即求函数值. .2 2）多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法）多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法）多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法）多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则。夹逼准则，重要极限都可以应用则。夹逼准则，重要极限都可以应用则。夹逼准则，重要极限都可以应用则。夹逼准则，重要极限都可以应用. .12 上页 下页4 4、隐函数求导法、隐函数求导法5 5、全微分、全微分1 1）用复合函数求导法则两边求导数，例如）用复合函数求导法则两边求导数，例如2 2）公式法）公式法 例如例如确定二元隐函数确定二元隐函数 两边对两边对 求导求导确定二元隐函数确定二元隐函数 13 上页 下页三、应用三、应用1 1、方向导数、方向导数2 2、梯度、梯度3 3、空间曲线、空间曲线切向量切向量14 上页 下页若若有极值有极值, ,且且时有极大值时有极大值. .时有极小值时有极小值. .5 5、极值、极值: :求驻点求驻点 . .4 4、空间曲面、空间曲面法向量法向量时时, 没有极值没有极值.15 上页 下页6 6、条件极值、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求函数求函数在条件在条件下的极值下的极值. .构造函数构造函数: :7 、几个基本概念的关系几个基本概念的关系偏导数连续偏导数连续 可微分可微分 连续连续 极限存在极限存在 偏导数存在偏导数存在 方向导数存在方向导数存在（解方程组可得（解方程组可得条件极值的可疑条件极值的可疑点点 ）16 上页 下页1二重积分、三重积分的几何意义二重积分、三重积分的几何意义2性质性质线性性质、区域可加性、保号性、估值不等式、线性性质、区域可加性、保号性、估值不等式、中值定理中值定理3. . 重积分计算的基本技巧重积分计算的基本技巧分块积分法分块积分法利用对称性利用对称性(1) 交换积分顺序交换积分顺序(2) 利用对称性利用对称性(3) 消去被积函数绝对值符号消去被积函数绝对值符号表示曲顶柱体的体积表示曲顶柱体的体积. .17 上页 下页1).化直角坐标积分形式为极坐标积分形式化直角坐标积分形式为极坐标积分形式 X型区域，型区域，先对先对 积分积分Y型区域，型区域，先对先对 积分积分 3).怎样改换积分次序：先画四线确定积分区域怎样改换积分次序：先画四线确定积分区域直角坐标系下直角坐标系下直角坐标系下直角坐标系下: : : : 极坐标系下极坐标系下极坐标系下极坐标系下: : : : 1).怎样确定积分次序怎样确定积分次序2).怎样确定上下限怎样确定上下限: 先积分穿线法、后积分取最值先积分穿线法、后积分取最值4. 二重积分的计算方法：二重积分的计算方法：积分次序：积分次序：上下限的确定：上下限的确定：先积分穿线法、后积分取最值先积分穿线法、后积分取最值一画三确定：一画三确定：画图、确定形式、画图、确定形式、确定次序、确定限。确定次序、确定限。先先 ，后，后。 2). 何时使用极坐标积分何时使用极坐标积分 积分区域为圆形、扇形或环形等积分区域为圆形、扇形或环形等18 上页 下页5. 三重积分的计算方法：三重积分的计算方法： 一画三确定：一画三确定：画图、确定形式、画图、确定形式、确定次序、确定限。确定次序、确定限。1)1)直角坐标系直角坐标系 方法方法1. 三次积分法三次积分法(投影法投影法 :先一后二先一后二 )方法方法2. 截面法截面法 (先二后一先二后一)2)2)柱坐标计算柱坐标计算最后对最后对 取最值取最值 对对 对对 穿线法，穿线法，积分次序是积分次序是: 积分区域在坐标面的投影为圆形、积分区域在坐标面的投影为圆形、扇形、扇形、环形（的一部分）环形（的一部分）何时用柱面坐标计算何时用柱面坐标计算何时用柱面坐标计算何时用柱面坐标计算采用柱面坐标来计算简单采用柱面坐标来计算简单限的确定限的确定先对先对 最后对最后对 再对再对 、 19 上页 下页3)3)球坐标计算球坐标计算积分次序是：积分次序是：当积分区域由球面，球面与锥面，球面与球面等当积分区域由球面，球面与锥面，球面与球面等围成的区域，围成的区域， 而被积函数中含有而被积函数中含有的因子时的因子时, ,坐标来计算坐标来计算。宜用球面宜用球面何时用球面坐标计算三重积分：何时用球面坐标计算三重积分：限的确定限的确定: 穿线法，穿线法，对对 取最值取最值 对对 20 上页 下页6应用应用几何应用：几何应用： 平面图形的面积平面图形的面积：空间曲面的面积空间曲面的面积：或或怎样确定？怎样确定？空间立体的体积空间立体的体积：21 上页 下页1.1. 对坐标的曲线积分特有的性质对坐标的曲线积分特有的性质: : 2.2.对坐标的曲面积分特有的性质对坐标的曲面积分特有的性质: : 曲面面积曲面面积3.3.曲面积分几何意义曲面积分几何意义22 上页 下页4.4.4.4.计算方法计算方法计算方法计算方法参数化化成定积分，下限小于上限参数化化成定积分，下限小于上限参数化化成定积分，下限参数化化成定积分，下限起点，上限起点，上限终点终点格林公式（平面上）格林公式（平面上）斯托克斯公式斯托克斯公式(空间空间)与方向无关与方向无关与方向无关与方向无关 投影法变成二重积分投影法变成二重积分投影变成二重积分投影变成二重积分, 添加正负号添加正负号高斯公式高斯公式检验连续性、封闭性、检验连续性、封闭性、检验连续性、封闭性、检验连续性、封闭性、方向性方向性方向性方向性连续性、封闭性连续性、封闭性连续性、封闭性连续性、封闭性 方向性方向性方向性方向性(投影时看投影时看 方程方程 是否含是否含z，注意注意dS与与dxdy(dydz,dzdx)关系关系）23 上页 下页5.5.两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系: : 24 上页 下页6.6.6.6.二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积 7.7.7.7.五个等价命题五个等价命题五个等价命题五个等价命题为某一函数为某一函数的全微分的的全微分的充要条件是充要条件是方法方法3 凑微分法凑微分法.方法方法2 利用利用 求积分求积分.方法方法1 利用积分与路径无关的条件利用积分与路径无关的条件.怎样求该函数怎样求该函数25 上页 下页a a、积分、积分 的值与路径无关，的值与路径无关，是单连通区域是单连通区域, , 、 在在 内有一阶连续偏导数内有一阶连续偏导数为全微分方程为全微分方程e e、c c、在、在 内内b b、对于、对于 内任一封闭曲线，内任一封闭曲线，d d、存在、存在 内的可微函数内的可微函数8.8.8.8.两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系: : : : 26 上页 下页关于积分的几点说明：关于积分的几点说明：1.线面积分计算前线面积分计算前可可先先用用,的方程的方程将被积函数将被积函数化简化简,而重积分不行而重积分不行!因为因为D,满足的是不等式满足的是不等式2.对坐标的线对坐标的线(面面)积分计算时积分计算时可先考虑格林公式可先考虑格林公式(高斯公式高斯公式)3.遇到遇到L,D()关于坐标轴关于坐标轴(面面)对称对称的积分的积分(对坐标的积分对坐标的积分除外除外!),会考虑被积函数的奇偶性将其化简会考虑被积函数的奇偶性将其化简而对坐标的积分而对坐标的积分不仅要考虑被积函数的奇偶性，还要考虑不仅要考虑被积函数的奇偶性，还要考虑积分元素的正负积分元素的正负(慎用慎用!)27 上页 下页一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法正项级数审敛法必要条件必要条件不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法根值审敛法根值审敛法收收 敛敛发发 散散不定不定 比较审敛法比较审敛法或极限形式或极限形式用它法判别用它法判别部分和极限部分和极限28 上页 下页3. 任意项级数审敛法任意项级数审敛法为收敛级数为收敛级数Leibniz审敛审敛法法: 若若且且则交错级数则交错级数收敛收敛 , 且余项且余项若若收敛收敛 ,称称绝对收敛绝对收敛若若发散发散 ,称称条件收敛条件收敛(2) 常用来判断级数敛散性的已知级数常用来判断级数敛散性的已知级数等比级数、调和级数、等比级数、调和级数、P级数级数注注: (1)正项级数审敛法可用于判断级数绝对收敛正项级数审敛法可用于判断级数绝对收敛. 29 上页 下页二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数标准形式幂级数: 先求收敛半径先求收敛半径 R : 再讨论再讨论 非标准形式幂级数非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法直接用比值法或根值法处的敛散性处的敛散性 .幂指数有间隔幂指数有间隔 用正项级数的比值审敛法或根值审敛法求半径用正项级数的比值审敛法或根值审敛法求半径幂指数连续幂指数连续注注注注 求幂级数的收敛域步骤：求幂级数的收敛域步骤： 求收敛半径、确定收敛开区间、讨论端点处求收敛半径、确定收敛开区间、讨论端点处 的敛散性的敛散性30 上页 下页三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 等比级数直接求等比级数直接求等比级数直接求等比级数直接求, , , ,非等比级数先设和函数，逐项积分或非等比级数先设和函数，逐项积分或非等比级数先设和函数，逐项积分或非等比级数先设和函数，逐项积分或逐项求导，讨论端点处的敛散性，若收敛和函数连续则逐项求导，讨论端点处的敛散性，若收敛和函数连续则逐项求导，讨论端点处的敛散性，若收敛和函数连续则逐项求导，讨论端点处的敛散性，若收敛和函数连续则包括端点包括端点包括端点包括端点四、四、四、四、函数展成幂级数函数展成幂级数: :（间接法间接法）可以直接引用的幂级数展开式可以直接引用的幂级数展开式 用已知的七个展开式及其收敛域，若有逐项求导或逐项积分用已知的七个展开式及其收敛域，若有逐项求导或逐项积分要讨论端点处的敛散性，若端点处收敛、函数连续则包括端要讨论端点处的敛散性，若端点处收敛、函数连续则包括端点。点。31 上页 下页五五五五. . . .周期为周期为周期为周期为2 2 2 2 的的的的函数傅立叶级数函数傅立叶级数函数傅立叶级数函数傅立叶级数 在间断点和连续点各收敛于什么在间断点和连续点各收敛于什么在间断点和连续点各收敛于什么在间断点和连续点各收敛于什么: : x 为间断点为间断点 x 为连续点为连续点32 上页 下页周期为周期为周期为周期为2l 的函数的函数的函数的函数 f (x)的傅里叶级数的傅里叶级数的傅里叶级数的傅里叶级数在间断点和连续点各收敛于什么在间断点和连续点各收敛于什么在间断点和连续点各收敛于什么在间断点和连续点各收敛于什么: : x 为间断点为间断点 x 为连续点为连续点33