4 船有触礁的危险吗5 测量物体的高度 1.1.能够将实际问题转化为数学问题能够将实际问题转化为数学问题, ,并能借助计算器进行三角并能借助计算器进行三角函数的计算函数的计算.(.(重点重点) )2.2.会把实际问题转化为数学问题会把实际问题转化为数学问题.(.(难点难点) )方位角方位角如图如图, ,以以O O为观测点为观测点, ,则观测方向则观测方向OAOA是指是指_,OB_,OB是指是指_,OC_,OC是指是指_,OD_,OD是指是指_(_(西南西南方向方向).).北偏东北偏东6060南偏东南偏东3030北偏西北偏西7070南偏西南偏西4545【归纳归纳】在水平面上在水平面上, ,过观测点过观测点O O作一条水平线作一条水平线( (向右为东方向右为东方) )和和一条铅垂线一条铅垂线( (向上为北方向上为北方),),则从则从O O点出发的点出发的_与与_的夹角叫做观测的方位角的夹角叫做观测的方位角. .视线视线水平线或水平线或铅垂线铅垂线 ( (打打“”或或“”) )(1)(1)对于方位角对于方位角, ,各观测点的南北方向线不一定平行各观测点的南北方向线不一定平行.( ).( )(2)(2)若从点若从点A A看点看点B B在北偏东在北偏东6060方向方向, ,则从点则从点B B看点看点A A在南偏西在南偏西3030方向方向. .( )( )(3)(3)从不同位置观察同一物体从不同位置观察同一物体, ,方位角一定不同方位角一定不同. .( )( )(4)(4)测量物体的高度时至少要知道三个数据测量物体的高度时至少要知道三个数据. .( )( )知识点知识点 1 1与方位角有关的问题与方位角有关的问题 【例例1 1】钓鱼岛及其附属岛屿是钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土中国固有领土,A,B,C,A,B,C分别是钓分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点( (如图如图),),点点C C在点在点A A的北偏东的北偏东4747方向方向, ,点点B B在点在点A A的南偏东的南偏东7979方方向向, ,且且A,BA,B两点的距离约为两点的距离约为5.5km;5.5km;同时同时, ,点点B B在点在点C C的南偏西的南偏西3636方向方向. .若一艘中国渔船以若一艘中国渔船以30km/h30km/h的的速度从点速度从点A A驶向点驶向点C C捕鱼捕鱼, ,需要多长时间到达需要多长时间到达?(?(结果保留小数点结果保留小数点后两位后两位)()(参考数据参考数据:sin540.81,cos 540.59,tan47:sin540.81,cos 540.59,tan471.07,tan360.73,tan 110.19)1.07,tan360.73,tan 110.19)【思路点拨思路点拨】作作BDACBDAC于点于点D,D,根据方位角分别求出根据方位角分别求出CABCAB和和ACBACB的度数的度数, ,然后在然后在RtABDRtABD和和RtBCDRtBCD中分别求出中分别求出AD,CDAD,CD的长的长, ,再根据时间再根据时间= =路程路程速度速度, ,即可求出需要的时间即可求出需要的时间. .【自主解答自主解答】作作BDACBDAC于于D, D, CAB=180-47-79=54,CAB=180-47-79=54,ACB=47-36ACB=47-3611.11.在直角三角形在直角三角形ABDABD中，中，BD=AB sin 54,BD=AB sin 54,AD=AB cos 54AD=AB cos 54，在直角三角形在直角三角形BCDBCD中中, ,5.50.59+5.50.810.1926.695.50.59+5.50.810.1926.69，26.69300.89(h).26.69300.89(h).答：大约需要答：大约需要0.89 h0.89 h到达到达. .【总结提升总结提升】运用三角函数解决实际问题运用三角函数解决实际问题“三步法三步法”知识点知识点 2 2 测量物体的高度测量物体的高度【例例2 2】极具特色的极具特色的“八卦楼八卦楼”( (又称又称“威镇阁威镇阁”) )是漳州的标是漳州的标志性建筑，它建立在一座平台上为了测量志性建筑，它建立在一座平台上为了测量“八卦楼八卦楼”的高的高度度ABAB，小华在，小华在D D处用高处用高1.1 m1.1 m的测角仪的测角仪CDCD，测得楼的顶端，测得楼的顶端A A的仰的仰角为角为2222；再向前走；再向前走63 m63 m到达到达F F处，又测得楼的顶端处，又测得楼的顶端A A的仰角的仰角为为39(39(如图是他设计的平面示意图如图是他设计的平面示意图) )已知平台的高度已知平台的高度BHBH约约为为13 m13 m，请你求出，请你求出“八卦楼八卦楼”的高度约是多少？的高度约是多少？( (参考数据：参考数据： ) )【解题探究解题探究】1.1.如果设如果设AG=x mAG=x m，你能用含，你能用含x x的式子表示出的式子表示出CGCG及及EGEG的长吗？的长吗？提示：提示：在在RtACGRtACG中，中，在在RtAEGRtAEG中，中，2.2.你能找出等量关系，列出关于你能找出等量关系，列出关于x x的方程，并求出的方程，并求出AGAG的长吗？的长吗？提示：提示：CG-EG=CECG-EG=CE3.3.你能求出你能求出AHAH的长吗？的长吗？提示：提示：GH=CD=1.1 mGH=CD=1.1 m，AH=AG+HG=50.4+1.1=51.5(m).AH=AG+HG=50.4+1.1=51.5(m).4.4.根据以上探究可求出根据以上探究可求出“八卦楼八卦楼”的高度：的高度：AB=AB=_= =_= =_(m)(m)，即，即“八卦楼八卦楼”的高度约的高度约为为_ m mAH-BHAH-BH51.5-1351.5-1338.538.538.538.5【互动探究互动探究】本题中本题中“八卦楼八卦楼”的高度还可以怎样计算？的高度还可以怎样计算？提示：提示：还可以先算出还可以先算出BGBG的长，再用的长，再用AG-BGAG-BG即可求出即可求出. .【总结提升总结提升】与测量有关的常见图形与关系式与测量有关的常见图形与关系式图图形形关关系系式式BD=CE,BD=CE,AC=BCAC=BCtan,tan,AE=AC+CEAE=AC+CE 图图形形关关系系式式BC=DC-BDBC=DC-BD=AD=AD(tan-tan)(tan-tan)图图形形关关系系式式AB=DE=AEAB=DE=AEtan,tan,CD=CE+DECD=CE+DE=AE(tan+tan)=AE(tan+tan)题组一：题组一：与方位角有关的问题与方位角有关的问题1.1.如图，轮船从如图，轮船从B B处以每处以每小时小时50 n mile50 n mile的速度沿的速度沿南偏东南偏东3030方向匀速航行，方向匀速航行，在在B B处观测灯塔处观测灯塔A A位于南偏东位于南偏东7575方向上，轮船航行半小时到达方向上，轮船航行半小时到达C C处，在处，在C C处观测灯塔处观测灯塔A A位于北偏东位于北偏东6060方向上，则方向上，则C C处与灯塔处与灯塔A A的距离是的距离是( )( )【解析解析】选选D.D.根据题意根据题意,1=2=30,1=2=30,ACD=60,ACB=30+60=90,ACD=60,ACB=30+60=90,CBA=75-30=45,ABCCBA=75-30=45,ABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形, ,BC=500.5=25,AC=BC=25(n mile).BC=500.5=25,AC=BC=25(n mile).2.2.已知儿童公园在小明家的正东方已知儿童公园在小明家的正东方, ,超市在儿童公园的北偏西超市在儿童公园的北偏西4040方向上方向上, ,儿童公园到超市与小明家到超市的距离相等儿童公园到超市与小明家到超市的距离相等, ,则超则超市在小明家的市在小明家的( () )A.A.南偏东南偏东50 B.50 B.南偏东南偏东4040C.C.北偏东北偏东50 D.50 D.北偏东北偏东4040【解析解析】选选D.D.如图所示如图所示, ,图中图中A,B,CA,B,C分别为小明家、儿童公园、超市分别为小明家、儿童公园、超市, ,可知可知C C在在A A的北偏东的北偏东4040方向上方向上, ,即超市在小明家的北偏东即超市在小明家的北偏东4040方向方向. .3.(20133.(2013潍坊中考潍坊中考) )一渔船在海岛一渔船在海岛A A南偏东南偏东2020方向的方向的B B处遇险处遇险, ,测得海岛测得海岛A A与与B B的距离为的距离为2020海里海里, ,渔渔船将险情报告给位于船将险情报告给位于A A处的救援船处的救援船后后, ,沿北偏西沿北偏西8080方向向海岛方向向海岛C C靠靠近近. .同时同时, ,从从A A处出发的救援船沿南处出发的救援船沿南偏西偏西1010方向匀速航行方向匀速航行. .2020分钟后分钟后, ,救援船在海岛救援船在海岛C C处恰好追上渔船处恰好追上渔船, ,那么救援船航行的那么救援船航行的速度为速度为( () )【解析解析】选选D.ABC=80-20=60D.ABC=80-20=60，CAB=20+10=30CAB=20+10=30，C=90.C=90.在在RtACBRtACB中，中， ( (海里海里) )，救援船的速度为救援船的速度为 ( (海里海里/ /小时小时).).4.4.在一次夏令营活动中，小明同学从营地在一次夏令营活动中，小明同学从营地A A出发，要到出发，要到A A地的北地的北偏东偏东6060方向的方向的C C处，他先沿正东方向走了处，他先沿正东方向走了200 m200 m到达到达B B地，再地，再沿北偏东沿北偏东3030方向走，恰能到达目的地方向走，恰能到达目的地C(C(如图如图) )，那么，由此，那么，由此可知，可知，B B，C C两地相距两地相距_m._m.【解析解析】由题干图由题干图, ,易求得易求得C=30,C=30,且且BAC=30,BAC=30,所以所以BC=AB=200m.BC=AB=200m.答案答案: :200200【变变式式备选备选】如如图图, ,某某渔渔船在海面上朝正船在海面上朝正东东方向匀速航行方向匀速航行, ,在在A A处观测处观测到灯塔到灯塔M M在北偏在北偏东东6060方向上方向上, ,航行半小航行半小时时后到达后到达B B处处, ,此此时观测时观测到灯塔到灯塔M M在北偏在北偏东东3030方向上方向上, ,那么那么该该船船继续继续航行航行分分钟钟可使可使渔渔船到达离灯塔距离最近的位置船到达离灯塔距离最近的位置. . 【解析解析】作作MNABMNAB于于N.N.由题意知由题意知MAB=30,MBN=60,MAB=30,MBN=60,BMA=BAM=30.BMA=BAM=30.设该船的速度为设该船的速度为x,x,则则BM=AB=0.5x.BM=AB=0.5x.RtBMNRtBMN中中,MBN=60,MBN=60,故该船需要继续航行的时间为故该船需要继续航行的时间为0.25xx=0.25(h)=15(min).0.25xx=0.25(h)=15(min).答案答案: :15155.(20135.(2013黄石中考黄石中考) )高考英语听力测试期间高考英语听力测试期间, ,需要杜绝考点周需要杜绝考点周围的噪音围的噪音. .如图如图, ,点点A A是某市一高考考点是某市一高考考点, ,在位于在位于A A考点南偏西考点南偏西1515方向距离方向距离125125米的米的C C点处有一消防队点处有一消防队. .在听力考试期间在听力考试期间, ,消防消防队突然接到报警电话队突然接到报警电话, ,告知在位于告知在位于C C点北偏东点北偏东7575方向的方向的F F点处点处突发火灾突发火灾, ,消防队必须立即赶往救火消防队必须立即赶往救火. .已知消防车的警报声传播已知消防车的警报声传播半径为半径为100100米米, ,若消防车的警报声对听力测试造成影响若消防车的警报声对听力测试造成影响, ,则消防则消防车必须改道行驶车必须改道行驶. .试问试问: :消防车是否需要改道行驶消防车是否需要改道行驶? ?说明理由说明理由. .( ( 取取1.732)1.732)【解析解析】作作ABCF,ABCF,垂足为垂足为B B，由题意知，由题意知ACF=75-ACF=75-15=60,15=60,在在RtABCRtABC中，中，=108.25(=108.25(米米),),108.25108.25100,100,消防车不需要改道行驶消防车不需要改道行驶. .题组二：题组二：测量物体的高度测量物体的高度1.(20131.(2013绵阳中考绵阳中考) )如图，在两建筑物如图，在两建筑物之间有一旗杆，高之间有一旗杆，高1515米，从米，从A A点经过旗点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C C点，点，且俯角且俯角为为6060，又从，又从A A点测得点测得D D点的俯点的俯角角为为3030，若旗杆底端，若旗杆底端G G为为BCBC的中点，的中点，则矮建筑物的高则矮建筑物的高CDCD为为( )( )A.20A.20米米 B. B. 米米C. C. 米米 D. D. 米米【解析解析】选选A.A.过过D D作作DEDE垂直于垂直于AEAE，如图，如图. .因为因为ABBC,GFBC,GB=GC,GF=15ABBC,GFBC,GB=GC,GF=15米米, ,所以所以AB=CE=30AB=CE=30米米. .在在RtGFCRtGFC中中,FCG=60,FCG=60，GF=15GF=15米米, ,所以所以 ( (米米),),所以所以 米米. .在在RtADERtADE中中, (, (米米) )，所以所以CD=CE-DE=20(CD=CE-DE=20(米米).).2.2.数学实践探究课中，老师布置同学数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度小民所在的们测量学校旗杆的高度小民所在的学习小组在距离旗杆底部学习小组在距离旗杆底部10 m10 m的地方，的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为用测角仪测得旗杆顶端的仰角为6060，则旗杆的高度是则旗杆的高度是_m_m【解析解析】设旗杆高度为设旗杆高度为x mx m，所以，所以 解得解得答案：答案：【名师点拨名师点拨】解决实际问题列方程时常用的等量关系解决实际问题列方程时常用的等量关系利用三角函数解决实际问题时，常要列方程求解利用三角函数解决实际问题时，常要列方程求解, ,列方程时常列方程时常用的等量关系有：用的等量关系有：勾股定理勾股定理. .相似三角形的性质相似三角形的性质. .三角函数的定义等三角函数的定义等. .3.3.周末，小强在广场放风筝，如图，周末，小强在广场放风筝，如图，小强为了计算风筝离地的高度，他小强为了计算风筝离地的高度，他测得风筝的仰角为测得风筝的仰角为6060，已知风筝，已知风筝线线BCBC的长为的长为10 m10 m，小强的身高，小强的身高ABAB为为1.55 m1.55 m，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度高度( (结果精确到结果精确到1 m1 m，参考，参考 ) )【解析解析】如图，过点如图，过点C C作作CEABCEAB，交地面于点，交地面于点E E，过点，过点B B作作BDCEBDCE，垂足为，垂足为D D，则，则CDBCDB9090，CBDCBD6060，DEDEABAB1.55 m1.55 m，在在RtBCDRtBCD中，中，风筝离地面的高度风筝离地面的高度CECECD+DECD+DE= +1.5551.73+1.5510(m).= +1.5551.73+1.5510(m).答：风筝离地面的高度约为答：风筝离地面的高度约为10 m10 m4.(20134.(2013乐山中考乐山中考) )如图如图, ,山顶有一铁塔山顶有一铁塔ABAB的高度为的高度为2020米米, ,为测为测量山的高度量山的高度BC,BC,在山脚点在山脚点D D处测得塔顶处测得塔顶A A和塔基和塔基B B的仰角分别为的仰角分别为6060和和45,45,求山的高度求山的高度BC.(BC.(结果保留根号结果保留根号) )【解析解析】C=90C=90，BDC=45BDC=45，则，则CD=CB,CD=CB,又又CDA=60CDA=60，整理得：整理得： 解得：解得： 米米. .答：山的高度答：山的高度BCBC为为 米米. .【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图，甲楼如图，甲楼ABAB的高度为的高度为20 m20 m，自甲楼楼顶自甲楼楼顶A A处，测得乙楼顶端处，测得乙楼顶端C C处的仰角为处的仰角为3030，测得乙楼，测得乙楼底部底部D D处的俯角为处的俯角为4545，求乙楼，求乙楼CDCD的高度的高度.(.(结果精确到结果精确到0.1 m0.1 m， ) )提示：提示：仰角和俯角都是视线与水平线的夹角，本题中的仰角不仰角和俯角都是视线与水平线的夹角，本题中的仰角不是是C.C.