第一章 电路的基本概念和定律 第一章 电路的基本概念和定律 1.1 电路模型电路模型 1.2 电路变量电路变量 1.3 欧姆定律欧姆定律 1.4 理想电源理想电源 1.5 基尔霍夫定律基尔霍夫定律 1.6 电路等效电路等效 1.7 实际电源的模型及其互换实际电源的模型及其互换 1.8 电阻电阻、电路互换等效电路互换等效 1.9 受控源受控源 1.10 小结小结 第一章 电路的基本概念和定律 1.1 电电 路路 模模 型型 1.1.1 实际电路组成与功能实际电路组成与功能 图 1.1-1手电筒电路 第一章 电路的基本概念和定律 它由 3 部分组成： 是提供电能的能源， 简称电源， 它的作用是将其他形式的能量转换为电能(图中干电池电源是将化学能转换为电能)； 是用电装置，统称其为负载， 它将电源供给的电能转换为其他形式的能量(图中灯泡将电能转换为光和热能)； 是连接电源与负载传输电能的金属导线，简称导线。图中S是为了节约电能所加的控制开关，需要照明时将开关S闭合，不需要照明时将S打开。电源、负载与连接导线是任何实际电路都不可缺少的 3 个组成部分。 第一章 电路的基本概念和定律 实际电路种类繁多，但就其功能来说可概括为两个方面。 其一，是进行能量的传输、分配与转换。典型的例子是电力系统中的输电电路。发电厂的发电机组将其他形式的能量(或热能、或水的势能、或原子能等)转换成电能，通过变压器、 输电线等输送给各用户负载，那里又把电能转换成机械能(如负载是电能机)、光能(如负载是灯泡)、热能(如负载是电炉等)， 为人们生产、生活所利用。其二，是实现信息的传递与处理。这方面典型的例子有电话、收音机、电视机电路。接收天线把载有语言、音乐、图像信息的电磁波接收后，通过电路把输入信号(又称激励)变换或处理为人们所需要的输出信号(又称响应)，送到扬声器或显像管，再还原为语言、音乐或图像。第一章 电路的基本概念和定律 1.1.2 电路模型电路模型 图 1.1-2 理想电阻、电容、电感元件模型 第一章 电路的基本概念和定律 (1) 理想电路元件是具有某种确定的电磁性能的理想元件：理想电阻元件只消耗电能 (既不贮藏电能，也不贮藏磁能)；理想电容元件只贮藏电能 (既不消耗电能，也不贮藏磁能)；理想电感元件只贮藏磁能 (既不消耗电能，也不贮藏电能)。理想电路元件是一种理想的模型并具有精确的数学定义，实际中并不存在。但是不能说所定义的理想电路元件模型理论脱离实际，是无用的。这尤如实际中并不存在“质点”但“质点”这种理想模型在物理学科运动学原理分析与研究中举足轻重一样，人们所定义的理想电路元件模型在电路理论问题分析与研究中充当着重要角色。(2) 不同的实际电路部件，只要具有相同的主要电磁性能，在一定条件下可用同一个模型表示，如上述的灯泡、电炉、电阻器这些不同的实际电路部件在低频电路里都可用电阻R表示。(3) 同一个实际电路部件在不同的应用条件下， 它的模型也可以有不同的形式， 第一章 电路的基本概念和定律 图1.1-3 实际电感元件在不同应用条件下之模型第一章 电路的基本概念和定律 图 1.1-4 图1.1-1 电路之模型图 第一章 电路的基本概念和定律 实际电路部件的运用一般都和电能的消耗现象及电、磁能的贮存现象有关，它们交织在一起并发生在整个部件中。这里所谓的“理想化”指的是：假定这些现象可以分别研究，并且这些电磁过程都分别集中在各元件内部进行；这样的元件(电阻、电容、电感)称为集总参数元件，简称为集总元件。由集总元件构成的电路称为集总参数电路。 用集总参数电路模型来近似地描述实际电路是有条件的，它要求实际电路的尺寸l(长度)要远小于电路工作时电磁波的波长, 即 第一章 电路的基本概念和定律 1.2 电路变量电路变量 1.2.1 电流电流 电荷有规则的定向运动，形成传导电流。一段金属导体内含有大量的带负电荷的自由电子，通常情况下，这些自由电子在其内部作无规则的热运动，如图1.2-1(a)所示。在这种情况下，金属导体内虽有电荷运动，但由于电荷运动是杂乱无规则的，因而不形成传导电流。如果在AB段金属导体的两端连接上电源，那么带负电荷的自由电子就要逆电场方向运动， 这样，AB段金属导体内就有电荷作规则的定向运动，于是就形成传导电流，如图1.2-1(b)所示，图中E为电场强度。在其他场合，如电解溶液中的带电离子作规则定向运动也会形成传导电流。 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.2-1 电流形成示意图 第一章 电路的基本概念和定律 电流，虽然人们看不见摸不着它，但可通过电流的各种效应(譬如磁效应、热效应)来感觉它的客观存在，这是人们所熟悉的常识。所以，毫无疑问，电流是客观存在的物理现象。为了从量的方面量度电流的大小，引入电流强度的概念。 单位时间内通过导体横截面的电荷量定义为电流强度，如图 1.2-2所示。电流强度用i(t)表示， 即 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.2-2 电流强度定义说明图 第一章 电路的基本概念和定律 式中q(t)为通过导体横截面的电荷量。若dq(t)/dt为常数， 即是直流电流，常用大写字母I表示。电流强度的单位是安培(A)， 简称“安”。电力系统中嫌安培单位小，有时取千安(kA)为电流强度的单位。而无线电系统中(如晶体管电路中)又嫌安培这个单位太大，常用毫安(mA)、 微安(A)作电流强度单位。它们之间的换算关系是 第一章 电路的基本概念和定律 电流不但有大小，而且有方向。规定正电荷运动的方向为电流的实际方向。在一些很简单的电路中，如图 1.1-4，电流的实际方向是显而易见的，它是从电源正极流出，流向电源负极的。但在一些稍复杂的电路里，如图1.2-3 所示桥形电路中，R5上的电流实际方向就不是一看便知的。不过，R5上电流的实际方向只有 3 种可能：(1) 从a流向b; (2) 从b流向a; (3) 既不从a流向b, 又不从b流向a(R5上电流为零)。所以说，对电流这个物理现象可以用代数量来描述它。简言之，电流是代数量，当然可以像研究其它代数量问题一样选择正方向，即参考方向。假定正电荷运动的方向为电流的参考方向，用箭头标在电路图上。今后若无特殊说明，就认为电路图上所标箭头是电流的参考方向。 对电路中电流设参考方向还有另一方面的原因，那就是在交流电路中电流的实际方向在不断地改变，因此很难在这样的电路中标明电流的实际方向，而引入电流的参考方向也就解决了这一难题。 在对电路中电流设出参考方向以后，若经计算得出电流为正值，说明所设参考方向与实际方向一致；若经计算得出电流为负值，说明所设参考方向与实际方向相反。 电流值的正与负在设定参考方向的前提下才有意义。 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.2-3 桥形电路 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.2-4 直流电流测试电路 第一章 电路的基本概念和定律 1.2.2 电压电压 两点之间的电位之差即是两点间的电压。从电场力做功概念定义，电压就是将单位正电荷从电路中一点移至电路中另一点电场力做功的大小，如图 1.2-5 所示。用数学式表示，即为 图 1.2-5 定义电压示意图第一章 电路的基本概念和定律 式中dq为由a点移至b点的电荷量，单位为库仑(C); dw是为移动电荷dq电场力所做的功，单位为焦耳(J)。电位、电压的单位都是伏特(V), 1V电压相当于为移动1C正电荷电场力所做的功为 1J。在电力系统中嫌伏特单位小，有时用千伏(kV)。在无线电电路中嫌伏特单位太大，常用毫伏(mV)、微伏(V)作电压单位。 从电位、电压定义可知它们都是代数量，因而也有参考方向问题。电路中，规定电位真正降低的方向为电压的实际方向。但在复杂的电路里，如图1.2-3中R5两端电压的实际方向是不易判别的，或在交流电路里，两点间电压的实际方向是经常改变的，这给实际电路问题的分析计算带来困难，所以也常常对电路中两点间电压设出参考方向。 第一章 电路的基本概念和定律 所谓电压参考方向，就是所假设的电位降低之方向，在电路图中用“+”“-”号标出，或用带下脚标的字母表示。如电压uab，脚标中第一个字母a表示假设电压参考方向的正极性端， 第二个字母b表示假设电压参考方向的负极性端。以后如无特殊说明，电路图中“+”、 “-”标号就认为是电压的参考方向。 在设定电路中电压参考方向以后，若经计算得电压uab为正值，图 1.2-6 直流电压测量电路说明a点电位实际比b点电位高；若uab为负值，说明a点电位实际比b点低。同电流一样，两点间电压数值的正与负是在设定参考方向的条件下才有意义。 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.2-6 直流电压测量电路第一章 电路的基本概念和定律 电压大小、方向均恒定不变时为直流电压，常用大写U表示。对直流电压的测量，是根据电压的实际方向，将直流电压表并联接入电路，使直流电压表的正极接所测电压的实际高电位端，负极接所测电压的实际低电位端。譬如，理论计算得Uab=5V, Ubc=-3V,要测量这两个电压，电压表应如图 1.2-6 所示那样接入电路。中V1、V2为电压表，两旁的“+”、“-”标号分别为直流电压表的正、负极性端。第一章 电路的基本概念和定律 例例1.2-1 如图 1.2-7(a)所示电路，若已知2s内有4C正电荷均匀的由a点经b点移动至c点，且知由a点移动至b点电场力做功8J，由b点移动到c点电场力做功为12J。 (1) 标出电路中电流参考方向并求出其值，若以b点作参考点(又称接地点)，求电位Va、Vb、Vc, 电压Uab、Ubc。 (2) 标电流参考方向与(1)时相反并求出其值，若以c点作参考点，再求电位Va、Vb、Vc, 电压Uab、Ubc。 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.2-7 例 1.2-1 用电路第一章 电路的基本概念和定律 解解 (1) 设电流参考方向如(b)图所示，并在b点画上接地符号。依题意并由电流强度定义得 由电位定义，得 (b点为参考点) 第一章 电路的基本概念和定律 题目中已知4C正电荷由b点移动至c点电场力做功12J，本问是以b为参考点求c点电位，就是说，若将4C正电荷由c点移动至b点，电场力做功应为-12J，所以计算c点电位时算式中要用-12。应用电压等于电位之差关系，求得 第一章 电路的基本概念和定律 (2) 按题目中第2问要求设电流参考方向如(c)图，并在c点画上接地符号。由电流强度定义，得 电位 (c为参考点) 第一章 电路的基本概念和定律 所以电压 重要结论：(1) 电路中电流数值的正与负与参考方向密切相关，参考方向设的不同，计算结果仅差一负号。(2) 电路中各点电位数值随所选参考点的不同而改变，但参考点一经选定，那么各点电位数值就是唯一的，这就是电位的相对性与单值存在性。(3) 电路中任意两点之间的电压数值不因所选参考点的不同而改变。 第一章 电路的基本概念和定律 1.2.3 电功率电功率 单位时间做功大小称作功率，或者说做功的速率称为功率。在电路问题中涉及的电功率即是电场力做功的速率，以符号p(t)表示。功率的数学定义式可写为 式中dw为dt时间内电场力所做的功。功率的单位为瓦(W)。 1瓦功率就是每秒做功 1 焦耳，即1W = 1J/s。 第一章 电路的基本概念和定律 电流的参考方向设成从a流向b, 电压的参考方向设成a为高电位端，b为低电位端，这样所设的电流电压参考方向称为参考方向关联。设在dt时间内在电场力作用下由a点移动到b点的正电荷量为dq, a点至b点电压u意味着单位正电荷从a移动到b点电场力所做的功，那么移动dq正电荷电场力做的功为dw=udq。电场力做功说明电能损耗，损耗的这部分电能被ab这段电路所吸收。第一章 电路的基本概念和定律 由 得 再由 得 根据功率定义 p(t) = dw/dt, 得 第一章 电路的基本概念和定律 在电压电流参考方向关联的条件下，一段电路所吸收的电功率为该段电路两端电压、电流之乘积。代入u、i数值，经计算，若p为正值，图1.2-8 电压电流参考方向非关联情况该段电路吸收功率；p为负值，该段电路吸收负功率，即该段电路向外供出功率，或者说产生功率。例如算得ab这段电路吸收功率为-3W, 那么说成ab段电路产生3W的功率也是正确的。 如果遇到电路中电压电流参考方向非关联情况，如图1.2-8所示，在计算吸收功率的公式中需冠以负号，即 第一章 电路的基本概念和定律 有时，要计算一段电路产生功率(供出功率)，无论u，i参考方向关联或非关联情况，所用公式与计算吸收功率时的公式恰恰相反。即u, i参考方向关联，计算产生功率用-ui计算；u, i参考方向非关联，计算产生功率用ui计算。这是因为“吸收”与“供出”二者就是相反的含义，所以计算吸收功率与供出功率的公式符号相反是理所当然的事。 图 1.2-8 电压电流参考方向非关联情况 第一章 电路的基本概念和定律 例例1.2-2图图 1.2-9 所示电路，已知i=1A, u1=3V, u2=7V, u3=10 V, 求ab、bc、ca三部分电路上各吸收的功率p1, p2, p3。 解解 对ab段、bc段，电压电流参考方向关联，所以吸收功率 对ca段电路，电压电流参考方向非关联，所以这段电路吸收功率 实际上ca这段电路产生功率为 10W。 第一章 电路的基本概念和定律 由此例可以看出：p1+p2+p3=0, 即对一完整的电路来说， 它产生的功率与消耗的功率总是相等的，这称为功率平衡。 第一章 电路的基本概念和定律 表表 1-1 第一章 电路的基本概念和定律 1.3 欧欧 姆姆 定定 律律 如果电阻值不随其上电压或电流数值变化，称线性电阻。阻值不随时间t变化的线性电阻，称线性时不变电阻。一般实际中使用的诸如碳膜电阻、金属膜电阻、线绕电阻等都可近似看作是这类电阻。 第一章 电路的基本概念和定律 1.3.1 欧姆定律欧姆定律 欧姆定律(Ohms Law, 简记OL)是电路分析中重要的基本定律之一，它说明流过线性电阻的电流与该电阻两端电压之间的关系，反映了电阻元件的特性。这里我们联系电流、电压参考方向讨论欧姆定律。图1.3-1(a)是理想电阻模型， 设电压、电流参考方向关联，图 1.3-1(b)是它的伏安特性， 为处在ui平面一、 三象限过原点的直线。写该直线的数学解析式，即有 此式就是欧姆定律公式。电阻的单位为欧姆()。 电阻的倒数称电导，以符号G表示， 即 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.3-1 理想电阻模型及伏安特性 第一章 电路的基本概念和定律 在国际单位制中，电导的单位是西门子，简称西(S)。从物理概念上看，电导是反映材料导电能力强弱的参数。电阻、电导是从相反的两个方面来表征同一材料特性的两个电路参数， 所以，定义电导为电阻之倒数是有道理的。 应用电导参数来表示电流和电压之间关系时，欧姆定律形式可写为 第一章 电路的基本概念和定律 (1) 欧姆定律只适用于线性电阻。(2) 如果电阻R上的电流电压参考方向非关联，如图 1.3-2 所示，则欧姆定律公式中应冠以负号， 即 或 在参数值不等于零、不等于无限大的电阻、电导上，电流与电压是同时存在、同时消失的。或者说，在这样的电阻、电导上，t时刻的电压(或电流)只决定于t时刻的电流(或电压)。 这说明电阻、电导上的电压(或电流)不能记忆电阻、电导上的电流(或电压)在“历史”上(t时刻以前)所起过的作用。所以说电阻、 电导元件是无记忆性元件，又称即时元件。 第一章 电路的基本概念和定律 图1.3-2 电流电压参考方向非关联第一章 电路的基本概念和定律 1.3.2 电阻元件上消耗的功率与能量电阻元件上消耗的功率与能量 电阻电阻R上吸收电功率为上吸收电功率为 或 可得电导G上吸收电功率为 或 第一章 电路的基本概念和定律 电阻(或其他的电路元件)上吸收的能量与时间区间相关。设从t0t区间电阻R吸收的能量为w(t), 则它应等于从t0到t对它吸收的功率p(t)作积分， 即 为避免积分上限t与积分变量t相混淆，将积分变量换为。 第一章 电路的基本概念和定律 例例1.3-1 阻值为2的电阻上的电压电流参考方向关联，已知电阻上电压u(t)=4costV,求其上电流i(t)、消耗的功率p(t)。 解解 因电阻上电压、电流参考方向关联，所以其上电流 消耗的功率 第一章 电路的基本概念和定律 例例 1.3-2 求一只额定功率为100W、额定电压为220V的灯泡的额定电流及电阻值。 解解 由 第一章 电路的基本概念和定律 例例 1.3-3 某学校有5个大教室，每个大教室配有16个额定功率为 40W、额定电压为 220V的日光灯管，平均每天用 4h(小时)，问每月(按30天计算)该校这5个大教室共用电多少kWh? 解解 kWh读作千瓦小时，它是计量电能的一种单位。1 000W的用电器具加电使用 1h，它所消耗的电能为1kWh， 即日常生活中所说的1度电。有了这一概念，计算本问题就是易事。 第一章 电路的基本概念和定律 1.4 理理 想想 电电 源源 不管外部电路如何，其两端电压总能保持定值或一定的时间函数的电源定义为理想电压源。 图 1.4-1 理想电压源模型 第一章 电路的基本概念和定律 (1) 对任意时刻t1, 理想电压源的端电压与输出电流的关系曲线(称伏安特性)是平行于i轴、其值为us(t1)的直线，如图 1.4-2 所示。图 1.4-2 理想电压源伏安特性 第一章 电路的基本概念和定律 (2) 由伏安特性可进一步看出，理想电压源的端电压与流经它的电流方向、大小无关，即使流经它的电流为无穷大， 其两端电压仍为us(t1)(对t1时刻)。若理想电压源us(t)=0, 则伏安特性为iu平面上的电流轴，它相当于短路。 (3) 理想电压源的端电压由自身决定，而流经它的电流由它及外电路所共同决定，或者说它的输出电流随外电路变化。 电流可以不同的方向流过电源，因此理想电压源可以对电路提供能量(起电源作用)，也可以从外电路接受能量(当作其他电源的负载)，这要看流经理想电压源电流的实际方向而定。 理论上讲，在极端情况下，理想电压源可以供出无穷大能量， 也可以吸收无穷大能量。 第一章 电路的基本概念和定律 例例1.4-1 图1.4-3 电路中，A部分电路为理想电压源Us=6V; B部分电路即负载电阻R是电压源Us的外部电路，它可以改变。电流I、电压U参考方向如图中所标。求： (1) R=时的电压U，电流I，Us电压源产生功率Ps; (2) R=6时的电压U，电流I，Us电压源产生功率Ps; (3) 当R0时电压U，电流I，Us电压源产生功率Ps。 解解 (1) R=时即外部电路开路，Us为理想电压源，所以 依据欧姆定律 第一章 电路的基本概念和定律 (2) R=6时 Us产生功率 (3) 当R0时，显然 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.4-3 例1.4-1 用图 第一章 电路的基本概念和定律 例例1.4-2 图 1.4-4 电路中，B部分电路是由电阻R与另一理想电压源Us2=12V串联构成，作为A部分电路Us1=6V的理想电压源的外部电路，电压U、电流I参考方向如图中所标。求： (1) R=6时电流I、理想电压源Us1吸收功率Ps1。 (2) R0时电流I、Us1吸收功率Ps1。 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.4-4 例 1.4-2 用图 第一章 电路的基本概念和定律 解解 (1) a点电位Va=6V, b点电位Vb=12V，电压Uab=Va-Vb=6-12=-6V，根据欧姆定律，得电流 对Us1电压源来说，U、I参考方向非关联，所以Us1吸收功 此时Us1不起电源作用，事实上它成了12V理想电压源的负载。 第一章 电路的基本概念和定律 (2) 当R0时，显然 此时Us1吸收功率 理想电压源Us1供出的电流为负值，在R0极端情况下， Us1电压源吸收功率为无穷大。 第一章 电路的基本概念和定律 1.4.2 理想电流源理想电流源 不管外部电路如何，其输出电流总能保持定值或一定的时间函数的电源定义为理想电流源 图 1.4-5 理想电流源模型 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.4-6 理想电流源伏安特性 第一章 电路的基本概念和定律 (1) 对任意时刻t1, 理想电流源的伏安特性是平行于u轴其值为is(t1)的直线。 (2) 由理想电流源伏安特性可进一步看出，理想电流源发出的电流i(t)=is(t)与其两端电压大小、方向无关，即使两端电压为无穷大也是如此。如果理想电流源is(t)=0, 则伏安特性为ui平面上的电压轴，它相当于开路。 (3) 理想电流源的输出电流由它本身决定，而它两端电压由其本身的输出电流与外部电路共同决定。 第一章 电路的基本概念和定律 例例1.4-3图 1.4-7 所示电路，A部分电路为直流理想电流源Is=2A, B部分电路即负载电阻R为理想电流源Is的外部电路。 设U、I参考方向如图中所标，求： (1) R=0时电流I，电压U及Is电流源产生的功率Ps; (2) R=3时电流I，电压U及Is电流源产生的功率Ps; (3) R时电流I，电压U及Is电流源产生功率Ps。 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.4-7 例 1.4-3 用图 第一章 电路的基本概念和定律 解解 (1) R=0时即外部电路短路，Is为理想电流源，所以电路 由欧姆定律算得电压 对Is电流源来说，I、U参考方向非关联，所以Is电流源产生功率 第一章 电路的基本概念和定律 (2) R=3时，电流 电压 Is电流源产生功率 第一章 电路的基本概念和定律 (3) 当R时，根据理想电流源定义， 第一章 电路的基本概念和定律 1.5 基尔霍夫定律基尔霍夫定律 1.支路支路2.节点节点 3.3. 回路回路4.4.网孔网孔 图 1.5-1 介绍电路术语用图 第一章 电路的基本概念和定律 1.5.1 基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律(KCL) KCL是描述电路中与节点相连的各支路电流间相互关系的定律。它的基本内容是：对于集总参数电路的任意节点，在任意时刻流出该节点的电流之和等于流入该节点的电流之和。 例如，对于图 1.5-2 所示电路中的节点b, 有 对于集总参数电路中的任意节点，在任意时刻，流出或流入该节点电流的代数和等于零。如果连接到某节点有m个支路，第k条支路的电流为Ik(t), k=1, 2, , m，则KCL可写为 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.5-2 电路中节点b 第一章 电路的基本概念和定律 KCL是电荷守恒定律和电流连续性在集总参数电路中任一节点处的具体反映。所谓电荷守恒定律，即是说电荷既不能创造，也不能消灭。基于这条定律，对集总参数电路中某一支路的横截面来说，它“收支”是完全平衡的。即是说，流入横截面多少电荷即刻又从该横截面流出多少电荷，dq/dt在一条支路上应处处相等，这就是电流的连续性。对于集总参数电路中的节点，在任意时刻t, 它“收支”也是完全平衡的，所以KCL是成立的。 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.5-3 KCL应用于闭曲面S 第一章 电路的基本概念和定律 如图 1.5-3(a)所示电路，对闭曲面S，有 若两部分电路只有一根线相连，由KCL可知，该支路中无电流。如图 1.5-3(b)所示电路，作闭曲面S，因只有一条支路穿出S面，根据KCL, 有i=0。 第一章 电路的基本概念和定律 关于KCL的应用，应再明确以下几点： (1) KCL具有普遍意义，它适用于任意时刻、任何激励源(直流、交流或其他任意变动激励源)情况的一切集总参数电路。 (2) 应用KCL列写节点或闭曲面电流方程时，首先要设出每一支路电流的参考方向，然后依据参考方向是流入或流出取号(流出者取正号，流入者取负号，或者反之)列写出KCL方程。另外，对连接有较多支路的节点列KCL方程时不要遗漏了某些支路。 第一章 电路的基本概念和定律 例例 1.5-1 如图 1.5-4 所示电路，已知i1=4A, i2=7A, i4=10A, i5=-2A, 求电流i3、i6。 图 1.5-4 例 1.5-1 用图 第一章 电路的基本概念和定律 解解 选流出节点的电流取正号。对节点b列KCL方程，有 则 对节点a列KCL方程，有 则 第一章 电路的基本概念和定律 还可应用闭曲面S列KCL方程求出i6, 如图中虚线所围闭曲面S， 设流出闭曲面的电流取正号，列方程 所以 第一章 电路的基本概念和定律 1.5.2 基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律(KVL) KVL是描述回路中各支路(或各元件)电压之间关系的。 它的基本内容是：对任何集总参数电路，在任意时刻，沿任意闭合路径巡行， 各段电路电压的代数和恒等于零。其数学表示式为 式中uk(t)代表回路中第k个元件上的电压，m为回路中包含元件的个数。如图 1.5-5 所示电路，对回路A有 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.5-5 某电路中一个回路 第一章 电路的基本概念和定律 KVL的实质，反映了集总参数电路遵从能量守恒定律，或者说，它反映了保守场中做功与路径无关的物理本质。从电路中电压变量的定义容易理解KVL的正确性。参看图1.5-5，如果自a点出发移动单位正电荷，沿着构成回路的各支路又“走”回到a点，相当求电压uaa, 显然应是Va-Va = 0。 KVL不仅适用于电路中的具体回路，对于电路中任何一假想的回路，它也是成立的。例如对图1.5-5 中假想回路B，可列如下方程： 式中ux(t)为假想元件上的电压，这样 第一章 电路的基本概念和定律 如果已知u3(t)、u4(t)、u5(t), 即可求出电压ux(t)。就求电路中一段电路上电压来说，更经常使用的是电压定义，即由电路中某点“走”至另一点，沿途各元件上电压代数和就是这两点之间的电压。关于KVL的应用，也应注意两点： (1)KVL适用于任意时刻、任意激励源情况的一切集总参数电路。 (2) 应用KVL列回路电压方程时，首先设出回路中各元件(或各段电路)上电压参考方向，然后选一个巡行方向(顺时针或逆时针均可)，自回路中某一点开始，按所选巡行方向沿着回路“走”一圈。“走”的过程中遇各元件取号法则是： “走”向先遇元件上电压参考方向的“+”端取正号，反之取负号。若回路中有电阻R元件，电阻元件又只标出了电流参考方向，这时列KVL方程时， “走”向与电流方向一致时电阻上电压为+Ri, 反之，为-Ri。 第一章 电路的基本概念和定律 例例 1.5-2 如图1.5-6 电路，已知I=0.3 A，求电阻R。 图 1.5-6 例 1.5-2 用图 第一章 电路的基本概念和定律 解解 在求解电路时为了叙述、书写方便，需要的话，可以在电路上设出一些点，如图中a、b、c、d点。用到的电流、电压一定要在电路上标出参考方向(切记)，如图中电流I1、I2、I3、 IR, 电压UR。 应该说在动手解答之前还要把问题分析清楚。 这里所说分析问题包含这样两个内容：一是明确题意，即明确哪些是已知条件，哪些是待求量，若遇文字叙述的题目更应如此。就求解的一般电路问题来说题意是容易清楚的。分析问题的第二个内容是确定解题的思路：根据什么概念、定律求什么量，先求什么量后求什么量作好安排。问题分析中确定好解题思路，动手解算起来就可以做到逻辑条理性好， 解答过程简洁明了。第一章 电路的基本概念和定律 分析问题的过程是不需要写出来的，但却是解题之前应该做到的， 也是读者“能力”训练的一部分。 这里以本例作示范，看如何确定解题的路线，以简图的形式给出。图中“”符号表示“应先求”之意，括号后两个量不对齐书写， 表示居前者先求。 本问题求解流程图如下： 第一章 电路的基本概念和定律 根据待求的R由左向右(看箭头方向)分析过去，求解的顺序是由右向左(逆箭头方向)求解过来。具体计算(需要写出来的步骤)： 第一章 电路的基本概念和定律 例例 1.5-3 如图 1.5-7 电路，已知R1=2, R2=4，u=12V, us2=10 V, us3=6V, 求a点电位va。 图 1.5-7 例 1.5-3 用图 第一章 电路的基本概念和定律 解解 本题d点为参考点，由KCL可知i1=0, 所以回路A各元件上流经的是同一个电流i, 由KVL列写方程 代入已知的各电阻及理想电压源的数据，得 所以 求电位va, 就是求a点到参考点的电压，它是自a点沿任一条可以到“地”的路径“走”至“地”，沿途各段电路电压的代数和， 所以有第一章 电路的基本概念和定律 图 1.5-8 电路图的电位表示法 第一章 电路的基本概念和定律 1.6 电电 路路 等等 效效 1.6.1 电路等效的一般概念电路等效的一般概念 若B与C具有相同的电压电流关系即相同的VAR，则称B与C是互为等效的。这就是电路等效的一般定义。 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.6-1 具有相同VAR的两部分电路 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.6-2 电路等效示意图 第一章 电路的基本概念和定律 电路等效变换的条件是相互代换的两部分电路具有相同的VAR； 电路等效的对象是A (也就是电路未变化的部分) 中的电流、 电压、 功率； 电路等效变换的目的是为简化电路， 可以方便地求出需要求的结果。 第一章 电路的基本概念和定律 1.6.2 电阻的串联与并联电阻的串联与并联 1. 电阻的串联电阻的串联 图 1.6-3 电阻串联及等效电路 第一章 电路的基本概念和定律 由欧姆定律及KVL，得 若把图1.6-3(a)看作等效电路定义中所述的B电路，(1.6-1)式就是它的VAR。另有单个电阻Req的电路，视它为等效电路定义中所述的电路，如图1.6-3(b)所示。由欧姆定律写它的VAR为 所以等效电阻 (1.6-3)第一章 电路的基本概念和定律 电阻串联，其等效电阻等于相串联各电阻之和。 电阻串联有分压关系。若知串联电阻两端的总电压，求相串联各电阻上的电压，称分压。 由欧姆定律，得 (1.6-4)第一章 电路的基本概念和定律 将(1.6-3)式代入(1.6-4)式，得最经常使用的两个电阻串联时的分压公式 (1.6-5)由(1.6-4)式或(1.6-5)式不难得到 第一章 电路的基本概念和定律 电阻串联分压与电阻值成正比，即电阻值大者分得的电压大。 电阻串联电路消耗的总功率等于相串联各电阻消耗功率之和，且电阻值大者消耗的功率大。 第一章 电路的基本概念和定律 2. 电阻的并联电阻的并联 图 1.6-4 两电阻并联及等效电路 第一章 电路的基本概念和定律 图1.6-4(a)是两个电阻相并联的电路，设电压、电流参考方向关联，由欧姆定律及KCL，得 图 1.6-4(b)是单个电阻Req的电路，由欧姆定律可写出它的VAR为 (1.6-9)(1.6-8)由电路等效条件，令(1.6-9)式与(1.6-8)式相等，即 所以 (1.6-10)第一章 电路的基本概念和定律 电阻并联，其等效电阻之倒数等于相并联各电阻倒数之和。这一结论也适用于两个以上电阻并联的情况。将(1.6-10)式右端通分并两端取倒数，得最常用的两个电阻并联后之等效电阻的公式 电阻并联有分流关系。若知并联电阻电路的总电流，求相并联各电阻上的电流称分流。参看图 1.6-4，由(1.6-9)式， 得 第一章 电路的基本概念和定律 应用欧姆定律，得 (1.6-12) 将(1.6-12)式中i1与i2相比，可得 第一章 电路的基本概念和定律 电阻并联分流与电阻值成反比，即电阻值大者分得的电流小。如果已知电阻并联电路中某一电阻上的分电流，可应用欧姆定律及KCL方便地求出总电流。 电阻并联电路功率关系为：电阻并联电路消耗的总功率等于相并联各电阻消耗功率之和，且电阻值大者消耗的功率小。 第一章 电路的基本概念和定律 联系图 1.6-4(a)电路， 有 (1.6-15) 第一章 电路的基本概念和定律 3.电阻的混联电阻的混联 既有电阻串联又有电阻并联的电路称电阻混联电路。 判别混联电路的串并联关系一般应掌握下述3点： (1)看电路的结构特点。 (2) 看电压电流关系。 (3) 对电路作变形等效。 第一章 电路的基本概念和定律 4. 电导的串联电导的串联 图 1.6-5 电导的串联与并联 第一章 电路的基本概念和定律 对于如图 1.6-5(a)所示的两电导相串联的电路，可得等效电导 分压公式 功率关系 第一章 电路的基本概念和定律 5. 电导的并联电导的并联对于图 1.6-5(b)所示的两电导相并联电路， 可得等效电导 分流公式 功率关系 第一章 电路的基本概念和定律 6. 电压表和电流表电压表和电流表 例例 1.6-1对如图1.6-6所示微安计与电阻串联组成的多量程电压表，已知微安计内阻R1=1k，各档分压电阻分别为R2=9 k，R3=90k，R4=900k；这个电压表的最大量程(用端钮“0”、 “4”测量， 端钮“1”、 “2”、 “3”均断开)为500 V。试计算表头所允许通过的最大电流及其他量程的电压值。 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.6-6 多量程电压表 第一章 电路的基本概念和定律 解解 当用“0”、 “4”端测量时，电压表的总电阻 若这时所测的电压恰为500V(这时表头也达到满量程)，则通过表头的最大电流 当开关在“1”档时(“2”、 “3”、 “4”端钮断开) 第一章 电路的基本概念和定律 当开关在“2”档时(“1”、 “3”、 “4”端钮断开) 当开关在“3”档时(“1”、 “2”、 “4”端钮断开) 由此可见，直接利用该表头测量电压，它只能测量0.5V以下的电压，而串联了分压电阻R2、R3、R4以后，作为电压表，它就有 0.5V、5V、50V、500V四个量程，实现了电压表的量程扩展。 第一章 电路的基本概念和定律 例例 1.6-2 多量程电流表如图 1.6-7 所示，已知表头内阻RA = 2 300，量程为50A，各分流电阻分别为R1=1，R2=9, R3=90。求扩展后各量程。 图 1.6-7 多量程电流表 第一章 电路的基本概念和定律 解解 基本表头偏转满刻度为 50A。当用“0”、“1”端钮测量时，“2”、 “3”端钮开路，这时RA、R2、R3是相串联的，而R1与它们相并联.第一章 电路的基本概念和定律 同理，用“0”、“2”端测量时，“1”、“3” 端开路，这时流经表头的电流仍应为 50 A， 由分流公式得 所以 当用“0”、“3”端测量时，“1”、“2” 端开路，这时流经表头的电流IA(满刻度)仍是0.05 mA, 第一章 电路的基本概念和定律 则有 由此例可以看出，直接利用该表头测量电流，它只能测量 0.05mA 以下的电流，而并联了分流电阻R1、R2、R3 以后，作为电流表，它就有120mA、12mA、1.2mA 三个量程，实现了电流表的量程扩展。 第一章 电路的基本概念和定律 例例1.6-3 图1.6-8 所示的是一个常用的简单分压器电路。电阻分压器的固定端 a、b 接到直流电压源上。固定端 b 与活动端 c 接到负载上。利用分压器上滑动触头 c 的滑动可在负载电阻上输出 0U的可变电压。已知直流理想电压源电压 U=18V, 滑动触头 c 的位置使R1=600，R2=400(见图 1.6-8(a)。 (1) 求输出电压 U2; (2) 若用内阻为 1 200 的电压表去测量此电压，求电压表的读数； (3) 若用内阻为 3 600 的电压表再测量此电压，求这时电压表的读数。 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.6-8 电阻分压器电路 第一章 电路的基本概念和定律 解解 (1) 未接电压表时，应用分压公式，得 第一章 电路的基本概念和定律 (2) 当接上电压表后，把图 1.6-8(a)改画成图 1.6-8(b), 其中RV 表示电压表的内阻。当用内阻为 1 200电压表测量时，RV=RV1=1 200 。参见(b)图， cb 端为 R2 与 RV1相并联的两端，所以等效电阻 由分压公式， 得 这时电压表的读数就是 6V。第一章 电路的基本概念和定律 (3) 当 用 内 阻 为 3 600电 压 表 测 量 时 ， 图 (b)中RV=RV2=3 600。这时 cb 端等效电阻 应用分压公式， 得 电压表内阻越大，对测试电路的影响越小。 实际电流表的内阻越小，对测试电路的影响越小。 第一章 电路的基本概念和定律 例例 1.6-4 求图 1.6-9(a)电路 ab 端的等效电阻。 图 1.6-9 例 1.6-4 用图 第一章 电路的基本概念和定律 解解 将短路线压缩，c、d、e 三个点合为一点，如图 1.6-9(b)， 再将能看出串并联关系的电阻用其等效电阻代替，如图 1.6-9(c)，由(c)图就可方便地求得 这里， “”表示两元件并联， 其运算规律遵守该类元件并联公式。 第一章 电路的基本概念和定律 1.6.3 理想电源的串联与并联理想电源的串联与并联 1. 理想电压源串联理想电压源串联 这时其等效源的端电压等于相串联理想电压源端电压的代数和， 即 (代数和) 第一章 电路的基本概念和定律 2. 理想电流源并联理想电流源并联 这时其等效源的输出电流等于相并联理想电流源输出电流的代数和， 即 (代数和) 图 1.6-11 理想电流源并联等效 第一章 电路的基本概念和定律 3. 3. 任任意意电电路路元元件件( (当当然然也也包包含含理理想想电电流流源源元元件件) )与与理理想想电电压源压源u us s并联并联图 1.6-12 任意元件与电压源并联等效 第一章 电路的基本概念和定律 4. 4. 任意电路元件任意电路元件( (当然也包含理想电压源当然也包含理想电压源) )与理想电流源与理想电流源i is s串联串联 图 1.6-13 任意元件与理想电流源串联等效 第一章 电路的基本概念和定律 例例1.6-5 图 1.6-14 所示电路，求：(1) (a)图中电流 i;(2) (b)图中电压 u;(3) (c)图中R 上消耗的功率pR。 解解(1) 将(a)图虚线框部分等效为一个理想电压源，如(a)图所示。由(a)图得 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.6-14 例 1.6-5 用图 第一章 电路的基本概念和定律 (2) 将(b)图虚线框部分等效为一个理想电流源，如(b)图所示。由(b)图得 (3) 将(c)图中虚线部分等效为4A理想电流源，如(c)图所示。在(c)中，应用并联分流公式(注意分流两次)，得 所以电阻 R 上消耗的功率 第一章 电路的基本概念和定律 1.7 实际电源的模型及其互换实际电源的模型及其互换 1.7.1 实际电源的模型实际电源的模型 图图 1.7-1 实际电源外特性测试实际电源外特性测试 第一章 电路的基本概念和定律 表表 1-2 R(开路开路) R1R2R3R40I0I1I2I3I4IsUUsU1U2U3U40式两端同除以 Rs，并经移项整理，得 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.7-2 实际电源的电压源模型 第一章 电路的基本概念和定律 令Is=Us/Rs并代入上式， 得 图 1.7-3 实际电源的电流源模型 第一章 电路的基本概念和定律 从实际电源的电压源模型形式(参见图 1.7-2)可以看出，实际电源供出电流I 越大，内阻上压降就越大，实际电源两端的电压也就越低； 若实际电源供出电流为零(外部开路)，内电阻上压降为零，则此时端电压等于理想电压源的端电压Us。 如果满足负载电阻远远大于内阻 Rs，即RRs，则由图 1.7-2 模型电路，根据电阻串联分压关系，得 第一章 电路的基本概念和定律 1.7.2 电压源、电流源模型互换等效电压源、电流源模型互换等效 图 1.7-4 电压源、电流源模型互换等效 第一章 电路的基本概念和定律 应用电源互换等效分析电路问题时还应注意这样几点： (1)电源互换是电路等效变换的一种方法。 (2)有内阻Rs的实际电源，它的电压源模型与电流源模型之间可以互换等效；理想的电压源与理想的电流源之间不便互换， 原因是这两种理想电源定义本身是相互矛盾的，二者不会具有相同的VAR。 (3) 电源互换等效的方法可以推广运用，如果理想电压源与外接电阻串联，可把外接电阻看作内阻，即可互换为电流源形式。如果理想电流源与外接电阻并联，可把外接电阻看作内阻，互换为电压源形式。电源互换等效在推广应用中要特别注意等效端子。第一章 电路的基本概念和定律 例例 1.7-1 如图 1.7-5(a)电路，求 b 点电位 Vb。 图 1.7-5 例 1.7-1 用图 第一章 电路的基本概念和定律 解解 一个电路若有几处接地，可以将这几点用短路线连在一起，连接以后的电路与原电路是等效的。应用电阻并联等效、电压源互换为电流源等效，将(a)图等效为(b)图。再应用电阻并联等效与电流源并联等效，将(b)图等效为(c)图。 由(c)图应用分流公式求得 第一章 电路的基本概念和定律 例例 1.7-2 如图 1.7-6(a)电路，求电流I。 解解 应用任意元件(也可是任意二端电路)与理想电压源并联可等效为该电压源及电源互换等效，将(a)图等效为(b)图，再应用理想电压源串联等效，将(b)图等效为(c)图。由(c)图算得 图 1.7-6 例例 1.7-2 用图用图 第一章 电路的基本概念和定律 1.8 电阻电阻、T电路互换等效电路互换等效 图 1.8-1 -T结构连接的电路 第一章 电路的基本概念和定律 1.8.1 形电路等效变换为形电路等效变换为T形电路形电路 图图 1.8-2 T 形、形、形连接电路形连接电路 第一章 电路的基本概念和定律 所谓形电路等效变换为T形电路，就是已知形电路中三个电阻R12、R13、R23，通过变换公式求出T形电路中的三个电阻R1、R2、R3, 将之接成T形去代换形电路中的三个电阻，这就完成了形互换等效为T形的任务。 对于图 1.8-2(a)、 (b)电路，由 KCL、KVL可知 由(a)图，根据KVL，有 (1.8-1)(1.8-2)第一章 电路的基本概念和定律 将(1.8-1)式代入上式， 得 由(b)图，据OL、KCL，有 (1.8-3)(1.8-4)第一章 电路的基本概念和定律 将(1.8-2)式代入上式，得 解上式，得 (1.8-5)(1.8-6)第一章 电路的基本概念和定律 令(1.8-3)、 (1.8-4)式与(1.8-5)、 (1.8-6)式分别相等，并比较等式两端，再令 i1、i2 前系数对应相等，即 (1.8-7)第一章 电路的基本概念和定律 由(1.8-7)式容易解得由 形连接变换等效为 T形连接的变换公式为 (1.8-8)第一章 电路的基本概念和定律 1.8.2T形电路等效变换为形电路等效变换为形电路形电路 所谓T形电路等效变换为形电路，就是已知T形电路中三个电阻R1、R2、R3, 通过变换公式求出形电路中的三个电阻R12、R23、R13, 将之接成形去代换T形电路的三个电阻，这就完成了T形互换等效为形的任务。 只需将(1.8-7)式中R1、R2, R3 看作已知，R12、R23、R13看作未知，便可得出形电路等效变换为形电路的变换公式： 第一章 电路的基本概念和定律 例例 1.8-1 图 1.8-3 电路，求电压 U1。 图 1.8-3 例 1.8-1 用图 第一章 电路的基本概念和定律 解解 应用、T互换将(a)图等效为(b)图，再应用电阻串并联等效求得等效电阻 第一章 电路的基本概念和定律 例例 1.8-2 如图 1.8-4(a)电路，求负载电阻 RL上消耗的功率PL。 解解 本例电路中各电阻之间既不是串联又不是并联，而是-T形结构连接。应用、T互换将(a)图等效为(b)图，再应用电阻串联等效及、T互换等效为(c)图。在(c)图中，应用分流公式，得 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.8-4 例 1.8-2 用图 第一章 电路的基本概念和定律 1.9 受受 控控 源源 所谓受控源，即大小方向受电路中其他地方的电压或电流控制的电源。这种电源有两个控制端钮(又称输入端)， 两个受控端钮(又称输出端)。 就其输出端所呈现的性能看，受控源可分为电压控制电压源与电流控制电压源两类；受控电流源又分为电压控制电流源与电流控制电流源两种。 第一章 电路的基本概念和定律 图 1.9-1 理想受控源模型 第一章 电路的基本概念和定律 例例 1.9-1 对图 1.9-2 电路，求 ab端开路电压 Uoc图 1.9-2 例 1.9-1 用图 第一章 电路的基本概念和定律 解解 设电流 I1 参考方向如图中所标，由KCL，得 对回路 A 应用 KVL 列方程 将(1.9-1)代入(1.9-2)式， 解得 由欧姆定律得开路电压 (1.9-1)(1.9-2)第一章 电路的基本概念和定律 例例 1.9-2 对图 1.9-3(a)电路，求 ab 端的输出电阻 Ro。图 1.9-3 例 1.9-2 用图 第一章 电路的基本概念和定律 加电压源u, 求电流 i; 加电流源 i, 求电压u(注意：所设u、i 的参考方向对二端电路来说是关联的)，则其等效电阻 在ab端外加电流源 i, 设电压 u 使 u、i 对二端电路来说参考方向关联，并设电流 i1、i2 参考方向如(b)图上所标。 因 又 所以 第一章 电路的基本概念和定律 由KVL列回路 A 的 KVL 方程 即 所以输出电阻第一章 电路的基本概念和定律 1.10 小小 结结 1.10.1 电路模型与电路中基本变量电路模型与电路中基本变量 在集总假设的条件下，定义一些理想电路元件(如R、L、C 等)，这些理想电路元件在电路中只起一种电磁性能作用，它有精确的数学解析式描述，也规定有模型表示符号。对实际的元器件， 根据它应用的条件及所表现出的主要物理性能，对其作某种近似与理想化(要有实际工程观点)，用所定义的一种或几种理想元件模型的组合连接，构成实际元器件的电路模型。若将实际电路中各实际部件都用它们的模型表示，这样所画出的图称为电路模型图(又称电原理图)。 第一章 电路的基本概念和定律 2.电路中的基本变量电路中的基本变量 1) 电流 电荷有规则的定向移动形成传导电流。其大小用电流强度， 即 i=dq/dt 表示，单位为安(A); 规定正电荷运动的方向为电流的实际方向；假定正电荷运动的方向为电流的参考方向。 2) 电压 电位之差称电压。用移动单位正电荷电场力做功来定义， 即u=dw/dq，单位为伏(V)；规定电位真正降低的方向为电压的实际方向；假定电位降低的方向为电压的参考方向。在分析电路时，所用到的电流、电压，首先应设出它们的参考方向。 第一章 电路的基本概念和定律 3) 功率 做功的速率称功率，即p=dw/dt，单位是瓦(W)。 对二端电路(其内可以是单个电路元件，亦可以由若干电路元件组合连接构成)，若电压电流参考方向关联，该段电路吸收功率 p吸=ui, 供出功率p供=-ui(供出功率也称产生功率)； 若电压电流参考方向非关联，则计算该段电路吸收功率和供出功率公式与参考方向关联时均差一负号。 第一章 电路的基本概念和定律 图 -1电源小结图1.10.2 电源电源 1.10第一章 电路的基本概念和定律 1.10.3 基本定律基本定律 定律名称 描述对象 定律形式 应 用 条 件 OL 电阻(电导) u=Ri(i=Gu) 线性电阻(电导)； u、 i参考方向关联， 若非关联公式中冠以负号 KCL 节点 i(t)=0 任何集总参数电路(含线性、 非线性、 时变、 时不变电路) KVL 回路 u(t)=0 (同KCL) 表 1-3 第一章 电路的基本概念和定律 1.10.4 电路等效电路等效 1. 等效定义等效定义 两部分电路 B 与 C， 若对任意外电路 A， 二者相互代换能使外电路 A 中有相同的电压、电流、功率，则称 B 电路与 C 电路是互为等效的。 2. 等效条件等效条件 B 与 C 电路具有相同的VAR。 3. 等效对象等效对象 任意外电路 A 中的电流、电压、功率。 4. 等效目的等效目的 为简化电路方便分析(求解)。 第一章 电路的基本概念和定律 第一章 电路的基本概念和定律 第一章 电路的基本概念和定律 第一章 电路的基本概念和定律