乘法分配律的价值乘法分配律的价值乘法分配律的乘法分配律的“难难”乘法分配律的乘法分配律的“广泛应用广泛应用”为为何何要要研研究究乘法分配律这一知识重要吗？乘法分配律这一知识重要吗？乘法分配律这一知识重要吗？乘法分配律这一知识重要吗？ 数学中，研究数的运算，在给出运算的定数学中，研究数的运算，在给出运算的定义之后，最主要的基础工作就是研究该运算的义之后，最主要的基础工作就是研究该运算的性质。性质。在运算的各种性质中，最基本的几条性在运算的各种性质中，最基本的几条性质，通常称为质，通常称为“运算定律运算定律”。也就是说，运算也就是说，运算定律是运算体系中具有普遍意义的规律，是运定律是运算体系中具有普遍意义的规律，是运算的基本性质，可作为推理的依据。如根据运算的基本性质，可作为推理的依据。如根据运算定律来证明运算的其他性质，根据运算定律算定律来证明运算的其他性质，根据运算定律和性质来证明运算法则的正确性，等等。和性质来证明运算法则的正确性，等等。乘法分配律这一知识重要吗？乘法分配律这一知识重要吗？乘法分配律这一知识重要吗？乘法分配律这一知识重要吗？ 本单元所学习的五条运算定律，不仅适用本单元所学习的五条运算定律，不仅适用于整数的加法和乘法，也适用于有理数的加法于整数的加法和乘法，也适用于有理数的加法和乘法。随着数的范围的进一步扩展，在实数和乘法。随着数的范围的进一步扩展，在实数甚至复数的加法和乘法中，它们仍然成立。因甚至复数的加法和乘法中，它们仍然成立。因此，这五条运算定律在数学中具有重要的地位此，这五条运算定律在数学中具有重要的地位和作用，被誉为和作用，被誉为“数学大厦的基石数学大厦的基石”。乘法分配律难吗？乘法分配律难吗？乘法分配律难吗？乘法分配律难吗？ 难！ 为什么难？ 难的时候一般出现在高年级，我们不妨看 看教材的编写。3.61.58.53.6乘法分配律难吗？乘法分配律难吗？乘法分配律难吗？乘法分配律难吗？从上面的例子可以看出，到了小数和分数从上面的例子可以看出，到了小数和分数范围内学生对于乘法分配律的运用只剩下了纯范围内学生对于乘法分配律的运用只剩下了纯形式化的应用。而没有以理解作为基础的学习，形式化的应用。而没有以理解作为基础的学习，这样的学习是痛苦的，老师也没有更好的语言这样的学习是痛苦的，老师也没有更好的语言来组织学生的建构。由此可见在四年级的时候来组织学生的建构。由此可见在四年级的时候对乘法分配律的深刻理解才是五年级和六年级对乘法分配律的深刻理解才是五年级和六年级甚至是初中学生学习的甚至是初中学生学习的根基！根基！乘法分配律难吗？乘法分配律难吗？乘法分配律难吗？乘法分配律难吗？难在它既有正用又有逆用，难在其变式特别多。难在它既有正用又有逆用，难在其变式特别多。1、将加法改、将加法改成减法成减法。如。如（40-4）252、需要将一个数拆开：如：、需要将一个数拆开：如：1022599253、要把一个数看成、要把一个数看成“一个数乘一个数乘1”：如：如：5236+5263+5298101-984、需要先转化出一个相同的因数。、需要先转化出一个相同的因数。0.2628+2.67.2乘法分配律难吗？乘法分配律难吗？乘法分配律难吗？乘法分配律难吗？5、需要将除法先转化成乘法。、需要将除法先转化成乘法。384620.256、两个数的和（差），变成多个数的和或者差。、两个数的和（差），变成多个数的和或者差。（25+125+50）83697+3615-3612而且我们会发现当学生学习完乘法分配律以而且我们会发现当学生学习完乘法分配律以后，各种不同的变式题目就一股脑的冒了出来，后，各种不同的变式题目就一股脑的冒了出来，而对于学生而言就会变得丈二和尚摸不着头脑了。而对于学生而言就会变得丈二和尚摸不着头脑了。乘法分配律难吗？乘法分配律难吗？乘法分配律难吗？乘法分配律难吗？更不用说乘法分配律学完以后和乘法结合律的更不用说乘法分配律学完以后和乘法结合律的对比练习了。对比练习了。如：如：15（84）=158+482512548=254+1258还有：还有：254412588此类的题目要学生辨此类的题目要学生辨析选择合理的方法。析选择合理的方法。故而，我们可以做简单的总结，乘法分配故而，我们可以做简单的总结，乘法分配律确实不易。律确实不易。乘法分配律乘法分配律学情分析学情分析目标制定目标制定研读教材研读教材研读课标研读课标教学流程教学流程教学构想教学构想分段分段目标目标课程课程内容内容总总目标目标经历数与代数的经历数与代数的抽象抽象、运算运算与与建模建模等过程，掌握数与代数的等过程，掌握数与代数的基础知识基础知识和和基本技能基本技能。建立数感，建立数感，符号意识符号意识和空间观念，和空间观念，初步形成几何直观和初步形成几何直观和运算能力运算能力，发展形象思维与抽象思维。发展形象思维与抽象思维。在参与在参与观察、实验、猜想、证明观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合综合实践等数学活动中，发展合情推理和情推理和演绎推理能力演绎推理能力。目标阐述目标阐述知知识识技技能能数数学学思思考考初步学会从数学的角度发现问题初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合和提出问题，综合运用数学知识运用数学知识解决简单的实际问题解决简单的实际问题，增强，增强应用应用意识意识，提高实践能力。，提高实践能力。积极参与积极参与数学活动，对数学有好数学活动，对数学有好奇心和奇知欲。奇心和奇知欲。体会体会数学的特点数学的特点，了解数学的，了解数学的价价值值。目标阐述目标阐述问问题题解解决决情情感感态态度度数学思考数学思考问题解决问题解决情感态度情感态度分段目标分段目标初步形成数感初步形成数感和空间观念，和空间观念，感受符号感受符号和几和几何直观的作用。何直观的作用。尝试从日常生尝试从日常生活中活中发现并提发现并提出出简单的简单的数学数学问题，并运用问题，并运用一些知识加以一些知识加以解决解决。在运用数学在运用数学知识和方法知识和方法解决问题的解决问题的过程中，过程中，认认识数学的价识数学的价值。值。1 1、体验从具体情境、体验从具体情境中抽象出数的过程，中抽象出数的过程，认识万以上的数；认识万以上的数； 理解分数、小数、理解分数、小数、百分数的百分数的意义，意义，了了解负数的意义，解负数的意义，掌掌握必要的运算技能握必要的运算技能；理解估算的意义。理解估算的意义。知识技能知识技能探索并探索并了解运算律了解运算律（加法的（加法的交换交换律和结合律，律和结合律，乘法的交换律和结乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），合律、乘法对加法的分配律），会应用会应用分配律进行一些简便运算分配律进行一些简便运算。课程内容课程内容课堂设计思路中，应注重发展：课堂设计思路中，应注重发展：运算能力：运算能力： 正确正确合理合理简洁简洁模型思想：模型思想：问题情境问题情境建立模型建立模型求解求解 验证验证符号意识符号意识数学表达、数学思考数学表达、数学思考乘乘法法分分配配律律承承前前 整数四则运算的含义整数四则运算的含义整数四则混合运算的运算整数四则混合运算的运算 顺序顺序两、三步计算的实际问题两、三步计算的实际问题加法交换律和结合律、乘加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律法交换律和结合律启启后后小数四则混合运算及相小数四则混合运算及相关的简便计算关的简便计算 分数四则混合运算及相分数四则混合运算及相关的简便计算关的简便计算方程方程 青青 呈现花木基地中芍药、牡丹两种花卉的种植情况，借呈现花木基地中芍药、牡丹两种花卉的种植情况，借助助“芍药和牡丹一共多少棵芍药和牡丹一共多少棵”与与“芍药和牡丹的种植面积芍药和牡丹的种植面积一共是多少平方米一共是多少平方米”两个问题，展开对乘法分配律的学习。两个问题，展开对乘法分配律的学习。人人 人教版教材利用一幅种树的主题图，通过不同的问题情人教版教材利用一幅种树的主题图，通过不同的问题情境，将乘法的交换律、结合律、分配律都贯穿一线，认为这境，将乘法的交换律、结合律、分配律都贯穿一线，认为这样的编排有利于整合教学资源，但同时由于题中已知条件零样的编排有利于整合教学资源，但同时由于题中已知条件零碎，问题也较多，对于我们的学生根据不同问题选择合适的碎，问题也较多，对于我们的学生根据不同问题选择合适的条件解决提出较高要求，这样的情境反而不利于以情境帮助条件解决提出较高要求，这样的情境反而不利于以情境帮助理解运算定律的设计初衷，不利于规律的探索。理解运算定律的设计初衷，不利于规律的探索。问题情境问题情境激发内需激发内需一次抽象一次抽象初步建模初步建模二次抽象二次抽象完善模型完善模型人人创设情境创设情境提出问题提出问题一次抽象一次抽象初步感知初步感知二次抽象二次抽象建立模型建立模型求解验证求解验证理解模型理解模型（数形结合）（数形结合）北北求解验证求解验证体验价值体验价值（注重观察）（注重观察）数形结合数形结合灵活应用灵活应用北北浙教版是将乘法浙教版是将乘法分配律放在分配律放在“篮篮球场的数学问题球场的数学问题”这一单元中，这一单元中，在篮球场中出现在篮球场中出现了周长问题，孕了周长问题，孕伏了乘法分配律伏了乘法分配律的结构，学完了的结构，学完了乘法分配律后，乘法分配律后，利用面积问题来利用面积问题来帮助学生应用和帮助学生应用和理解，更加凸显理解，更加凸显了该定律的应用了该定律的应用价值。价值。浙浙问题情境问题情境激发内需激发内需解决问题解决问题沟通联系沟通联系理解算理理解算理初步建模初步建模举例验证举例验证建立模型建立模型抽象概括抽象概括完善模型完善模型苏苏基础练习基础练习变式练习变式练习由由易易到到难难，由由扶扶到到放放 整合教材整合教材 通过对青岛版、北师大版、人教版、苏教通过对青岛版、北师大版、人教版、苏教版、浙教版几种版本的教材分析，最后决定以版、浙教版几种版本的教材分析，最后决定以苏教版教材为主苏教版教材为主，对教材进行了适当的创编。，对教材进行了适当的创编。类比、迁移的学比、迁移的学习方法方法学习起点学习起点活活动经验（抽象、建模）（抽象、建模）符号化思想符号化思想加法交加法交换律、律、结合律合律乘法交乘法交换律、律、结合律合律乘法的意乘法的意义方法方法储备知知识储备长方形的周方形的周长、面、面积四四则混合运算混合运算一、填空。一、填空。1、8+8+8（）（）8+8+8+8+8+8+8（）（）2、124口算时先算（口算时先算（），再算），再算（），最后计算（），最后计算（）。）。二、试着算一算。（用你喜欢的方法）二、试着算一算。（用你喜欢的方法）1022537263774三、用两种方法求出下列式子的和。三、用两种方法求出下列式子的和。25252525252525257575757575757575它们的和是多少？（你有什么好办法吗？）它们的和是多少？（你有什么好办法吗？）前测题前测题1、8+8+8（）（）8+8+8+8+8+8+8（）（）2、124口算时先算（口算时先算（），再算），再算（），最后计算（），最后计算（）。）。3、试着算一算。（用你喜欢的方法）、试着算一算。（用你喜欢的方法）10225372637744、用两种方法求出下列式子的和。、用两种方法求出下列式子的和。252525252525252575757575757575751. 学生对基础知识乘法的意义已掌握，并能 自主将几个相同加数相加的和写成乘法形式。2. 学生对于口算算理的表达不清楚，这对于 理解乘法分配律的算理会受影响，教学中 应重视算理的表述。3. 学生对于乘法分配律的结构基本上无认知， 说明这是本节课的重点也是难点，同时也看出 学生没有简算意识，体会不到简算的价值。1 1结合具体情境，发现并理解乘法分配律，会用字结合具体情境，发现并理解乘法分配律，会用字母表示乘法分配律，培养学生的运算能力。母表示乘法分配律，培养学生的运算能力。2 2学生在观察、比较、分析、概括等活动中，培养初学生在观察、比较、分析、概括等活动中，培养初步的推理能力，增强符号意识，感悟建模思想。步的推理能力，增强符号意识，感悟建模思想。3 3在活动中感受数学规律的普遍适用性，获得发现在活动中感受数学规律的普遍适用性，获得发现数学规律的成功感，增强学习自信心。数学规律的成功感，增强学习自信心。教学难点用算理理解乘法分配律的意义。用算理理解乘法分配律的意义。教学重点理解乘法分配律的意义。理解乘法分配律的意义。表征：是指知识在学习者头脑中的表征：是指知识在学习者头脑中的呈现和呈现和表达方式，表达方式，是一个以是一个以已有的知识和经验为已有的知识和经验为基础基础的建构过程。数学表征是用的建构过程。数学表征是用直观、简直观、简洁和概括性洁和概括性的方式来揭示数学关系的方法，的方式来揭示数学关系的方法，它反映了学生对数学概念和教学规律等数它反映了学生对数学概念和教学规律等数学知识的学知识的建构方式和理解程度建构方式和理解程度。因此，教。因此，教学中重视对概念、规律进行学中重视对概念、规律进行直观、科学的直观、科学的表征表征，这样能，这样能促进促进学生对概念、规律的学生对概念、规律的深深入领会和正确建构入领会和正确建构。问题一：问题一：20元元30元元买买5套这样的衣服要用多少钱？套这样的衣服要用多少钱？01感悟多元数学表征，进行意义初探感悟多元数学表征，进行意义初探现现实实原原型型7 7米米2 2米米3 3米米2 2米米它们的面积一共是多少平方米它们的面积一共是多少平方米？问题问题二：二：几几何何模模型型一共有多少个圆片？一共有多少个圆片？问题三：问题三：乘乘法法的的意意义义1.1.观察上面观察上面3 3个算式，你发现了什么特征，个算式，你发现了什么特征， 再照样子写几个。再照样子写几个。2.2.汇报并板书其中汇报并板书其中3 3到到4 4个。个。3.3.关注其中一个，你能用不同的方法进行关注其中一个，你能用不同的方法进行 验证它左右两边相等吗。（借助刚才的验证它左右两边相等吗。（借助刚才的 现实原型、几何模型、乘法的意义解释验证）现实原型、几何模型、乘法的意义解释验证）4.4.观察发现算式的结构特点，用文字表述，观察发现算式的结构特点，用文字表述，6.6.与已学运算律对比，突显乘法分配律的与已学运算律对比，突显乘法分配律的 两级运算特征。两级运算特征。5.5.用用02尝试多种表征，实现意义建构尝试多种表征，实现意义建构（长（长+宽）宽）2=长长2宽宽2长长宽宽03应用数学表征，解释规律意义应用数学表征，解释规律意义 2 61 25 22 63 1 22个个2610个个2612个个26根据运算律，在根据运算律，在里填数，在里填数，在里填运算符号。里填运算符号。（42+35）2=42+352712+4312=(27+)1526+1514=()72(30+6)=368+864=()04应用数学模型，体会价值应用数学模型，体会价值3560你能利用这个算式表现乘法分配律吗？你能利用这个算式表现乘法分配律吗？全课总结德州市实验小学孙慧芳德州市实验小学孙慧芳谢 谢 指 导！2、口算: 40x23x25 25x163、计算：、计算：4x(5+8)4x5+4x88x(4+5)8x4+8x51、什么是乘法交换律？、什么是乘法交换律？什么是乘法结合律？什么是乘法结合律？一共有一共有25个小组，每组里个小组，每组里4人负责挖坑、种树，有人负责挖坑、种树，有2人人负责抬水、浇树。负责抬水、浇树。一共有多少名同学参一共有多少名同学参加了这次植树活动？加了这次植树活动？ 我先计算每组一我先计算每组一共有多少人。共有多少人。(4+2)25=625=150(人人) 我先分别计算挖坑、我先分别计算挖坑、种树的和抬水、浇树种树的和抬水、浇树的人数。的人数。254+252=100+50=150(人人)一共有一共有25个小组，每组里个小组，每组里4人负责挖坑、种树，有人负责挖坑、种树，有2人人负责抬水、浇树。负责抬水、浇树。一共有多少名同学参一共有多少名同学参加了这次植树活动？加了这次植树活动？(4+2)2542525(4+2)254+225+252两个数的和与一个数相两个数的和与一个数相乘，可以先把它乘，可以先把它们与与这个个数分数分别相乘，再相加，相乘，再相加，这叫做叫做乘法分配律乘法分配律。(4+2)25425+22525(4+2)254+252(a+b)cac+bc如果用字母如果用字母a、b表示两个加数，表示两个加数，则可以写成：则可以写成：两个数的和与一个数相两个数的和与一个数相乘，可以先把它乘，可以先把它们与与这个个数分数分别相乘，再相加，相乘，再相加，这叫做叫做乘法分配律乘法分配律。a(b+c)ab+ac下面哪些算式运用了乘法分配律？下面哪些算式运用了乘法分配律？117(3+7)1173+1177=24(5+12)= 2417(4+5)a=4a+5a=36(46)3664 下面每组算式的得数是下面每组算式的得数是否相等？如果相等，选否相等？如果相等，选择其中一个算出得数。择其中一个算出得数。25(200+4)25200+2543520135200+35 下面每组算式的得数是下面每组算式的得数是否相等？如果相等，选否相等？如果相等，选择其中一个算出得数。择其中一个算出得数。265(105-5)265105-26552511411(254)乘法分配律的运用：乘法分配律的运用：（1）（40+8）x 25(2) 86x（100-2）类型一类型一一定要括号外的数分别一定要括号外的数分别乘括号里的两个数，乘括号里的两个数，再把积相加或相减再把积相加或相减=40x25+8x25=1000+200=1200=86x100-86x2=8600-172=8428（3）36x 34+36x66（4）28x18-8x28类型二类型二两个积中相同的两个积中相同的因数只能写一次因数只能写一次=36x(34+66)=36x100=3600=28x(18-8)=28x10=280（5）78x103（6）125x81类型三类型三把把103看作看作1003；81看作看作801，再用乘法分配律再用乘法分配律=78x(100+3)=78x100+78x3=7800+234=8034=125x(80+1)=125x80+125x1=10000+125=10125（7）31x99（8）42x98类型四类型四把把99看作看作100-1；98看作看作100-2，再用乘法分配律再用乘法分配律=31x(100-1)=31x100-31x1=3100-31=3059=42x(100-2)=42x100-42x2=4200-84=4116（9）83+83x99（10）125x81-125类型五类型五把把83看作看作831，再用乘法分配律再用乘法分配律=83x1+83x99=83x(1+99)=83x100=8300=125x81-125x1=125x(81-1)=125x80=10000我我们来来总结一下：一下：5445两个因数交两个因数交换位置，位置，积不不变，这叫做叫做乘法交乘法交换律律。abba如果用字母如果用字母a、b表示两表示两个因数，则可以写成：个因数，则可以写成：我我们来来总结一下：一下：(54)64(56)先把前两个数相乘，或者先把后两个先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，数相乘，积不不变。这叫做叫做乘法乘法结合律合律。(ab)ca(bc)如果用字母如果用字母a、b表示两个加数，表示两个加数，则可以写成：则可以写成：两个数的和与一个数相乘，可以先把它两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与与这个数分个数分别相乘，再相加，相乘，再相加，这叫做叫做乘乘法分配律法分配律。(4+2)25425+225(a+b)cac+bc如果用字母如果用字母a、b表示两个加数，表示两个加数，则可以写成：则可以写成：a(b+c)ab+ac