一一 向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理二二 向量在坐标轴上的分量与向量的坐标向量在坐标轴上的分量与向量的坐标三三 向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式一、向量在轴上的投影与投影定理一、向量在轴上的投影与投影定理.ABABABuuABuABAB= = =l ll ll ll ll ll l，即，即的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数是负的，是负的，轴反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果数如果数空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. .特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0 0与与 之间任意取值之间任意取值. .或者记作或者记作空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影向量向量AB在在 轴轴u上的投影记为上的投影记为 关于向量的投影定理（关于向量的投影定理（1 1）向量向量AB在轴在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向上的投影等于向量的模乘以轴与向量量 的夹角的余弦：的夹角的余弦： 证明证明定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；(4)(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；关于向量的投影定理（关于向量的投影定理（2 2）（可推广到有限多个）（可推广到有限多个） 如图所示，由向量加如图所示，由向量加证明证明法的三角形法则可知法的三角形法则可知由于由于所以所以即即二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标由上节课例由上节课例3 3，有，有2111MMRMNM= =+ +111NMQMPM= =+ +从而得到从而得到由于由于由图可以看出由图可以看出rr.)(121kzzkaRMz- -= = =因此因此把上式称为向量把上式称为向量 按基本单位向量的分解式按基本单位向量的分解式 . . 这里这里,2按基本单位向量的坐标分解式：按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标：向量的坐标：向量的坐标表达式：向量的坐标表达式：特殊地：特殊地：向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式解解 设设为直线上的点，为直线上的点，由题意知：由题意知：非零向量非零向量 的方向角：的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. .三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式由投影定理可知由投影定理可知方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式pQR向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地，单位向量可表示为特殊地，单位向量可表示为向量向量 例例3 3 设已知两点设已知两点 和和 . . 计算计算 的摸的摸 ，方向余弦和方向角，方向余弦和方向角. .解解 例例4 4 设已知两点设已知两点 和和 . . 求方向和求方向和 一致的单位向量一致的单位向量 . .解解因为因为于是于是设设 为和为和 的方向一致的单位向量，那么由于的方向一致的单位向量，那么由于 = 即得即得 解解例例5 5 设有向量设有向量P P1 1P P2 2 ，已知，已知| |P P1 1P P2 2|=2 |=2 ，它与，它与x x 轴和轴和y y 轴的夹角分别为轴的夹角分别为 和和 ，如果的，如果的 P P1 1 的坐的坐标为标为(1,0,3)(1,0,3)，求，求P P2 2的坐标的坐标. .解解