C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC谓词逻辑谓词逻辑解解：假设：假设( (著著名名的的苏苏格格拉拉底底三三段段论论) )设设自自然然语语言言中中的的三三个个命命题：题：1.1.所有的人都是要死的；所有的人都是要死的；2.2.苏格拉底是人。苏格拉底是人。3.3.所以，苏格拉底是要死的。所以，苏格拉底是要死的。P P：所有的人都是要死的；：所有的人都是要死的；Q Q：苏格拉底是人。：苏格拉底是人。R R：苏格拉底是要死的。：苏格拉底是要死的。则有：则有：P PQ Q R RC CS S| |S SW WU US ST TXDCXDCq在命题逻辑中，如果用在命题逻辑中，如果用P P、Q Q、R R 表示以上表示以上3个命个命题，则应用题，则应用 PQPQR R表示上述推理。显然，命题表示上述推理。显然，命题公式公式(PQ)(PQ) R R不是重言式。不是重言式。q可是凭我们的直觉可知上述论断是正确的，这可是凭我们的直觉可知上述论断是正确的，这就是命题逻辑的局限性。就是命题逻辑的局限性。q原因是没有将原因是没有将P P、Q Q、R R之间的内在联系反映出来。之间的内在联系反映出来。要反映这种内在联系，就要对简单命题作进一步要反映这种内在联系，就要对简单命题作进一步的分析，分析出其中的个体词、谓词、量词等，的分析，分析出其中的个体词、谓词、量词等，研究它们的形式结构及逻辑关系，总结出正确的研究它们的形式结构及逻辑关系，总结出正确的推理形式和规则，这就是推理形式和规则，这就是谓词逻辑谓词逻辑所研究的内容，所研究的内容，谓词逻辑也称谓词逻辑也称一阶逻辑一阶逻辑。C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC1.61.6谓词和量词谓词和量词例：例：如有句子：如有句子：张红张红是一个西南科技大学的学生是一个西南科技大学的学生；王南王南是一个西南科技大学的学生是一个西南科技大学的学生；李华李华是一个西南科技大学的学生是一个西南科技大学的学生。则在命题中必须要用三个命题则在命题中必须要用三个命题P P，Q Q，R R来表示。来表示。但是，它们都具有一个共同的特征：但是，它们都具有一个共同的特征： “是一个西南科技大学的学生是一个西南科技大学的学生”描述相同对象不同描述相同对象不同C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC1.6.1 1.6.1 谓词谓词在在句句子子中中，可可以以独独立立存存在在的的客客体体称称为为个个体体词词，而而用用以以刻刻划划客客体体的的性性质质或或客客体体之之间间的的关关系系即即是是谓谓词词。表示方法：表示方法：个体词用个体词用a,b,ca,b,c,.a,.a1 1, ,等表示，等表示， 谓词用谓词用A,B,C, .AA,B,C, .A1 1, , 等表示。等表示。例：例： 张红张红是一个西南科技大学的学生是一个西南科技大学的学生；由此，我们定义谓词由此，我们定义谓词 P:P:是一个西南科技大学的学生是一个西南科技大学的学生 个体词个体词 a1:张红张红 a2:王南王南 a3:李华李华P(a1)为方便为方便理解，理解，谓词描述为谓词描述为 A(x),B(x),C(x), .C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC设有如下命题：设有如下命题： P P：上海是一个现代化的城市；：上海是一个现代化的城市； Q Q：甲是乙的父亲；：甲是乙的父亲； R R：3 3介于介于2 2和和5 5之间。之间。 T T：李兰与高翔是同班同学。：李兰与高翔是同班同学。例例解：设有如下谓词：解：设有如下谓词：C C（x x）：）：x x是一个现代化的城市；是一个现代化的城市；F F（x x，y y）：）： x x是是y y的父亲；的父亲；B B（x x，y y，z z）：）：x x介于介于y y和和z z之间；之间； S S（x x，y y）：）： x x与与y y是同班。是同班。则上述命题可表示为：则上述命题可表示为： P P：C C（上海）（上海） Q Q：F F（甲，乙）（甲，乙） R R：B B（3 3，2 2，5 5）T T：S S（李兰，高翔）（李兰，高翔）C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC1)1)谓谓词词中中个个体体词词的的顺顺序序是是十十分分重重要要的的，不不能能随随意意变更。变更。2)2)一一元元谓谓词词用用以以描描述述某某一一个个个个体体的的某某种种特特性性或或性性质质，而而n n元元谓谓词词则则用用以以描描述述n n个个个个体体之之间间的的关关系系。0 0元谓词元谓词( (不含个体词的不含个体词的) )实际上就是一般的命题。实际上就是一般的命题。3)3)一一个个n n元元谓谓词词不不是是一一个个命命题题，但但将将n n元元谓谓词词中中的的个个体体变变元元都都用用个个体体域域中中具具体体的的个个体体取取代代后后，就就成成为为一一个个命命题题。而而且且，个个体体变变元元在在不不同同的的个个体体域域中中取取不不同同的的值值对对是是否否成成为为命命题题及及命命题题的的真真值值有很大的影响。有很大的影响。几个结论几个结论C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC1)1)表表示示具具体体或或特特定定的的个个体体词词称称为为个个体体常常量量，一一般般个个体体词词常常 量量 用用 带带 或或 不不 带带 下下 标标 的的 小小 写写 英英 文文 字字 母母a,b,ca,b,c, ,a,a1 1,a,a2 2,a,a3.3., ,表示。表示。2)2)表表示示抽抽象象的的或或泛泛指指的的个个体体词词称称为为个个体体变变量量，一一般般用用带带或或不不带带下下标标的的小小写写英英文文字字母母x,y,zx,y,z,.,.,x,x1 1,x,x2 2,x,x3 3, ,表示。表示。3)3)个个体体词词的的取取值值范范围围称称为为个个体体域域或或论论域域，常常用用D D表表示示。而而宇宇宙宙间间的的所所有有个个体体域域聚聚集集在在一一起起所所构构成成的的个个体体域域称称为为全总个体域全总个体域。4)4)设设D D为为非非空空的的个个体体域域，定定义义在在D Dn n( (表表示示n n个个个个体体都都在在个个体体域域D D上上取取值值) )上上取取值值于于0,10,1上上的的n n元元函函数数，称称为为n n元元谓谓 词词 , ,记记 为为 P(xP(x1 1,x,x2 2, , ,x xn n) )。 此此 时时 ， 个个 体体 变变 量量x x1 1,x,x2 2, , ,x xn n的的定定义义域域都都为为D D，P(xP(x1 1,x,x2 2, , ,x xn n) )的的值值域域为为00，1 1。其他定义其他定义C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC1.6.2 1.6.2 量词量词符号化下述命题：符号化下述命题：1)1)所有的老虎所有的老虎都要吃人；都要吃人；2)2)每一个人每一个人都会犯错误；都会犯错误；3)3)有一些人有一些人是大学生；是大学生；4)4)有的自然数有的自然数是素数。是素数。 1)1)R R（x x）：）：x x会吃人；会吃人；R(xR(x) (x) (x 老虎老虎)2)2)P P（x x）：）：x x会犯错误；会犯错误；P(xP(x) ) (x(x 人人)3)3)Q Q（x x）：）：x x是大学生；是大学生；Q Q(x) (x(x) (x 人人)4)4)S S（x x）：x x是是素素数数。S S(x) (x) (x(x 自自然然数数)C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC量词的定义量词的定义定定义义6.36.3( ( x x) )称称为为全全称称量量词词。( ( x)x)为为存存在在量量词词, ,其其中中的的x x称称为为作作用用变变量量。一一般般将将其其量量词词加加在在其其谓谓词词之之前前，记记为为( ( x x) )F(x)F(x),(,( x)x)F(x)F(x)，此此时，时，F(x)F(x)称为全称量词和存在量词的称为全称量词和存在量词的辖域辖域。引进如下两个符号：引进如下两个符号：( ( x x) ): :所有的所有的x x；( ( x)x)：有些：有些x x；任意的任意的x x；至少有一个至少有一个x x；一切的一切的x x；存在存在x x；每一个每一个x x；等等。等等。等等。等等。C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC例例 ( (续续) )1)1)( ( x x) )R(xR(x) (x) (x 老虎老虎)2)2)( ( x x) )P(xP(x) ) (x(x 人人)3)3)( ( x)x)Q Q(x) (x(x) (x 人人)4)4)( ( x)x)S S(x) (x(x) (x 自然数自然数)在例中，利用量词则有：在例中，利用量词则有：解解：设立如下谓词：设立如下谓词：R R（x x）：）：x x会吃人；会吃人；P P（x x）：）：x x会犯错误；会犯错误； Q Q（x x）：）：x x是大学生；是大学生；S S（x x）：）：x x是素数。是素数。 C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC例例 ( (续续) )有时，由于个体域的注明不清楚，造成无有时，由于个体域的注明不清楚，造成无法确定其真值。或对于同一个公式，法确定其真值。或对于同一个公式，不同的个体域有可能带来不同的真值。不同的个体域有可能带来不同的真值。 在例中，利用量词会有：在例中，利用量词会有：1) 例如：例如： ( ( x x) )R(xR(x) (x) (x 老虎老虎).). 若个体域不注明若个体域不注明, ,则该命题无法判断则该命题无法判断. . 若若(x(x 人人),),则该命题为假则该命题为假. .C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC全总个体域全总个体域1.1.对对于于全全称称量量词词，刻刻划划其其对对应应个个体体域域的的特特性性谓谓词词作为蕴涵的前件加入。作为蕴涵的前件加入。2.2.对对于于存存在在量量词词，刻刻划划其其对对应应个个体体域域的的特特性性谓谓词词作为合取式之合取项加入。作为合取式之合取项加入。基于上述情况，必须对个体域进行统一，全基于上述情况，必须对个体域进行统一，全部使用部使用全总个体域全总个体域，此时，对每一个句子中个体，此时，对每一个句子中个体变量的变化范围用一定之变量的变化范围用一定之特性谓词特性谓词刻划之。则这刻划之。则这种特性谓词在加入到命题函数中时必定遵循如下种特性谓词在加入到命题函数中时必定遵循如下原则：原则：C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC例例 ( (续续) )解解：1)1)U(xU(x) )：x x是老虎；是老虎；( ( x x) )( (U U(x)R(x)(x)R(x)2)2)H(xH(x) )：x x是人；是人；( ( x x) )(H(H(x)P(x)(x)P(x) )3)3)H(xH(x) )：x x是人；是人；( ( x)x)( (H(x)H(x)Q Q(x)(x)4)4)T(xT(x) )：x x是自然数；是自然数； ( ( x)(x)(T T(x)(x)S S(x)(x)对于前例中的例子运用特性谓词描述。对于前例中的例子运用特性谓词描述。C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC考虑以下形式的命题在谓词逻辑中的符号化问题。考虑以下形式的命题在谓词逻辑中的符号化问题。(1)(1)所有人都是要死的。所有人都是要死的。(2)(2)有些人不怕死。有些人不怕死。 因此，引进因此，引进特性谓词，特性谓词，M(xM(x) ) ：x x是人是人。(1)“所有人总是都要死的。所有人总是都要死的。”应符号化为应符号化为: : ；(2)“有些人不怕死。有些人不怕死。”符号化为符号化为: : 。 C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC各概念间的关系如下图所示：各概念间的关系如下图所示：C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC量词的特点量词的特点在使用量词时，应注意以下在使用量词时，应注意以下6个特点：个特点： 1.在不同的个体域中，同一命题符号化的形式可在不同的个体域中，同一命题符号化的形式可能不一样。能不一样。 2.如果事先没有指明个体域，都应以全总个体域如果事先没有指明个体域，都应以全总个体域为个体域。为个体域。 3.在引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词在引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词符号化的形式是不同的。符号化的形式是不同的。 4.个体域和谓词的含义确定之后，个体域和谓词的含义确定之后，n元谓词要转化元谓词要转化为命题至少需要为命题至少需要n个量词。个量词。 C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC17175.5.当个体域为有限集时，如当个体域为有限集时，如D=aD=a1 1,a,a2 2, ,a,an n ，由，由量词的定义可以看出，对于任意的谓词量词的定义可以看出，对于任意的谓词A(xA(x) )，都，都有有(1)(1)(2)(2)这实际上是将谓词逻辑中的命题公式转化为命这实际上是将谓词逻辑中的命题公式转化为命题逻辑中的命题公式问题。题逻辑中的命题公式问题。6.6.多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的顺多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的顺序。颠倒后会改变原命题的含义。序。颠倒后会改变原命题的含义。 C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC1818 在谓词逻辑中将下面命题符号化。在谓词逻辑中将下面命题符号化。 (1)凡有理数均可表示成分数。凡有理数均可表示成分数。(2)有的有理数是整数。有的有理数是整数。要求：要求：1)个体域为有理数集合。个体域为有理数集合。2)个体域为全总个体域。个体域为全总个体域。 C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC解解: :1)1)个体域为有理数集合，不用引入特性谓词个体域为有理数集合，不用引入特性谓词。(1)(1)凡有理数均可表示成分数。凡有理数均可表示成分数。符号化为符号化为xF(x)，其中，其中，F(xF(x) )：x x可表示成分可表示成分数。数。(2)(2)有的有理数是整数。有的有理数是整数。符号化为符号化为xG(x)，其中，其中，G(xG(x) ) ：x x是整数。是整数。 2) 2) 个体域为个体域为全总个体域全总个体域，引入特性谓词。，引入特性谓词。 R(xR(x) )：x x是有理数。是有理数。(1)(1)符号化为符号化为x(R(x)F(x)，其中，其中，F(xF(x) )：x x可表示成分数。可表示成分数。(2)(2)符号化为符号化为x(R(x) G(x) ，其中，其中G(xG(x) )同同上。上。C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC例例 在谓词逻辑中将下列命题符号化。在谓词逻辑中将下列命题符号化。(1)每个自然数都有后继数。每个自然数都有后继数。(2)所有人都不一样高。所有人都不一样高。解解 因为题目没指明个体域，因而使用全总个体域。因为题目没指明个体域，因而使用全总个体域。 (1)(1)其中其中F(xF(x) )：x x是自然数，是自然数，H(x,yH(x,y) )：y y是是x x的后继数。的后继数。 符号化符号化为: : x(F(x)x(F(x)y(F(y)H(x,yy(F(y)H(x,y)(2)(2)其中，其中，M(xM(x) )：x x是人；是人；H(x,yH(x,y) )：xy(xxy(x与与y y不是同不是同一个人一个人) )；L(x,yL(x,y) )：x x与与y y一样高。一样高。 符号化为符号化为: :x xy(M(x)M(y)H(x,y)L(x,yy(M(x)M(y)H(x,y)L(x,y)C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC1.6.41.6.4原子公式和谓词演算的合式公式原子公式和谓词演算的合式公式定定义义6.86.8满满足足下下列列条条件件的的表表达达式式，称称为为合合式式公公式式, ,简称简称公式公式。定定 义义 6.76.7： 设设 P(xP(x1 1,x,x2 2,x,x3 3,.,.x xn n) )是是 n n元元 谓谓 词词 ，t t1 1,t,t2 2,t,t3 3,.,.t tn n是是项项, ,则则P(tP(t1 1,t,t2 2,t,t3 3,.,.t tn n) )是是原原子子谓词公式谓词公式，简称，简称原子公式原子公式。1)1)原子公式是合式公式；原子公式是合式公式；2)2)若若G G，H H是合式公式，则是合式公式，则(G)(G)、(H)(H)、(GH)(GH)、(GH)(GH)、(GH)(GH)、(G(GH)H)也是合适公式；若也是合适公式；若G G是合是合式公式式公式，x x是个体变量，则是个体变量，则( ( x x) )G G、( ( x x) )G G也是合也是合式式公式公式；3)3)仅仅有仅仅有1 1) )- -2 2) )产生的表达式才是合产生的表达式才是合式式公式公式。C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC1.6.5 1.6.5 自由变元和约束变元自由变元和约束变元辖域：紧接于量词之后最小的子公式辖域：紧接于量词之后最小的子公式定义定义6 6. .9 9合合式式公式中的变元公式中的变元x x若出现在若出现在以以x x为作用为作用变元的量词的辖域之内，则称变元变元的量词的辖域之内，则称变元x x的出现为的出现为约约束出现束出现，此时的变元此时的变元x x称为称为约束变元约束变元( (量量) )。若若x x的出现不是约束出现，则称它为的出现不是约束出现，则称它为自由出现自由出现，此此时的变元时的变元x x称为称为自由变元自由变元( (量量) )。辖域不是原子公式，其两侧壁有括号，否则不辖域不是原子公式，其两侧壁有括号，否则不应有括号应有括号C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC1)1)( ( y y) )( (P(y,z)Q(x,y)P(y,z)Q(x,y)R(yR(y).).2)2)( ( x x) )( (P(x)Q(xP(x)Q(x). .3)3)( ( x x) )( (P(xP(x)( ( y y) )(R(x,y)(R(x,y)4)4)( ( x x) )( (P(x)R(xP(x)R(x)( ( y y) )Q(x,y)Q(x,y)例例：分析自由变元和约束变元：分析自由变元和约束变元C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC例例 在一阶逻辑中将下列命题符号化在一阶逻辑中将下列命题符号化: : 没有最大的自然数没有最大的自然数分析：分析：该句话可理解为该句话可理解为“对所有对所有x，若，若x是自然数，是自然数，则存在则存在y，y也是自然数，且也是自然数，且yx”解：解：N(x)：x是自然数，是自然数，G(x,y)：xy，符号化为：，符号化为： x(N(x)y(N(y) G(y,x)也可以理解为也可以理解为“说说存在一个存在一个x，x是自然数且对是自然数且对一切自然数一切自然数y，x均大于均大于y是不对的是不对的”。符号化为：符号化为：x(N(x) y(N(y)G(x,y)以后可以证明，这两个公式是逻辑等价的。以后可以证明，这两个公式是逻辑等价的。C CS S| |S SW WU US ST TXDCXDC2525注意：不可以用最大来直接定义谓词。注意：不可以用最大来直接定义谓词。设设B(x):x是最大的，是最大的，N(x):x是自然数。是自然数。以上命题可以表示为：以上命题可以表示为：x(N(x) B(x)这是不对的。这是不对的。“最大最大”是比较而来，依赖于其是比较而来，依赖于其它客体，最大最小不能直接作谓词。它客体，最大最小不能直接作谓词。