概概 率率 统统 计计主讲教师主讲教师 叶宏叶宏山东大学数学院山东大学数学院叶宏本科概率1-全概习题课白底 全概率公式和贝叶斯公式主要用于全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率计算比较复杂事件的概率, 它们实质上它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)01.4 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式叶宏本科概率1-全概习题课白底一一. 全概率公式全概率公式例例1 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱，从某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率中任意摸出一球，求取得红球的概率.解解:记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, B =取得红球取得红球即即 B= A1B+A2B+A3B， 且且 A1B、A2B、A3B两两互斥两两互斥B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，123叶宏本科概率1-全概习题课白底P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得将将此此例例中中所所用用的的方方法法推推广广到到一一般般的的情情形形，就就得到在概率计算中常用的全概率公式得到在概率计算中常用的全概率公式.对每一项运用乘法公式代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/15叶宏本科概率1-全概习题课白底 设设S为为随随机机试试验验的的样样本本空空间间，A1,A2,An是两两互斥的事件，且有是两两互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, 全概率公式全概率公式称满足上述条件的称满足上述条件的A1,A2,An为为完备事件组完备事件组.则对任一事件则对任一事件B，有，有叶宏本科概率1-全概习题课白底证明加法公式加法公式乘法公式乘法公式叶宏本科概率1-全概习题课白底 某某一一事事件件B的的发发生生有有各各种种可可能能的的原原因因(i=1,2,n)，如如果果B是是由由原原因因Ai所所引引起起，则则B发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起B发生概发生概率的总和，即率的总和，即全概率公式全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)全概率公式全概率公式我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解叶宏本科概率1-全概习题课白底全概率公式的关键：全概率公式的关键：数学模型数学模型完备事件完备事件组组叶宏本科概率1-全概习题课白底B表示产品为次品分别表示产品由甲、乙、丙车间生产完备事件组完备事件组全概率公式全概率公式叶宏本科概率1-全概习题课白底 例例 3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三三人击中的概率分别为人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞飞 机被一人机被一人击中而击落的概率为击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概被两人击中而击落的概率为率为0.6,若三人都击中若三人都击中,飞机必定被击落飞机必定被击落, 求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.设设B=飞机被击落飞机被击落 Ai=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)依题意，依题意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1叶宏本科概率1-全概习题课白底 为求为求P(Ai ) , 设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1,2,3 P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.加法公式独立性叶宏本科概率1-全概习题课白底该球取自哪号箱的可能性最大该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题实际中还有下面一类问题“已知结果求原因已知结果求原因” 这一类问题在实际中更为常见，它所求这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小求各原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意某人从任一箱中任意摸出一球摸出一球,发现是红球发现是红球,求求该球是取自该球是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:叶宏本科概率1-全概习题课白底 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱，某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取求该球是取自自1号箱的概率号箱的概率 .1231红红4白白?叶宏本科概率1-全概习题课白底记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球求求P(A1|B).运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式条件概率公式条件概率公式叶宏本科概率1-全概习题课白底二二. 贝叶斯公式贝叶斯公式 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出. 它是在观察到事件它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找已发生的条件下，寻找导致导致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率. 设设A1,A2,An是是完完备备事事件件组组，则则对对任任一一事事件件B，有，有叶宏本科概率1-全概习题课白底 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因果发生的最可能原因.-后验概率在B已经发生的前提下， 再对导致 B 发生的原因的可能性大小重新加以修正。 P( Ai ) -先验概率它是由以往的经验得到的，是事件 B的原因。叶宏本科概率1-全概习题课白底该产品由乙车间生产的可能性最大。贝叶斯公式贝叶斯公式叶宏本科概率1-全概习题课白底例例4 用甲胎蛋白检测法用甲胎蛋白检测法(AFP)诊断肝病，已知确实诊断肝病，已知确实患肝病者被诊断为肝病的概率为患肝病者被诊断为肝病的概率为0.95，未患肝病者未患肝病者被误诊为肝病的概率为被误诊为肝病的概率为0.02，假设人群中肝病的发假设人群中肝病的发病率为病率为0.0004，现在有一个人被诊断为患有肝病，现在有一个人被诊断为患有肝病，求此人确实为肝病患者的概率。求此人确实为肝病患者的概率。设设 A=肝病患者肝病患者，B=被诊断为患有肝病被诊断为患有肝病，由由贝叶斯公式贝叶斯公式， 叶宏本科概率1-全概习题课白底这一讲我们介绍了这一讲我们介绍了全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们同学们可通过进一步的练习去掌握它们.值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作作“贝叶斯统计贝叶斯统计”. 可见贝叶斯公式的影可见贝叶斯公式的影响响 .叶宏本科概率1-全概习题课白底概率统计第一章习题课叶宏本科概率1-全概习题课白底习题一叶宏本科概率1-全概习题课白底叶宏本科概率1-全概习题课白底叶宏本科概率1-全概习题课白底与第二问互为逆事件叶宏本科概率1-全概习题课白底叶宏本科概率1-全概习题课白底9.某种植物有三种基因型：AA ， Aa ， aa.每一基因的数量分别为200，600，50.随机抽取一个体，问(1)其基因型为AA的概率是多少？(2)其基因型为AA或aa的概率是多少？叶宏本科概率1-全概习题课白底11. 100件产品中有件产品中有10件次品，用不放回的方式件次品，用不放回的方式取产品，每次取产品，每次1件，连取三次，求第三次才取得件，连取三次，求第三次才取得次品的概率。次品的概率。解解 令 Ai 为第 i 次取到正品叶宏本科概率1-全概习题课白底13. 灌装注射液需要四道工序，各道工序的废灌装注射液需要四道工序，各道工序的废品率分别为品率分别为0.5% ，0.2%，0.1%，0.8%，假假设各道工序是否合格是独立的，求经四道工设各道工序是否合格是独立的，求经四道工序全部合格的概率。序全部合格的概率。记记 Ai=第第 i 道工序合格道工序合格 i=1，2，3，4利用独立性叶宏本科概率1-全概习题课白底14. 为了提高抗菌素的产量和质量，需要对菌种进行培养，如果某菌种的优良变异率p为0.03，试问从一大批菌株中，采取多少只来培养，才能以 95 % 的把握从中至少可以选到一只优良菌株？设需采取n只来培养 ，Ai 表示出现 i只优良菌株叶宏本科概率1-全概习题课白底独立性叶宏本科概率1-全概习题课白底教材例题类似叶宏本科概率1-全概习题课白底设B表示第二次比赛取到3只新球 表示第1次比赛取到i只新球叶宏本科概率1-全概习题课白底18. 甲、乙两射手击中目标的概率分别为0.8与0.9 ，如果同时独立地射击一次,求下列概率：(1) 两人都命中；(2) 恰有一人命中；(3) 至少一人命中；(4) 两人都不中。独立性叶宏本科概率1-全概习题课白底19. 某集成电路能用2000小时的概率为0.92, 能用3000小时的概率为0.85 , 求已用了2000小时的集成电路能用到3000小时的概率。解解 令 A集成电路能用到2000小时 B集成电路能用到3000小时所求概率为叶宏本科概率1-全概习题课白底20. 日光灯使用寿命在3000小时以上的概率为0.8,求3只日光灯在使用3000小时后,(1)都没有坏的概率；(2)坏了一个的概率；(3)最多只有一只损坏的概率.3重伯努利试验叶宏本科概率1-全概习题课白底21.某单位有12台电脑，各台电脑是否被使用是独立的，每台电脑被使用的概率为0.7，问在同一时刻有9台或更多电脑被使用的概率是多少? 在同一时刻观察12台电脑，它们工作与否是相互独立的，故可视为12重伯努里试验叶宏本科概率1-全概习题课白底22.一个人的血型为O, A, B, AB型的概率分别为0. 46, 0. 40, 0. 11和0. 03. 现任选五人，求下列事件的概率：(1) 恰有两人为O型；(2) 三人为O型，两人为A型；(3) 没有一人为AB型. 叶宏本科概率1-全概习题课白底23.口袋中a只黑球，b只白球 随机地一只一只摸，摸后不放回 求第k次摸得黑球的概率 解法1：把球编号，按摸的次序把球排成一列，样本点总数就是a +b个球的全排列数 (a +b)! 所考察的事件相当于在第k 位放黑球，共有a种放法，每种放法又对应其它a+b1个球的(a+b1)! 种放法, 故该事件包含的样本点数为a(a+b1)!。解法2：只考虑前k个位置：叶宏本科概率1-全概习题课白底设表示“按i 次才对”解抽签理论抽签理论乘法公式乘法公式叶宏本科概率1-全概习题课白底全概率公式叶宏本科概率1-全概习题课白底叶宏本科概率1-全概习题课白底独立性3重伯努利试验叶宏本科概率1-全概习题课白底 从从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只鞋只鞋子中子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件A）的）的概率是多少？概率是多少？ 下面的算法错在哪里？下面的算法错在哪里？错在同样的错在同样的“4只配只配成两双成两双”算了两次算了两次.97321456810从从5双中取双中取1双，从剩双，从剩下的下的 8只中取只中取2只只思考题思考题叶宏本科概率1-全概习题课白底正确的答案是：正确的答案是：请思考：还有其它解法吗？请思考：还有其它解法吗？叶宏本科概率1-全概习题课白底思考题思考题叶宏本科概率1-全概习题课白底一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性系统由元件组成,常见的元件连接方式：串联并联1221系统的可靠性问题补充补充独立性应用叶宏本科概率1-全概习题课白底设 两系统都是由 4 个元件组成,每个元件正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性.A1A2B2B1S1:叶宏本科概率1-全概习题课白底A1A2B2B1S2:注 利用导数可证, 当 时, 恒有系统二更可靠叶宏本科概率1-全概习题课白底