7.1不等关系与不等式第七章不等式数学数学 苏苏（理）（理）基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1两个实数比较大小的方法b传递性ab，bc可加性ab可乘性注意c的符号bcacbcacbcacb0(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0(nN，n2)acbdacbdanbn3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质b0，m0，则u思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)abac2bc2.()题号答案解析1234 v40 km/ha1b1a2b2a1b2a2b1解析a1b1a2b2(a1b2a2b1)a1(b1b2)a2(b2b1)(b1b2)(a1a2)，a1a2，b1b2，(b1b2)(a1a2)0，a1b1a2b2a1b2a2b1.例1某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润已知这种商品的单价每提高1元，销售量就相应减少10件若把提价后商品的单价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？题型一用不等式题型一用不等式( (组组) )表示不等关系表示不等关系解析思维升华解析思维升华解 若提价后商品的单价为x元，例1某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润已知这种商品的单价每提高1元，销售量就相应减少10件若把提价后商品的单价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？题型一用不等式题型一用不等式( (组组) )表示不等关系表示不等关系因此，每天的利润为(x8)10010(x10)元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x8)10010(x10)300.解析思维升华对于不等式的表示问题，关键是理解题意，分清变化前后的各种量，得出相应的代数式，然后，用不等式表示而对于涉及条件较多的实际问题，则往往需列不等式组解决例1某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润已知这种商品的单价每提高1元，销售量就相应减少10件若把提价后商品的单价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？题型一用不等式题型一用不等式( (组组) )表示不等关系表示不等关系跟踪训练1已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：甲乙维生素A(单位/kg)600700维生素B(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成至多100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和62 000单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为_例2(1)已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是_题型二比较大小题型二比较大小解析答案思维升华MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0.MN.解析答案思维升华例2(1)已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是_题型二比较大小题型二比较大小解析答案思维升华MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0.MN.例2(1)已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是_题型二比较大小题型二比较大小MN比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差解析答案思维升华例2(1)已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是_题型二比较大小题型二比较大小MN(2)作商法：一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小；结论(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系解析答案思维升华例2(1)已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是_题型二比较大小题型二比较大小MN解析答案思维升华解析答案思维升华log8164b；所以bc.即cbe时，函数f(x)单调递减因为e34f(4)f(5)，即cbe时，函数f(x)单调递减因为e34f(4)f(5)，即cba.cba解析答案思维升华cba比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差解析答案思维升华cba(2)作商法：一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小；结论(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系跟踪训练2 (1)如果ab0，那么下列不等式成立的是_解析 对于，由ab0，ab0，跟踪训练2 (1)如果ab0，那么下列不等式成立的是_对于，由ab0，abb2，故错误；对于，由ab0，a2ab，即aba2，故错误；对于，由ab0，得ab0，跟踪训练2 (1)如果ab1，所以c最大即ab，所以cab.cab解析思维升华答案题型三不等式性质的应用题型三不等式性质的应用例3已知ab0，给出下列四个不等式：方法一 由ab0可得a2b2，成立；由ab0可得ab1，而函数f(x)2x在R上是增函数，f(a)f(b1)，即2a2b1，成立；解析思维升华答案题型三不等式性质的应用题型三不等式性质的应用例3已知ab0，给出下列四个不等式：解析思维升华答案题型三不等式性质的应用题型三不等式性质的应用例3已知ab0，给出下列四个不等式：解析思维升华答案题型三不等式性质的应用题型三不等式性质的应用例3已知ab0，给出下列四个不等式：若a3，b2，则a3b335,2a2b36，a3b3b2，2a2b1，解析思维升华答案题型三不等式性质的应用题型三不等式性质的应用例3已知ab0，给出下列四个不等式：而a3b32a2b不成立解析思维升华答案题型三不等式性质的应用题型三不等式性质的应用例3已知ab0，给出下列四个不等式：而a3b32a2b不成立解析思维升华答案(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来题型三不等式性质的应用题型三不等式性质的应用例3已知ab0，给出下列四个不等式：解析思维升华答案题型三不等式性质的应用题型三不等式性质的应用例3已知ab0，给出下列四个不等式：考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等中，因为baa0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为baa20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确解析 若c0则命题不正确正确中由2c0知正确(2)已知a，b，cR，有以下命题：若ab，则ac2bc2；若ac2bc2，则ab；若ab，则a2cb2c.其中正确的是_(填上所有正确命题的序号)易错警示系列易错警示系列9不等式变形中扩大变量范围致误不等式变形中扩大变量范围致误典例：设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_解 析易 错 分 析温 馨 提 醒解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f(2)4a2b的范围，导致变量范围扩大解 析易 错 分 析温 馨 提 醒易错警示系列易错警示系列9不等式变形中扩大变量范围致误不等式变形中扩大变量范围致误典例：设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_方法一设f(2)mf(1)nf(1) (m、n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b，解 析易 错 分 析温 馨 提 醒易错警示系列易错警示系列9不等式变形中扩大变量范围致误不等式变形中扩大变量范围致误典例：设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_解 析易 错 分 析温 馨 提 醒f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，易错警示系列易错警示系列9不等式变形中扩大变量范围致误不等式变形中扩大变量范围致误典例：设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_解 析易 错 分 析温 馨 提 醒53f(1)f(1)10，即5f(2)10.易错警示系列易错警示系列9不等式变形中扩大变量范围致误不等式变形中扩大变量范围致误典例：设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_解 析易 错 分 析温 馨 提 醒易错警示系列易错警示系列9不等式变形中扩大变量范围致误不等式变形中扩大变量范围致误典例：设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_解 析易 错 分 析温 馨 提 醒f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.易错警示系列易错警示系列9不等式变形中扩大变量范围致误不等式变形中扩大变量范围致误典例：设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_解 析易 错 分 析温 馨 提 醒确定的平面区域如图阴影部分，易错警示系列易错警示系列9不等式变形中扩大变量范围致误不等式变形中扩大变量范围致误典例：设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_解 析易 错 分 析温 馨 提 醒当f(2)4a2b过点B(3,1)时，易错警示系列易错警示系列9不等式变形中扩大变量范围致误不等式变形中扩大变量范围致误典例：设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_解 析易 错 分 析温 馨 提 醒取得最大值432110，5f(2)10.5,10易错警示系列易错警示系列9不等式变形中扩大变量范围致误不等式变形中扩大变量范围致误典例：设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过”一次性“使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.解 析易 错 分 析温 馨 提 醒5,10易错警示系列易错警示系列9不等式变形中扩大变量范围致误不等式变形中扩大变量范围致误典例：设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_方 法 与 技 巧1用同向不等式求差的范围这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到2倒数关系在不等式中的作用方 法 与 技 巧3.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一比差法的主要步骤：作差变形判断正负在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商4.求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法失 误 与 防 范1.abacbc或abacbanbn对于正数a、b才成立.失 误 与 防 范6.比商法比较大小时，要注意两式的符号.234567891011.“acbd”是“ab且cd”的_条件.解析由同向不等式的可加性知“ab且cd”“acbd”，反之不对.必要不充分2.若 0，则下列结论不正确的是_.a2b2 abb2ab|ab|23456789101a2b2，abb2，abB.AB234567891015.设a1，且mloga(a21)，nloga(a1)，ploga(2a)，则m，n，p的大小关系为_.解析因为a1，所以a212a(a1)20，即a212a，又2aa1，所以由对数函数的单调性可知loga(a21)loga(2a)loga(a1)，即mpn.23456789101mpn345678910126.已知a0，1b”连接)解析由1b0，可得bb21.又aab2a.abab2a34567891012解析方法一y2x22c(ab)0，yx.同理，zy，zyx.方法二令a3，b2，c1，34567891012答案zyx345678910128.已知a，b，c，d均为实数，有下列命题34567891012解析ab0，bcad0，bcad0，正确；ab0，正确.故都正确.答案3456789101210.甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解设路程为s，跑步速度为v1，步行速度为v2，3456789101234567891012t甲t乙，当且仅当v1v2时“”成立.由实际情况知v1v2，t甲t乙.乙先到教室.1.下列三个不等式中，恒成立的个数是_.解析当x0时，不成立.23451所以恒成立.23451答案22.已知alog32，bln 2，c5 ，则a，b，c的大小关系为_.(用“”连接)0ln 21，aln 2b，即ac，cab.答案caABD.23451CA.23451AB(1a2)(1a2)2a20，AB.23451BD.综上所述，CABD.答案CABD234515.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.23451解设该单位职工有n人(nN*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，23451当n5时，y1y2；当n5时，y1y2；23451当ny2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠.23451