1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法【知识提炼【知识提炼】函数的表示法函数的表示法数学表达式数学表达式图象图象表格表格【即时小测【即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题: :(1)(1)所有的函数都能用列表法来表示吗所有的函数都能用列表法来表示吗? ?提示提示: :并不是所有的函数都能用列表法来表示并不是所有的函数都能用列表法来表示, ,如函数如函数y=2x+1,xy=2x+1,xR.R.因因为自变量为自变量x xR R不能一一列出不能一一列出, ,所以不能用列表法来表示所以不能用列表法来表示. .(2)(2)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围? ?提示提示: :函数的定义域是函数存在的前提函数的定义域是函数存在的前提, ,写函数解析式的时候写函数解析式的时候, ,一般要一般要写出函数的定义域写出函数的定义域. .2.2.已知函数已知函数f(xf(x) )由下表给出由下表给出: :x x-1-10 01 12 2f(xf(x) )4 42 20 01 1则则f(f(2)=f(f(2)=. .【解析【解析】由表格可知由表格可知,f(2)=1,f(2)=1,所以所以f(f(2)=f(1)=0.f(f(2)=f(1)=0.答案答案: :0 03.3.已知已知f(x-1)=(x-1)f(x-1)=(x-1)2 2, ,则则f(xf(x) )的解析式为的解析式为. .【解析【解析】设设x-1=t,x-1=t,则则x=t+1,x=t+1,所以所以f(tf(t)=t)=t2 2, ,即即f(xf(x)=x)=x2 2. .答案答案: :f(xf(x)=x)=x2 24.4.已知函数已知函数y=f(xy=f(x) )的图象如图所示的图象如图所示, ,则其定义域是则其定义域是. .【解析【解析】因为函数因为函数y=f(xy=f(x) )图象上所有点的横坐标的取值范围是图象上所有点的横坐标的取值范围是-2,3,-2,3,所以其定义域为所以其定义域为-2,3.-2,3.答案答案: :-2,3-2,35.5.已知已知f(nf(n)=2f(n+1),f(1)=2,)=2f(n+1),f(1)=2,则则f(3)=f(3)=. .【解析【解析】f(nf(n)=2f(n+1),f(1)=2,)=2f(n+1),f(1)=2,所以所以f(1)=2f(2)=4f(3),f(1)=2f(2)=4f(3),故故f(3)= .f(3)= .答案答案: :【知识探究【知识探究】知识点知识点 函数的三种表示方法函数的三种表示方法观察如图所示内容观察如图所示内容, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题1:1:应用三种方法表示函数时应注意什么问题应用三种方法表示函数时应注意什么问题? ?问题问题2:2:函数的三种表示方法各有什么优缺点函数的三种表示方法各有什么优缺点? ?【总结提升【总结提升】1.1.对函数三种表示法的说明对函数三种表示法的说明列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系对应关系, ,同一个函数可以用不同的方法表示同一个函数可以用不同的方法表示. .在应用三种方法表示函在应用三种方法表示函数时要注意数时要注意: :(1)(1)解析法解析法: :必须注明函数的定义域必须注明函数的定义域. .(2)(2)列表法列表法: :选取的自变量要有代表性选取的自变量要有代表性, ,应能反映定义域的特征应能反映定义域的特征. .(3)(3)图象法图象法: :是否连线是否连线. .2.2.函数三种表示方法优缺点比较函数三种表示方法优缺点比较【题型探究【题型探究】类型一类型一待定系数法求函数解析式待定系数法求函数解析式【典典例例】1.1.已已知知f(xf(x) )是是一一次次函函数数, ,且且f(f(xf(f(x)=4x+3,)=4x+3,则则函函数数f(xf(x) )的的解解析析式为式为. .2.2.已已知知二二次次函函数数y=f(xy=f(x) )的的最最大大值值为为13,13,且且f(3)=f(-1)=5,f(3)=f(-1)=5,求求f(xf(x) )的的解解析析式式. .【解题探究【解题探究】1.1.典例典例1 1中一次函数解析式的形式是什么中一次函数解析式的形式是什么? ?提示提示: :一次函数解析式的形式为一次函数解析式的形式为f(xf(x)=ax+b(a)=ax+b(a0).0).2.2.典例典例2 2中二次函数的一般形式是什么中二次函数的一般形式是什么? ?提示提示: :二次函数的一般形式是二次函数的一般形式是f(xf(x)=ax)=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0).0).【解析【解析】1.1.设设f(xf(x)=ax+b(a)=ax+b(a0),0),则则f(f(x)=f(ax+bf(f(x)=f(ax+b)=a)=a2 2x+ab+b.x+ab+b.所以所以a a2 2x+ab+b=4x+3.x+ab+b=4x+3.所以所以 故所求的函数为故所求的函数为f(xf(x)=2x+1)=2x+1或或f(xf(x)=-2x-3.)=-2x-3.答案答案: :f(xf(x)=2x+1)=2x+1或或f(xf(x)=-2x-3)=-2x-32.2.方法一方法一: :利用二次函数的一般式求解利用二次函数的一般式求解. .设设f(xf(x)=ax)=ax2 2+bx+c(a0).+bx+c(a0).由条件知由条件知, ,点点(3,5),(-1,5),(1,13)(3,5),(-1,5),(1,13)在在f(xf(x) )的图象上的图象上, ,所以所以f(xf(x)=-2x)=-2x2 2+4x+11.+4x+11.方法二方法二: :利用二次函数的顶点式求解利用二次函数的顶点式求解. .由由f(3)=f(-1),f(3)=f(-1),可知可知: :对称轴为对称轴为x=1,x=1,又最大值为又最大值为13,13,故可设故可设f(xf(x)=a(x-1)=a(x-1)2 2+13.+13.将将f(3)=5f(3)=5代入代入, ,得得a=-2.a=-2.所以所以f(xf(x)=-2(x-1)=-2(x-1)2 2+13,+13,即即f(xf(x)=-2x)=-2x2 2+4x+11.+4x+11.【方法技巧【方法技巧】待定系数法求函数解析式待定系数法求函数解析式(1)(1)适用范围适用范围: :已知所要求的解析式已知所要求的解析式f(xf(x) )的类型的类型, ,如是一次函数、二次如是一次函数、二次函数函数, ,等等等等, ,即可设出即可设出f(xf(x) )的解析式的解析式, ,然后根据已知条件确定其系数然后根据已知条件确定其系数. .(2)(2)待定系数法求函数解析式的步骤待定系数法求函数解析式的步骤: :设出所求函数含有待定系数的解析式设出所求函数含有待定系数的解析式; ;把已知条件代入解析式把已知条件代入解析式, ,列出关于待定系数的方程或方程组列出关于待定系数的方程或方程组; ;解方程或方程组解方程或方程组, ,得到待定系数的值得到待定系数的值; ;将所求待定系数的值代回所设解析式将所求待定系数的值代回所设解析式. .【变式训练【变式训练】已知二次函数已知二次函数f(xf(x) )的图象过点的图象过点A(0,-5),B(5,0),A(0,-5),B(5,0),其对称其对称轴为轴为x=2,x=2,求其解析式求其解析式. .【解析【解析】因为抛物线的对称轴为因为抛物线的对称轴为x=2,x=2,所以设二次函数的解析式为所以设二次函数的解析式为f(xf(x)=a(x-2)=a(x-2)2 2+k(a0).+k(a0).把把(0,-5),(5,0)(0,-5),(5,0)分别代入上式得分别代入上式得 所以解析式为所以解析式为f(xf(x)=(x-2)=(x-2)2 2-9.-9.即即f(xf(x)=x)=x2 2-4x-5.-4x-5.类型二类型二换元法换元法( (或配凑法或配凑法) )、方程组法求函数解析式、方程组法求函数解析式【典例【典例】求满足下列条件的函数求满足下列条件的函数f(xf(x) )的解析式的解析式. .(1)(1)函数函数f(xf(x) )满足满足f( +1)=x+2 .f( +1)=x+2 .(2)(2)函数函数f(xf(x) )满足满足2f( )+f(x)=x(x0).2f( )+f(x)=x(x0).【解题探究【解题探究】1.1.典例典例(1)(1)中的中的f( +1)f( +1)中的中的 +1+1与与x+2 x+2 能否建立联能否建立联系系? ?提示提示: :典例典例(1)(1)中的中的x+2 =( +1)x+2 =( +1)2 2-1.-1.2.2.典例典例(2)(2)中中x x和和 有什么关系有什么关系? ?提示提示: :互为倒数关系互为倒数关系. .【解析【解析】(1)(1)方法一方法一( (换元法换元法):):令令 +1=t(t+1=t(t1),1),则则x=(t-1)x=(t-1)2 2, ,所以所以f(tf(t)=(t-1)=(t-1)2 2+2 =t+2 =t2 2-1,-1,所以所以f(xf(x)=x)=x2 2-1(x1).-1(x1).方法二方法二( (配凑法配凑法):):因为因为x+2 =( +1)x+2 =( +1)2 2-1,-1,所以所以f( +1)=( +1)f( +1)=( +1)2 2-1.-1.又因为又因为 +11,+11,所以所以f(xf(x)=x)=x2 2-1(x1).-1(x1).(2)(2)由题意知由题意知f(x)+2f( )=xf(x)+2f( )=x，令，令x= (t0)x= (t0)，则则 =t,=t,则则f( )+2f(t)= f( )+2f(t)= ，即即f( )+2f(x)= f( )+2f(x)= ，于是得到关于，于是得到关于f( )f( )与与f(xf(x) )的方程组的方程组【延伸探究【延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件) )典例典例(1)(1)中若将条件中若将条件“f( f( 1)=x1)=x2 2 ”变为变为“f(2x-1)=xf(2x-1)=x2 2x x1 1”，则，则f(xf(x) )的解析式是什么？的解析式是什么？【解析【解析】设设2x-1=t2x-1=t，则，则x=x=所以所以f(tf(t)=)=即即f(xf(x)=)=2.(2.(变换条件变换条件) )典例典例(1)(1)中若将条件中若将条件“f( f( 1)=x1)=x2 2 ”变为变为“f(1f(1 )= )= ”，则，则f(xf(x) )的解析式是什么？的解析式是什么？【解析【解析】f(1f(1 )= )= 因为因为1 1 11，所以函数解析式为，所以函数解析式为f(xf(x)=x)=x2 2-x-x1 1，x(-x(-，1)(11)(1，)【方法技巧【方法技巧】换元法换元法( (或配凑法或配凑法) )、方程组法求函数解析式的思路、方程组法求函数解析式的思路(1)(1)已知已知f(g(x)=h(xf(g(x)=h(x),),求求f(xf(x),),常用的有两种方法常用的有两种方法: :换元法换元法, ,即令即令t=g(xt=g(x),),解出解出x,x,代入代入h(xh(x) )中中, ,得到一个含得到一个含t t的解析式的解析式, ,即即为函数解析式为函数解析式, ,注意注意: :换元后新元的范围换元后新元的范围. .配凑法配凑法, ,即从即从f(g(xf(g(x)的解析式中配凑出的解析式中配凑出“g(xg(x) )”, ,即用即用g(xg(x) )来表示来表示h(xh(x),),然后将解析式中的然后将解析式中的g(xg(x) )用用x x代替即可代替即可. .(2)(2)方程组法方程组法: :当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时互为相反数或互为倒数关系时, ,可构造方程组求解可构造方程组求解. .【补偿训练【补偿训练】已知已知f(x-1)=xf(x-1)=x2 2+4x-5,+4x-5,则则f(xf(x) )的解析式是的解析式是( () )A.f(xA.f(x)=x)=x2 2+6x+6xB.f(xB.f(x)=x)=x2 2+8x+7+8x+7C.f(xC.f(x)=x)=x2 2+2x-3+2x-3 D.f(x D.f(x)=x)=x2 2+6x-10+6x-10【解析【解析】选选A.A.方法一方法一: :设设t=x-1,t=x-1,则则x=t+1,x=t+1,因为因为f(x-1)=xf(x-1)=x2 2+4x-5,+4x-5,所以所以f(tf(t)=(t+1)=(t+1)2 2+4(t+1)-5=t+4(t+1)-5=t2 2+6t,+6t,f(xf(x) )的解析式是的解析式是f(xf(x)=x)=x2 2+6x.+6x.方法二方法二: :因为因为f(x-1)=xf(x-1)=x2 2+4x-5=(x-1)+4x-5=(x-1)2 2+6(x-1),+6(x-1),所以所以f(xf(x)=x)=x2 2+6x.+6x.所以所以f(xf(x) )的解析式是的解析式是f(xf(x)=x)=x2 2+6x.+6x.类型三类型三函数的图象及其应用函数的图象及其应用【典例【典例】作出下列函数的图象作出下列函数的图象: :(1)y=2x+1,x0,2.(1)y=2x+1,x0,2.(2)y=x(2)y=x2 2-2x,x0,3).-2x,x0,3).(3)y= .(3)y= .【解题探究【解题探究】典例中可以使用什么方法来画函数图象典例中可以使用什么方法来画函数图象? ?提示提示: :典例中函数的图象可通过描点法来画典例中函数的图象可通过描点法来画. .【解析【解析】(1)(1)当当x=0x=0时时,y=1;,y=1;当当x=2x=2时时,y=5.,y=5.所画图象如图所画图象如图(1)(1)所示所示. .(2)(2)因因为为0x3,0x3,所所以以这这个个函函数数的的图图象象是是抛抛物物线线y=xy=x2 2-2x-2x介介于于0x30x3之之间的一部分间的一部分, ,如图如图(2)(2)所示所示. .(3)(3)函数图象如图函数图象如图(3)(3)所示所示. .【方法技巧【方法技巧】描点法作函数图象的步骤及关注点描点法作函数图象的步骤及关注点(1)(1)步骤步骤: :列表列表: :取自变量的若干个值取自变量的若干个值, ,求出相应的函数值求出相应的函数值, ,并列表表示并列表表示; ;描点描点: :在平面直角坐标系中描出表中相应的点在平面直角坐标系中描出表中相应的点; ;连线连线: :用平滑的曲线将描出的点连接起来用平滑的曲线将描出的点连接起来, ,得到函数图象得到函数图象. .(2)(2)关注点关注点: :画函数图象时首先关注函数的定义域画函数图象时首先关注函数的定义域, ,即在定义域内作图即在定义域内作图; ;图象是实线或实点图象是实线或实点, ,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象; ;要要标标出出某某些些关关键键点点, ,例例如如图图象象的的顶顶点点、端端点点、与与坐坐标标轴轴的的交交点点等等. .要要分清这些关键点是实心点还是空心点分清这些关键点是实心点还是空心点. .【变式训练【变式训练】作出函数作出函数y=xy=x2 2-2x-2,x0,3-2x-2,x0,3的图象并求其值域的图象并求其值域. .【解析【解析】因为因为y=(x-1)y=(x-1)2 2-3,-3,所以函数所以函数y=xy=x2 2-2x-2-2x-2的对称轴为的对称轴为x=1,x=1,顶点为顶点为(1,-3);(1,-3);函数过点函数过点(0,-2),(3,1),(0,-2),(3,1),其图象如图所示其图象如图所示. .由图象知函数的值域为由图象知函数的值域为-3,1.-3,1.【补偿训练【补偿训练】画出函数图象画出函数图象:y=x:y=x2 2-2,xZ-2,xZ且且|x|2.|x|2.【解析【解析】因为因为y=xy=x2 2-2,x-2,xZ Z且且|x|x|2,2,所以所以x=-2,-1,0,1,2;x=-2,-1,0,1,2;对应对应y y的值为的值为:2,-1,-2,-1,2.:2,-1,-2,-1,2.图象如图图象如图: :易错案例易错案例 换元法求函数解析式换元法求函数解析式【典例【典例】已知已知f(xf(x2 2+2)=x+2)=x4 4+4x+4x2 2, ,则则f(xf(x) )的解析式为的解析式为_._.【失误案例【失误案例】【错解分析【错解分析】分析解题过程分析解题过程, ,你知道错哪里吗你知道错哪里吗? ?提示提示: :错误的根本原因是忽略了函数错误的根本原因是忽略了函数f(xf(x) )的定义域的定义域. .上面的解法上面的解法, ,看上看上去似乎是无懈可击去似乎是无懈可击, ,然而从其结论然而从其结论, ,即即f(xf(x)=x)=x2 2-4-4来看来看, ,并未注明并未注明f(xf(x) )的的定义域定义域, ,那么按一般理解那么按一般理解, ,就应认为其定义域是全体实数就应认为其定义域是全体实数. .但是但是f(xf(x)=x)=x2 2-4-4的定义域不是全体实数的定义域不是全体实数. .【自我矫正【自我矫正】因为因为f(xf(x2 2+2)=x+2)=x4 4+4x+4x2 2=(x=(x2 2+2)+2)2 2-4,-4,令令t=xt=x2 2+2(t2),+2(t2),则则f(tf(t)=t)=t2 2-4(t2),-4(t2),所以所以f(xf(x)=x)=x2 2-4(x2).-4(x2).答案答案: :f(xf(x)=x)=x2 2-4(x-4(x2)2)【防范措施【防范措施】关注换元法求函数解析式时对定义域的要求关注换元法求函数解析式时对定义域的要求任何一个函数都由定义域、值域和对应关系任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f f三要素组成三要素组成. .所以所以, ,当函数当函数f(g(xf(g(x)一旦给出一旦给出, ,则其对应关系则其对应关系f f就已确定并且不可改变就已确定并且不可改变, ,那么那么f f的的“管辖范围管辖范围”( (即即g(xg(x) )的值域的值域) )也就随之确定也就随之确定. .因此因此, ,我们由我们由f(g(xf(g(x)求求f(xf(x) )时时, ,求得的求得的f(xf(x) )的定义域就理应与的定义域就理应与f(g(xf(g(x)中的中的f f的的“管辖范围管辖范围”一致才妥一致才妥. .