第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 数集扩充到实数集数集扩充到实数集 正数与负数，有理数与无理数，都是具有正数与负数，有理数与无理数，都是具有“实际实际意义的量意义的量”，称之为，称之为“实数实数”，构成实数系统，构成实数系统. . 实数系统是一个没有缝隙的连续系统实数系统是一个没有缝隙的连续系统. .N NZ ZQ QR R探究点探究点2 2 复数的概念复数的概念平方等于平方等于-1-1的数用符号的数用符号i i来表示来表示。（2 2）可以和实数一起进行的四则运算）可以和实数一起进行的四则运算, , 原有的加法乘法运算律仍成立原有的加法乘法运算律仍成立（1 1）的的 引引 入入i虚数虚数单位单位ab实部实部虚部虚部复数的概念复数的概念定义：把形如定义：把形如a+bia+bi的数叫做复数（的数叫做复数（a,b a,b 是实数）是实数）复数全体组成的集合叫复数集复数全体组成的集合叫复数集，记作：记作：C C复数的代数形式复数的代数形式xy0Z( (a, ,b) ) 建立了平面直角坐标系来建立了平面直角坐标系来表示复数的平面表示复数的平面复平面复平面x轴轴实轴实轴y轴轴虚轴虚轴abz=a+bi这是复数的一种几何意义这是复数的一种几何意义. .探究点探究点3 3 复数的几何表示复数的几何表示复数复数z= =a+ +bi有序实数对有序实数对( (a, ,b) )复平面内的点复平面内的点Z( (a, ,b) )（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应探究点探究点3 3 复数的几何表示复数的几何表示(A)(A)在复平面内，在复平面内，对应于于实数的点都在数的点都在实轴上；上；(B)(B)在复平面内，在复平面内，对应于于纯虚数的点都在虚虚数的点都在虚轴上；上；(C)(C)在复平面内，在复平面内，实轴上的点所上的点所对应的复数都是的复数都是实数；数；(D)(D)在复平面内，虚在复平面内，虚轴上的点所上的点所对应的复数都是的复数都是纯虚数虚数. .下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（ ）D D【即时训练即时训练】总结提升总结提升 一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？的点分别表示什么样的数？ 实轴上的点表示实数，实轴上的点表示实数， 虚轴上的点除原点外都虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，表示纯虚数， 各象限内的点表示实部各象限内的点表示实部不为零的虚数不为零的虚数. .xy0Z( (a, ,b) )abz=a+bi这是复数的又一种几何意义这是复数的又一种几何意义. .探究点探究点4 4 复数的模的几何意复数的模的几何意义: :复数的模其实是实数绝对值概念的推广复数的模其实是实数绝对值概念的推广xOz= =a+ +biy| |z|=|=r=| |OZ| |探究点探究点4 4 复数的模的几何意复数的模的几何意义: : 复数复数 z= =a+ +bi的模的模 r 就是复数就是复数 z= =a+ +bi在复平在复平面上对应的点面上对应的点Z(Z(a, ,b) )到原点的距离到原点的距离. .Z(a,b)复数复数z= =a+ +bi有序实数对有序实数对( (a, ,b) )复平面内的点复平面内的点Z( (a, ,b) )（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应探究点探究点4 4 复数的向量表示复数的向量表示一一对应一一对应例例4 4 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)+m-2)i i在复平面内所在复平面内所对应的点位于第二象限，求的点位于第二象限，求实数数m m的取的取值范范围. . 若复数若复数z(x,y)z(x,y)对应点集为圆对应点集为圆: : 试求试求zz的最大值与最小值的最大值与最小值. .xyoo121131变式训练变式训练1 1：变式式训练2 2：已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)+m-2)i i在复平在复平面内所面内所对应的点在直的点在直线x-2y+4=0x-2y+4=0上，求上，求实数数m m的的值。 解：因为解：因为复数复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所在复平面内所对应的点是（对应的点是（m m2 2+m-6+m-6，m m2 2+m-2+m-2） 所以所以(m(m2 2+m-6)-2(m+m-6)-2(m2 2+m-2)+4=0+m-2)+4=0 所以所以m=1m=1或或m=-2m=-2表示复数的点所在表示复数的点所在象限的问题象限的问题复数的实部与虚部所满足复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题的不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问题代数问题)一种重要的数学思想一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想1.a=01.a=0是复数是复数a+bi(a,bRa+bi(a,bR）为纯虚数的（虚数的（ ）A.A.必要条件必要条件 B.B.充分条件充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.非必要非充分条件非必要非充分条件A A2 2“a=0”a=0”是是“复数复数a+bi (a , bR)a+bi (a , bR)所所对应的点的点在虚在虚轴上上”的（的（ ）A.A.必要不充分条件必要不充分条件 B.B.充分不必要条件充分不必要条件C.C.充要条件充要条件 D.D.不充分不必要条件不充分不必要条件C C3.3.以以3i-23i-2的虚部的虚部为实部，以部，以3i3i2 2+3i+3i的的实部部为虚部虚部 的复数是（的复数是（ ）A.-2+3i B.3-3iA.-2+3i B.3-3iC.-3+3i D.3+3iC.-3+3i D.3+3iB B4.4.我我们已知已知i i是是1 1的一个平方根，即方程的一个平方根，即方程x x2 2= =1 1的一的一个根，那么方程个根，那么方程x x2 2= =1 1的另一个根是的另一个根是_._. i i5.(1)5.(1)下列下列n n的取的取值中，使中，使i in n =1(i=1(i是虚数是虚数单位）的位）的是（是（ ）A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5(2)(2)复数复数z=i+z=i+i i2 2+ +i i3 3+ +i i4 4的的值是（是（ ）A.-A.- B.0 C.1 B.0 C.1 .i.iC CB B(4)(4)由此来推由此来推测 的的值有什么有什么规律，并律，并把把这个个规律用式子表示出来律用式子表示出来(3)(3)i i2 2+i+i3 3+ +i i20142014=( )=( )A A1 1 B B0 0 C C1 1 D Di iA A1. 1. 数学知识：数学知识：2. 2. 几何意义：几何意义：(1)(1)复数相等复数相等(2)(2)复平面复平面(3)(3)复数的模复数的模(2)(2)向量（向量（a,ba,b）(1)(1)点（点（a,ba,b）3. 3. 数学思想：数学思想：(3)(3)转化思想转化思想(2)(2)数形结合思想数形结合思想(1)(1)类比思想类比思想