开放性问题开放性问题数学开放题是指那些条件不完整，结论数学开放题是指那些条件不完整，结论不确定，解法不限制的数学问题。不确定，解法不限制的数学问题。它的显著特点：正确答案不唯一。它的显著特点：正确答案不唯一。条件开放结论开放过程开放综合开放题型：题型：一、条件开放型一、条件开放型条件开放型是指结论给定，条件未知或不全，条件开放型是指结论给定，条件未知或不全，需要探求与结论相对应的条件的一类试题。需要探求与结论相对应的条件的一类试题。解这种类型的开放性问题的一般思路是：由解这种类型的开放性问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式，向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式，这类开放题在中考试卷中较多出现在填空题。这类开放题在中考试卷中较多出现在填空题。一、条件开放型一、条件开放型例例1 1 请你先化简下式，再选取一个你喜爱的请你先化简下式，再选取一个你喜爱的数代入求值。数代入求值。例例2 2 如图，如图，AB=DB,1=2AB=DB,1=2，请添加一个条请添加一个条件：件： ，使得，使得ABCDBEABCDBE，并证明你的结论。并证明你的结论。ADCBE12BC=BE 或或A=D或或C=E能添加条件：能添加条件：DE=AC吗？吗？给出问题的结论，让解题者分析探索使给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不是唯一的，这样的问题是条条件往往不是唯一的，这样的问题是条件开放性问题。件开放性问题。例例3:3:如图如图, ABC, ABC中中,D,E,D,E分别是分别是AC,ABAC,AB上的上的点点,BD,BD与与CECE交于点交于点O ,O ,给出下列四个条件给出下列四个条件:EBO=DCO;BEO=CDO;BE=CD:EBO=DCO;BEO=CDO;BE=CD;OB=OC.;OB=OC.(1)(1)上述四个条件中上述四个条件中, ,哪两个条件可判定哪两个条件可判定ABCABC是等腰三角形是等腰三角形( (用序号写出所有情形用序号写出所有情形););(2)(2)选择第选择第(1)(1)小题中的一种情形小题中的一种情形, ,证明证明ABCABC是等腰三角形是等腰三角形. .ABCDOE , , , 3 3、如图，、如图，DAB=CABDAB=CAB，请添加一，请添加一个条件：个条件： ，使得，使得DABCAB .DABCAB .ADCB4 4、如图、如图4 4，在，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，D D为为ACAC边上的一点，要使得边上的一点，要使得ABCBCDABCBCD，还需要添加一个条件，这个条件可以是还需要添加一个条件，这个条件可以是 . .1 1、写出和为、写出和为20062006的两个无理数的两个无理数 。（只需写出一对）。（只需写出一对）2 2、对代数式、对代数式4a4a2 2作合理的解释是作合理的解释是 . . 例例4:如图，在梯形如图，在梯形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，E E，F F，G G，H H分别是梯形分别是梯形ABCDABCD各边各边ABAB，BCBC，CDCD，DADA的的中点，当梯形中点，当梯形ABCDABCD满足条件满足条件 时时 ，四边形，四边形EFGHEFGH是菱形。（填上你认为正是菱形。（填上你认为正确的一个条件即可）确的一个条件即可） AD=BCAD=BCBD=ACBD=AC A=BA=BABCDEFGH二二、结论开放型结论开放型 结论开放型是指条件充分给定，结论结论开放型是指条件充分给定，结论未知或不全，需要探求，整合出符合给定条未知或不全，需要探求，整合出符合给定条件下相应结论的一类试题。这种类型的开放件下相应结论的一类试题。这种类型的开放性问题的解题方法是充分利用已知条件或图性问题的解题方法是充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维，过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维，这类开放题在中考试卷中，一般出现在解答这类开放题在中考试卷中，一般出现在解答题型中。题型中。例例7: 7: 一个方程组的解为一个方程组的解为 和和 , ,试写出符合要求的方程组试写出符合要求的方程组_._.二二、结论开放型结论开放型 给出问题的条件，让解题者根据条件探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样性，这样的问题是结论开放性问题性，这样的问题是结论开放性问题。例例8:8:对反比例函数对反比例函数 与二次函数与二次函数 ，请说出它们的两个共同，请说出它们的两个共同点和两个不同点。点和两个不同点。 例例9 9、有这样的一个函数，甲、乙、丙、丁有这样的一个函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图像经过第一象限；乙：函数图像经过第一象限；丙：当丙：当x2x2时，时，y y随随x x的增大而减小；的增大而减小；丁：当丁：当x2x0y0 已知这四位同学叙述都正确，请你构造已知这四位同学叙述都正确，请你构造出满足上述所有性质的一个函数；出满足上述所有性质的一个函数；例例1010：函数：函数 的图象如图所示，的图象如图所示， 为该图象的对为该图象的对称轴，根据这个函数图象，你能得到关于该函称轴，根据这个函数图象，你能得到关于该函数的那些性质和结论？（写出四个即可）数的那些性质和结论？（写出四个即可）XY11 13 3-1-1(1) (1) 顶点在第四象限顶点在第四象限 (6) (6) 抛物线的开口向上抛物线的开口向上(7) (7) 当当 时时 y y随随X X 的增大而减小；的增大而减小；解解: : (2) (2) 与与X X 轴有两个交点轴有两个交点 (3) a (3) a 0 0(4) (4) 与与Y Y轴交于负半轴轴交于负半轴 (5) -1 (5) -1c c0 0 -1-1(10) a0,b0,c0,b0,c0 0 (8) (8) 当当 时时y y随随 X X 的增大而增大；的增大而增大；(9)(9)由由 得得2a=-3b 2a=-3b (10)(10) a0 b0 b 0 y 0 即即 a + b + C 0a + b + C 0(12) (12) 当当x=-1x=-1时，时，y0 y0 即即 a a b + C0 b + C0(13) (13) 当当x=2x=2时，时，y0 y0 即即 4a + 2b + C04a + 2b + C0例例11 11 如图，如图，O O是等腰三角形是等腰三角形ABCABC的外接圆，的外接圆，ADAD、AEAE分别是分别是BACBAC的邻补角的平分线，的邻补角的平分线，ADAD交交O O于点于点D D，交，交BCBC于于F F，由这些条件直接写由这些条件直接写出六个正确的结论：出六个正确的结论： （不再连结其他线段）（不再连结其他线段）B=C , BF=CF, AB=AC, BD=CD, ADBC, ADAE, AEBC,AD是是 O的直径，的直径，AE是是O O的切线的切线 例例12:如图如图,AB是是 O的直径的直径, O过过AC的中点的中点D,DEBC,垂足为垂足为E.(1)由这些条件由这些条件,你能推出哪些正确结论你能推出哪些正确结论?(要求要求:不再标注其他字母不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出三个不能出现在结论中，不写推理过程，写出三个结论即可）结论即可）(2)若若ABC是直角是直角,其他条件不变其他条件不变,除上述结除上述结论外论外,你还能推出哪些新的正确结论你还能推出哪些新的正确结论?并画出图并画出图形形.(要求同要求同(1)A BCDEOA BCDEO例例13:如图如图, ,直线直线MNMN与与O O相切于点相切于点C C，ABAB是是O O的直径，连结的直径，连结ACAC、OCOC、BCBC，AEMNAEMN于于E E，BFMNBFMN于于F F，BFBF与与O O交于点交于点D D。根据图中所。根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明。论，并加以证明。AECCFB, EC=FC,AE=DF,AE+BF=AB,EC2=AE*BF,FC2=FD*FB,AC2/BC2=AE/BF 例例1414、如图，平行四边形、如图，平行四边形ABCDABCD内一内一点点E E满足满足EDADEDAD于于D D，且，且EBC=EDCEBC=EDC，ECB=45ECB=45，找出图中一条与，找出图中一条与EBEB相等的相等的线段，并证明。线段，并证明。 一般思路：依据题设条件从简单一般思路：依据题设条件从简单情况或特殊情况入手进行归纳，大胆情况或特殊情况入手进行归纳，大胆的猜想得出结论，然后进行论证。的猜想得出结论，然后进行论证。例例 15: 15: 用三种不同方法把平行四边形面积四等用三种不同方法把平行四边形面积四等分（在所给的图形中画出你的设计方案，画分（在所给的图形中画出你的设计方案，画图工具不限）图工具不限）三、策略开放型三、策略开放型策略开放题，一般是指解题方法不唯一或解策略开放题，一般是指解题方法不唯一或解题路径不明确的问题。题路径不明确的问题。例例16:认真观察图认真观察图40-2前前4个图中阴影部分构个图中阴影部分构成的图案成的图案,回答下列问题回答下列问题:(2)请在上面空网格图中设计出你心中最美丽请在上面空网格图中设计出你心中最美丽的图案的图案,使它也具备你所写出的上述特征使它也具备你所写出的上述特征.(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征请写出这四个图案都具有的两个共同特征.特征特征1:_;特征特征2:_.各各班级分数段人数分布情况班级分数段人数分布情况例例17: 17: 有一块方角形钢板如下图所示，有一块方角形钢板如下图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部请你用一条直线将其分为面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹，在图中直分（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）。接画出）。一个圆形街心花园，有三个出口一个圆形街心花园，有三个出口A A、B B、C C，每，每两个出口之间有一条两个出口之间有一条6060米长的道路，组成正三米长的道路，组成正三角形角形ABCABC，在中心点，在中心点O O处有一个亭子。为使亭子处有一个亭子。为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路与原有的道路相通，需再修三条小路ODOD、OEOE、OFOF，使另一出口，使另一出口D D、E E、F F分别落在分别落在ABCABC的三边的三边上，且这三条小路把上，且这三条小路把ABCABC分成三个全等的多分成三个全等的多边形，以备种不同品种的花草。边形，以备种不同品种的花草。请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计分别画在图中；任选一种你的设计方案，设计分别画在图中；任选一种你的设计方案，计算三条小路的总长。计算三条小路的总长。三、策略开放型三、策略开放型四、综合开发型综合开发型是指条件、结论、解题方综合开发型是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，情境，需要我们补充条件，设计结论，并寻求解法的一类问题；它更具有开并寻求解法的一类问题；它更具有开发性，能为我们提供宽松的思维环境，发性，能为我们提供宽松的思维环境，解这类题时，要求我们对课本知识特解这类题时，要求我们对课本知识特别熟悉并能灵活运用。别熟悉并能灵活运用。条件结论均开放的问题：条件结论均开放的问题：例例 18: 18: 如图在如图在ABDABD与与ACEACE中，有下列四个中，有下列四个论断论断 AB= AC AD =AE B= C AB= AC AD =AE B= C BD=CE BD=CE，请以其中三个诊断作为条件，余下请以其中三个诊断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题是一个论断作为结论，写出一个真命题是 _ _(_(序号和序号和 的形式写出）的形式写出） ABDCE例例19: 如图，如图，ABCABC中，中，C=90C=90 ，D D为为ABAB上一动点，上一动点，DEACDEAC，DFBCDFBC，垂足分别为点，垂足分别为点E E、F F，请问当，请问当D D运动运动到什么位置时，到什么位置时，AEDDFBAEDDFB吗？为什么吗？为什么？ 例例20:20:如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，点中，点E E在边在边CDCD上，连上，连接接AEAE、BEBE。给出下列五个关系式：。给出下列五个关系式：ADBCADBC；DE=CEDE=CE；1=21=2；3=43=4；AD+BC=ABAD+BC=AB。将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题。结论，构成一个命题。用序号写出一个真命题用序号写出一个真命题（书写格式如：如果（书写格式如：如果那么那么）并给出证明并给出证明用序号再写出三个真命题用序号再写出三个真命题（不要求证明）（不要求证明）4A321EBCD