合肥市政府为了方便学生，计划合肥市政府为了方便学生，计划在三个住宅小区在三个住宅小区A、B、C之间修建之间修建一所学校，试问，该学校应建于何一所学校，试问，该学校应建于何处，才能使得它到三个小区的距离处，才能使得它到三个小区的距离相等。相等。ABC实际问题实际问题1l lB BA A温故知新温故知新16.2 16.2 线段的垂直平分线（一）线段的垂直平分线（一）折纸法折纸法: :探究新知探究新知（一）（一）线段垂直平分线的作法线段垂直平分线的作法步骤一步骤一步骤二步骤二步骤三步骤三BA(B)B度量法度量法: :用刻度尺量出线段的中点，用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；用三角尺过中点画垂线；用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线已知：线段已知：线段AB求作：线段求作：线段AB的垂直平分线的垂直平分线作法：作法：1分别以点分别以点A和和B为圆心，以为圆心，以大于大于 AB的长为半径作弧，两弧相的长为半径作弧，两弧相交于点交于点E和和F 2过点过点E、F作直线作直线 直线直线EF就是就是线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线FEBA尺规法尺规法OABPA=PBQQA=QB.PEF0测量：在测量：在EFEF上任取一点上任取一点P P， 连结连结PAPA、PBPB；PAPA、PBPB的长，你能发现什么？的长，你能发现什么？探究新知探究新知（二）（二）动手操作动手操作已知：线段已知：线段ABAB求作：线段求作：线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线 EFEF，垂足为，垂足为O O测量测量：测量线段垂直平分线上任意一点到测量线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离线段两个端点的距离 猜想：猜想：线段垂直平分线上的点与线线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。段两端的距离相等。ABQPEF0定理定理符号语言：符号语言：AO=BO,EFAB,PAO=BO,EFAB,P是是EFEF上任意一点上任意一点 ( (已知已知) )PA=PBPA=PB ( (线段垂直平分线上的点与线段垂直平分线上的点与 线段两端距离相等线段两端距离相等).).证明：证明： EFAB POA= POB=90 在 PAO和 PBO中， AO=BO POA= POB PC=PC PAC PBC(SAS) PA=PBABPEF0已知：如图，直线已知：如图，直线EFEF是线段是线段ABAB的的 垂直平分线，垂足是垂直平分线，垂足是O O， P P是是EFEF上任意一点。上任意一点。求证：求证：定理：定理：线段垂直平分线上的点与线段两端的线段垂直平分线上的点与线段两端的 距离相等。距离相等。PA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直平分的垂直平分线上线上线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点和这条线段两的点和这条线段两个端点的距离相等个端点的距离相等逆命题：与线段两端距离相等的点，与线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。在这条线段的垂直平分线上。逆定理：逆定理：符号语言：符号语言：PA=PB(PA=PB(已知已知),),点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上( (到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点, ,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上) ) 证明：取线段证明：取线段ABAB中点中点O O，连，连POPO在在PAOPAO和和PBOPBO中中 PA=PBPA=PB AO=BO AO=BO PO=PO PO=PO POA PBO (SSS) POA PBO (SSS) POA POA POB = 90POB = 90。 PO ABPO AB 即即P P在线段在线段ABAB的垂直平分线上。的垂直平分线上。已知：已知：PA=PBPA=PB 求证：点求证：点P P在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上OPBA例：例： 已知已知:如图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂直平分线交于的垂直平分线交于P. 求证：点求证：点P在在BC的垂直平分线上。的垂直平分线上。BACPPA=PB=PCPB=PC点点P在线段在线段BC的垂直平分线上的垂直平分线上PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上分析：连接分析：连接PA PB PC证明：连接证明：连接PAPA、PBPB、PCPC点点P P在线段在线段AB ACAB AC的垂直平分线（已知）的垂直平分线（已知）PA=PB PA=PCPA=PB PA=PC（线段垂直平分线上的点（线段垂直平分线上的点 与线段两端的距离相等。与线段两端的距离相等。 ）PA=PB=PC. PA=PB=PC. （等量代换等量代换）点点P P在在BCBC的垂直平分线上的垂直平分线上 （与线段两端距离相等的点，与线段两端距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上）例题分析例题分析结论：结论：结论：结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，三角形三边垂直平分线交于一点，三角形三边垂直平分线交于一点，三角形三边垂直平分线交于一点， 这一点到三角形三个顶点的距离相等。这一点到三角形三个顶点的距离相等。这一点到三角形三个顶点的距离相等。这一点到三角形三个顶点的距离相等。 合肥市政府为了方便学生，计划合肥市政府为了方便学生，计划在三个住宅小区在三个住宅小区A、B、C之间修建之间修建一所学校，试问，该学校应建于何一所学校，试问，该学校应建于何处，才能使得它到三个小区的距离处，才能使得它到三个小区的距离相等。相等。ABC实际问题实际问题1ABC生活中的数学生活中的数学BAC实质：求作一点实质：求作一点P，使它和使它和ABC的三的三个顶点距离相等个顶点距离相等.实际问题实际问题数学化数学化pPA=PB=PC实际运用实际运用到三角形三个顶点的距离相等的到三角形三个顶点的距离相等的点是三边垂直平分线的交点；点是三边垂直平分线的交点；定理：线段垂直平分线上的点定理：线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。与线段两端的距离相等。逆定理：与线段两端距离相等逆定理：与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线的点在这条线段的垂直平分线上。上。 折纸法；度量法折纸法；度量法; ;回顾小结：回顾小结：1 1、“一点一点”2 2、“二定二定”3 3、“三作三作”尺规法尺规法课后作业课后作业1 1、数学日记：寻找两道与本节内容相、数学日记：寻找两道与本节内容相 符的实际问题，并进行分析；符的实际问题，并进行分析；2 2、P125P125： 练习练习 2 2、3 3 习题习题 2 2谢谢您！谢谢您！再见！再见！ABL实际问题实际问题2 2 在国道在国道L（合肥（合肥芜湖）芜湖）的同侧，的同侧，有两个工厂有两个工厂A、B，为了便于两厂的工，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？意见，问医院的院址应选在何处？ 国国 道道 高高 速速 公公 路路ABL实际问题实际问题2 2 在国道在国道L（合肥（合肥芜湖）芜湖）的同侧，的同侧，有两个工厂有两个工厂A、B，为了便于两厂的工，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？意见，问医院的院址应选在何处？实质：如图，在直线实质：如图，在直线L 上求作一点上求作一点P， 使使PA=PB.LABpPA=PB实际问题实际问题数学化数学化