推广推广第六章第六章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分学多元函数微分学 6-1 多元函数多元函数1.1.多元函数的概念多元函数的概念 引例引例: :一定质量的理想气体的压强p是其体积V及温度T的函数:在这里在这里c是三个自变量的函数，而是三个自变量的函数，而p是两个自变量的函数是两个自变量的函数. 多元函数几何解释：我们将两个自变量形成的数组，多元函数几何解释：我们将两个自变量形成的数组， 如上面的如上面的(T,V),看作是平面上的一个点，而将三个自变量看作是平面上的一个点，而将三个自变量 形成的数组，如上面的形成的数组，如上面的(a,b, ),看作是空间上的一个点看作是空间上的一个点.当当 一个二元函数的两个自变量在一定的允许范围内变化一个二元函数的两个自变量在一定的允许范围内变化 时，相应的数组则对应于平面上的某一个点集合时，相应的数组则对应于平面上的某一个点集合.在这种在这种 看法下，一个二元函数实质上就是平面上某个点集合到看法下，一个二元函数实质上就是平面上某个点集合到 实实 数域数域R 的一个映射（如图）的一个映射（如图）. 同样地，一个三元函数实同样地，一个三元函数实 质上就是三维空间中某个点集合到实数质上就是三维空间中某个点集合到实数 域域R 的一个映射的一个映射. 相等同相等同相等同相等同相等同相等同 设有一个集合设有一个集合 , 如果对于中每一点如果对于中每一点, 按照一定的规则按照一定的规则, 都有一个唯一确定的实都有一个唯一确定的实数数 与之相对应，则称是一个定义在上的与之相对应，则称是一个定义在上的n元元函数函数定义定义记作记作点集 D 称为函数f的定义域定义域 ; 全体函数值的集合：全体函数值的集合：称为函数f的值域值域 .自变量自变量，而把而把u称作称作因变量因变量.特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数例1, 二元函数定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.多元函数的定义域及图形多元函数的定义域及图形. 函数zln(xy)的定义域为 (x y)|xy0 函数zarcsin(x2y2)的定义域为 (x y)|x2y21 例2 补例补例 三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D的图形一般为空间曲面 .2. 中的集合到中的集合到 的映射的映射一般化就是一般化就是例例3 平面曲线的参数方程但是,与函数不同，对于每一个而应是例例4 平面上的坐标变换第第j个分量个分量.中的点到中的点到 的的距离距离定义为定义为它满足下列条件：它满足下列条件：当且仅当时等号成立；当且仅当时等号成立；在数轴在数轴 上上在平面在平面 中中在空间在空间 中中三角不等式三角不等式注3. 中距离、邻域及开集中距离、邻域及开集 回忆一维空间中点的邻域概念 利用利用 “点点” 将邻域概念推广到高维空间将邻域概念推广到高维空间().定义定义开圆盘开圆盘 设设 为给定的一点为给定的一点, 是给定是给定的正数的正数, 定义定义 点的点的 邻域邻域是集合是集合xy.o开球体开球体Oxyz.下面我们来定义开集及区域的概念下面我们来定义开集及区域的概念边界点内点外点设设 是一个给定的集合，点：是一个给定的集合，点：(1)若存在一个正数使得则称是的若存在一个正数使得则称是的内点内点(2)若存在一个正数使得若存在一个正数使得则称则称 是是 的的外点外点(3)既不是内点又不是外点的点既不是内点又不是外点的点称为的称为的边界点边界点点点 是的是的边界点边界点对于任意的正数对于任意的正数, 点点的邻域中既有中的点又有非中的点的邻域中既有中的点又有非中的点边界点不一定属于集合！边界点不一定属于集合！边界点不一定属于集合！边界点不一定属于集合！用用 表示集合表示集合E 的全体边界点的集合的全体边界点的集合.例例5 设集合R是平面 中的一个矩形的内部：例例5 设集合R是平面 中的一个矩形的内部：其中其中a0,b0是常数，则原点（是常数，则原点（0,0)是是R 的一个内点，点的一个内点，点（a,b)是边界点，是边界点， 点（点（2a,2b)是一外点是一外点. 更一般地说更一般地说,集合集合R内的每一点都是其内点内的每一点都是其内点,而它四条边上的每一点都是边而它四条边上的每一点都是边界点，而矩形之外界点，而矩形之外(不含边不含边)任意一点都是外点任意一点都是外点.例例 6 设设 是带边的矩形是带边的矩形其中其中a0,b0是常数是常数.显然，在显然，在 中中 与例与例5中中R有相同的内点、外点及边有相同的内点、外点及边界界点点. 区别于区别于R 的地方是的地方是 包含全部边界点包含全部边界点. 根据定义很容易看出，一个集合根据定义很容易看出，一个集合E 的全部内点都包含的全部内点都包含 于于E 的内部，而的内部，而 E 的全部外点都不含于的全部外点都不含于E 之中之中. 对于对于E 的的 一个边界点则有两种可能，或者包含于一个边界点则有两种可能，或者包含于E ，或者不包含，或者不包含 于于E .补例补例 设平面点集开集：开集：闭集：闭集：集合集合 的每一点都是内点的每一点都是内点是开集是开集集合包含着它的全部边界点集合包含着它的全部边界点中没有边界点中没有边界点 显然，平面上不带边的任意矩形内部，不带边的任意显然，平面上不带边的任意矩形内部，不带边的任意一个圆内部都是一个圆内部都是 中的开集中的开集.例例6中的中的 就是就是一个闭集一个闭集.在在 中这样的集合则既非开集，也非闭集中这样的集合则既非开集，也非闭集. 连通集连通集：如果点集E内任何两点，都可用折线连接 起来，且该折线上的点都属于E,则称E为连通集连通集. 区域（或开区域）：区域（或开区域）：连通的开集称为区域或开区域区域或开区域.开区域又例如，又例如，在 上例例5 设集合R是平面 中的一个矩形的内部：例例5 设集合R是平面 中的一个矩形的内部： 闭区域闭区域: 设是一个区域，表示的全部边界点组成的集合设是一个区域，表示的全部边界点组成的集合, 则则 是一个闭集是一个闭集, 记为记为, 并称之为并称之为闭区域闭区域.例例 6 设设 是带边的矩形是带边的矩形 集合R= 但非区域 .是开集，是否是区域？是否是区域？o闭区域又例如，又例如，在 上 对于集合对于集合 , 如果存在一个正数如果存在一个正数, 使得包含使得包含于以原点为心，以为半径的球内于以原点为心，以为半径的球内, 则称为则称为有界集合有界集合；如果不存在这样的正数，则称为如果不存在这样的正数，则称为无界集合无界集合及相应的闭区域都是无界的.点的邻域点的邻域 例平面点集例平面点集连通的连通的小结小结连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如，zaxbyc二元函数的图形 点集(x y z)|zf(x y) (x y)D称为二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 zaxbyc表示一张平面 例 方程x2y2z2a2确定两个二元函数分别表示上半球面和下半球面 其定义域均为D(x y)|x2y2a2有界集yxOErEO中的有界集中的有界集 2R有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域E无界集无界集习题习题6-1 1. (1) (3) (5) 2. 4.