因数与倍数因数与倍数1. 因数和倍数因数和倍数26 = 12 2 和和 6 是是12 的的因数因数。12 是是 2 的的倍数倍数，也是，也是 6 的的倍数倍数。34 = 123 和和 4 也是也是12 的的因数因数。12 是是 3 和和 4 的的倍数倍数。你还能找出你还能找出 12 的其他因数吗的其他因数吗? 注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数一般指的是整数我们所说的数一般指的是整数( (不包括不包括 0) )。18 = 11818 = 29 18 的因数有哪几个的因数有哪几个?18 的因数有的因数有 _，_，_，_，_，_。118 可以由哪两个可以由哪两个数相乘得到数相乘得到?你是怎样想的呢你是怎样想的呢?1236918也可以像下面这样表示也可以像下面这样表示:18 的因数的因数1，2，3，6，9，1830 的因数有哪些的因数有哪些? 36 呢呢?30 的因数有的因数有: 1、2、3、5、6、10、15、30。36 的因数有的因数有: 1、2、3、4、6、9、12、18、36。一个数的因数的个数是有限的。一个数的因数的个数是有限的。一个数的最小因数是一个数的最小因数是( ( ) )，最大的因数是最大的因数是( ( ) )。1它本身它本身2 的倍数的倍数你能找出多少个你能找出多少个 2 的倍数的倍数?2 的倍数有的倍数有 2，4，6，2，4，6，也可以像右面这样表示也可以像右面这样表示:221 = 2 22 = 423 = 6 1. 用箭头表示出用箭头表示出 3 的倍数。的倍数。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 202. 5 的倍数有哪些的倍数有哪些?5 的倍数有的倍数有: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 一个数的最小倍数是一个数的最小倍数是几？有最大倍数吗？几？有最大倍数吗？一个数的倍数的个数是无限的。一个数的倍数的个数是无限的。 6 的因数有的因数有 1，2，3，6，这几个因数的关系是，这几个因数的关系是: 1 + 2 + 3 = 6。像。像 6 这样的数，叫做这样的数，叫做完全数完全数( (也叫也叫完美数完美数) )。 28 也是完全数，而也是完全数，而 8 则不是，因为则不是，因为 1+2+4=7。完全数非常稀少，到完全数非常稀少，到 2004 年，人们在无穷无尽的年，人们在无穷无尽的自然数里，一共找到了自然数里，一共找到了 40 个完全数，其中较小的个完全数，其中较小的有有 6，28，496，8 128 等。等。完全数完全数 习题二习题二1. 15 的因数有哪些的因数有哪些? 15 是哪些数的倍数是哪些数的倍数?1 123456891012 15 16 18 20 24 30 36 6012. 把方框中的数填入相应的热气球里。把方框中的数填入相应的热气球里。36 的因数的因数60 的因数的因数1 123456891012 15 16 18 20 24 30 36 601 12346123. 找朋友。找朋友。8 的的倍倍数数8 的倍数的倍数: 24，48，72，40，1449 的倍数的倍数: 18，36，27，72，54，1449 的的倍倍数数261824364827307240541444. 写出各数的因数或倍数。写出各数的因数或倍数。因数因数倍数倍数( (写出写出 5 个个) )1041772810321248151, 2, 5, 104, 8, 12, 16, 201, 177, 14, 21, 28, 351, 2, 4, 7, 14, 2810, 20, 30, 40, 501, 2, 4, 8, 16, 3212, 24, 36, 48, 601, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 4815, 30, 45, 60, 75369 = 4，所以，所以 36 是倍数，是倍数，9 是因数。是因数。5. 谁说得对，在方框中画谁说得对，在方框中画 “ ”。12 的倍数只有的倍数只有24，36，48。5. 谁说得对，在方框中画谁说得对，在方框中画 “ ”。57 是是 3 的倍数。的倍数。1 是是 1，2，3， 的因数。的因数。6. 猜数游戏。猜数游戏。( (1) )它是它是 42 的因数，的因数，又是又是 7 的倍数。的倍数。可能是可能是 7，14，21，42。它还是它还是 2 和和 3 的倍数。的倍数。我知道了，我知道了，是是_。42( (2) )( (3) )181我的最大因我的最大因数和最小倍数和最小倍数都是数都是 18。我的最小我的最小倍数是倍数是 1。 14 是是 7 的倍数，的倍数，21 是是 7 的倍数。的倍数。14 和和 21 的和是的和是 7 的倍数吗的倍数吗? 18 是是 9 的倍数，的倍数，27 也是也是 9 的倍的倍数。数。18 和和 27 的和是的和是 9 的倍数吗的倍数吗? 你有什么发现你有什么发现?2. 2、5、3 的的 倍数的特征倍数的特征2 的倍数的特征的倍数的特征 座位号是多少的同学座位号是多少的同学应该从双号入口进应该从双号入口进?座位号为座位号为 2，4，6，8，10， 2 = 12 4 = 22 6 = 32 8 = 4210 = 52 个位上是个位上是 0，2，_ 的数都是的数都是 2 的倍数。的倍数。 自然数中，是自然数中，是 2 的倍数的数叫做的倍数的数叫做偶数偶数( (0 也是也是偶数偶数) )，不是，不是 2 的倍数的数叫做的倍数的数叫做奇数奇数。4，6，8这些数都是这些数都是 2 的倍数。你发现的倍数。你发现 2 的倍数有什么特征吗的倍数有什么特征吗?下列数中，哪些是奇数，哪些是偶数下列数中，哪些是奇数，哪些是偶数?339835598801233 6788 0891 0006555 656881奇数奇数: 33、355、123、8 089、655、881。偶数偶数: 98、988、0、3 678、1 000、5 656。5 的倍数的特征的倍数的特征 哪些数是哪些数是 5 的倍数的倍数?学号是学号是 5 的倍数的倍数的同学请举手。的同学请举手。 在下表中找出在下表中找出 5 的倍数，并涂上颜色。看看有的倍数，并涂上颜色。看看有什么规律。什么规律。123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100个位上是个位上是_或或_的数，是的数，是 5 的倍数。的倍数。052 的倍数的倍数5 的倍数的倍数既是既是 2 的倍数的倍数又是又是 5 的倍数的倍数 下面哪些数是下面哪些数是 2 的倍数的倍数? 哪些数是哪些数是 5 的倍数的倍数? 哪些数既是哪些数既是 2 的倍数也是的倍数也是 5 的倍数的倍数?2435679099156075106521 24, ,90, ,60, ,106, ,130, ,28013035, ,90, ,15, ,6075, ,130, ,28090, ,60, ,130, ,280280做完这道题，你有什么收获做完这道题，你有什么收获?个位上是个位上是 0 的数，既是的数，既是 2 的倍数，又是的倍数，又是 5 的倍数。的倍数。我们知道了我们知道了 2 和和 5 的倍数的特征，的倍数的特征，那么那么 3 的倍数有什么特征呢的倍数有什么特征呢?3 的倍数的特征的倍数的特征 31 = 3 32 = 633 = 9 34 = 1235 = 15 36 = 1837 = 21 先把先把 3 的倍的倍数找出来。数找出来。1 + 2 = 31 + 5 = 6 3 的倍数的个位的倍数的个位上的数是不是上的数是不是 3 的倍数呢的倍数呢?3，6，9 是是 3 的的倍倍数数，但但 12，15，18 个个位位上上的的数数就就不不是是 3 的倍数。的倍数。 12 个位上的数不是个位上的数不是 3 的倍数，的倍数，但但 1 + 2 = 3, , 3 是是3 的倍数。的倍数。 一个数各位上的数的和是一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就的倍数，这个数就是是 3 的倍数。的倍数。把把 3 的倍数的各位上的数相的倍数的各位上的数相加，看看你有什么发现。加，看看你有什么发现。1. 下列数中下列数中 3 的倍数有的倍数有 _。 14 35 45 100 332 876 74 882. 既是既是 2 和和 5 的倍数，又是的倍数，又是 3 的倍数的最小三位的倍数的最小三位 数是多少数是多少?45，8761201. 给给 2 的倍数涂上绿色。的倍数涂上绿色。19104366548153287783648781042. 说一说你身边哪些数是奇数，哪些数是偶数。说一说你身边哪些数是奇数，哪些数是偶数。我家的门牌号我家的门牌号 203 是奇数。是奇数。打开数学书，可以看到左边打开数学书，可以看到左边是偶数页，右边是奇数页。是偶数页，右边是奇数页。3. 你能又快又准的判断一个数是不是你能又快又准的判断一个数是不是 5 的倍数吗的倍数吗?321 是是 5 的的倍数吗倍数吗?个位上个位上5 988( ( ) )4. 下面哪些数是下面哪些数是 3 的倍数的倍数? 在下面的在下面的( )( )里画里画 “ ”。42( ( ) )78( ( ) )111( ( ) )165( ( ) )655( ( ) )49( ( ) )95( ( ) )311( ( ) )82( ( ) )2 222( ( ) )2 037( ( ) )5. 妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香。妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香。你能很快的帮妈妈判断你能很快的帮妈妈判断找回的钱对不对吗找回的钱对不对吗?找您找您 13 元。元。50 元。元。至少再来几至少再来几人才能正好人才能正好分完分完? 分成分成几组几组?6. ( (22 + 2) )3 = 8 ( (组组) )答答: 至少再来至少再来 2 人才能正好分完，可以分成人才能正好分完，可以分成 8 组。组。3 个人分成一组。个人分成一组。现在一共现在一共有有 22 人。人。7. 在在 里填一个数字，使每个数都是里填一个数字，使每个数都是 3 的倍数。的倍数。74 2446512 17: 里可以填里可以填 2，5，84 2: 里可以填里可以填 0，3，6，944: 里可以填里可以填 1，4，765 : 里可以填里可以填 1，4，712 1: 里可以填里可以填 2，5，8各有几种填法各有几种填法?8. 3 的倍数的偶数的倍数的偶数: 6、12、185 的倍数的奇数的倍数的奇数: 15、25、35那你能说出那你能说出 3 个是个是 5 的倍数的奇数吗的倍数的奇数吗?你能说出你能说出 3 个是个是 3 的倍数的偶数吗的倍数的偶数吗?9. 下面的判断对吗下面的判断对吗? 说说你的理由。说说你的理由。 ( (1) ) 个位上是个位上是 3、6、9 的数，都是的数，都是 3 的倍数。的倍数。 错。各位上的数的和是错。各位上的数的和是 3 的倍数，这个数才是的倍数，这个数才是 3 的倍数。的倍数。 ( (2) )个位上是个位上是 1、3、5、7、9 的数都是奇数。的数都是奇数。 对。对。 ( (3) )在全部自然数里，不是奇数就是偶数。在全部自然数里，不是奇数就是偶数。 对。对。10. 从下面四张数字卡片中取出三张从下面四张数字卡片中取出三张, ,按要求组成三位数。按要求组成三位数。4 43 30 05 5奇数奇数: 偶数偶数:4 43 30 05 52 的倍数的倍数: 5 的倍数的倍数: 3 的倍数的倍数: 既是既是 2 的倍数又是的倍数又是 3 的倍数的倍数:11. * 奇数与偶数的和是奇数还是偶数奇数与偶数的和是奇数还是偶数? 奇数与奇数奇数与奇数 的和是奇数还是偶数的和是奇数还是偶数? 偶数与偶数的和呢偶数与偶数的和呢?答答: 奇数；奇数；偶数；偶数；偶数。偶数。北京西站开出列车北京西站开出列车北京西站到达列车北京西站到达列车终点站终点站车车 次次始发站始发站车车 次次武昌武昌Z11武昌武昌Z12长沙长沙Z17长沙长沙Z18厦门厦门K307厦门厦门K308银川银川K177银川银川K178重庆重庆T9重庆重庆T10西安西安T231西安西安T232成都成都1363成都成都1364郑州郑州1487郑州郑州1488从北京西站开出从北京西站开出的车次都是奇数。的车次都是奇数。小街一边的门牌小街一边的门牌号是奇数，另一号是奇数，另一边是偶数。边是偶数。3. 质数和合数质数和合数 找出找出 120 各数的因数，看看它们的因数的个各数的因数，看看它们的因数的个数有什么规律。数有什么规律。1 只有因只有因数数 1。有的数的因数不止有的数的因数不止 两个，比如两个，比如 9 的因的因数是数是 1，3 和和 9。我们来给它们我们来给它们分分类吧分分类吧!有的数只有两个有的数只有两个 因数，如因数，如 5 的因的因数是数是 1 和和 5。只有只有1和它本身两个因数和它本身两个因数只有一个只有一个因数因数有两个以上的因数有两个以上的因数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，202，3，5，7，11，13，17，191 一个数，如果只有一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样和它本身两个因数，这样的数叫做的数叫做质数质数( (或或素数素数) )。如。如 2, , 3, , 5, , 7 都是质数。都是质数。 一个数，如果除了一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，和它本身还有别的因数，这样的数叫做这样的数叫做合数合数。如。如 4，6，15，49 都是合数。都是合数。1 不是质数，也不是合数。不是质数，也不是合数。判断下列各数中哪些是质数，哪些是合数。判断下列各数中哪些是质数，哪些是合数。17 22 29 35 37 87 93 96质数质数: 17，29，37合数合数: 22，35，87，93，96 找出找出 100 以内的质数，做一个质数表。以内的质数，做一个质数表。1123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100划到几的倍数就可以了划到几的倍数就可以了?先先把把 2 的的倍倍数数划划去去，但但 2 除除外外，划划掉掉的的这这些些数数都都不是质数。不是质数。 可以把每个数都验证一下，可以把每个数都验证一下，看哪些是质数。看哪些是质数。那那 3 的倍数也可以的倍数也可以分解质因数分解质因数还可以这么表示。还可以这么表示。2 3 03 1 5530 = 2352 153 5每个合数都可每个合数都可以由几个质数以由几个质数相乘得到。相乘得到。 4 = 2215 = 3530 = 235 1. 下面的说法正确吗下面的说法正确吗? 说说你的理由。说说你的理由。 ( (1) )所有的奇数都是质数。所有的奇数都是质数。 错。错。9、27 都是奇数，但它们是合数。都是奇数，但它们是合数。 ( (2) )所有的偶数都是合数。所有的偶数都是合数。 错。错。2 是偶数，但是偶数，但 2 是质数。是质数。( (3) )在在 1, ,2, ,3, ,4, ,5, , 中中, ,除了质数以外都是合数。除了质数以外都是合数。 错。错。1 既不是质数，也不是合数。既不是质数，也不是合数。( (4) )两个质数的和是偶数。两个质数的和是偶数。 错。如错。如 2 和和 5 都是质数，它们的和为都是质数，它们的和为 7，是奇数。，是奇数。2. 下面各数中哪些是质数，哪些是合数下面各数中哪些是质数，哪些是合数? 分别填入分别填入 指定的圈里。指定的圈里。质数27374158617383951114334757628799合数我们两个的我们两个的和是和是 10。3. 你知道它们各是多少吗你知道它们各是多少吗?我们两个的积是我们两个的积是 21。我们两个的我们两个的和是和是 20。我们两个的积是我们两个的积是 91。3 和和 713 和和 7我是最小我是最小的质数。的质数。2 4我是最小的合数。我是最小的合数。4. 2 个个 2 个的装能正好装完吗个的装能正好装完吗? 3 个个 3 个的装能个的装能正好装完吗正好装完吗? 56 个个2 个个 2 个的装能正好装完；个的装能正好装完； 3 个个 3 个的装不能正好装完；个的装不能正好装完；5 个个 5 个的装不能正好装完。个的装不能正好装完。因为因为 56 是是 2 的倍数，不是的倍数，不是 3 和和 5 的倍数。的倍数。5 个个 5 个的装呢个的装呢?5. 偶数偶数 10。3 + 7 = 10两人一组，一人给两人一组，一人给出大于出大于 2 的偶数，的偶数，另一人找出和为此另一人找出和为此数的两个质数。数的两个质数。 从上面的游戏我们看到：从上面的游戏我们看到：4 = 2 + 2，6 = 3 + 3，8 = 5 + 3，10 = 7 + 3，12 = 7 + 5，14 = 11 + 3 那么，是不是所有大于那么，是不是所有大于 2 的偶数，都可以表示为两的偶数，都可以表示为两个质数的和呢个质数的和呢?哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的，这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的，所以被称作所以被称作哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想。世界各国的数学家都想。世界各国的数学家都想攻克这一难题，但至今还未解决。我国数学家陈景攻克这一难题，但至今还未解决。我国数学家陈景润在这一领域取得了举世瞩目的成果。润在这一领域取得了举世瞩目的成果。 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想看似简单，要证明却非常困难，看似简单，要证明却非常困难，成为数学中一个著名的难题，被称为成为数学中一个著名的难题，被称为 “数学王冠上数学王冠上的明珠的明珠”。