勾股定理及其应用一创设复习情境同学们，请认真观察这四张图片中都有一种我们学过的几何图形，它是哪种图形？1.1.如图，如图，已知在已知在ABC 中，中，B =90，一直角边为一直角边为a，斜，斜边为边为b，则另一直角边，则另一直角边c满足满足c2=.【思考思考】为什么不是为什么不是 ？第一组练习:勾股定理的直接应用（一）知两边或一边一角型二.基础知识运用答案：因为B所对的边是斜边.答案：2.在RtABC中，C=90. .（1）如果a=3，b=4，则c=；（2）如果a=6，c=10，则b=；（3）如果c=13，b=12，则a=；585第一组练习:勾股定理的直接应用（一）知两边1.如图，已知在ABC中，B =90，若BC4，ABx，AC=8- -x，则AB=, ,AC=.2.在RtABC C 中中, ,B=90，b=34, ,a:c=8:15, ,则a=, , c=.3.（选做题）在RtABC中，C=90，若a=12, ,c- -b=8, ,求b,c.答案：答案：3. 3. b=5=5，c=13.=13.351630第一组练习:勾股定理的直接应用（二）知一边及另两边关系型1.对三角形边的分类.已知一个直角三角形的两条边长是3cm和4cm，求第三条边的长的平方注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，所以4cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论答案：25cm或7cm.第一组练习:勾股定理的直接应用（三）分类讨论的题型已知：在已知：在ABC中，中，AB15 15 cm，AC13 13 cm，高，高AD12 12 cm，求，求SABC答案：答案：第第1 1种情况：如图种情况：如图1 1，在，在RtADB和和RtADC中，分别由勾股中，分别由勾股定理，得定理，得BD9 9，CD5 5，所以，所以BCBD+ + CD9+59+51414故故SABC8484（cmcm2 2）第第2 2种情况，如图种情况，如图2 2，可得：，可得：SABC=24=24（ cm cm2 2 ） 2. 2. 对三角形高的分类对三角形高的分类. . Zxxk图图1图图2第一组练习:勾股定理的直接应用（三）分类讨论的题型【思考思考】本组题，利用勾股定理解决了本组题，利用勾股定理解决了哪些类型题目？注意事项是什么？哪些类型题目？注意事项是什么？ 利用勾股定理能求三角形的边长和高等利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段的长度线段的长度. .注意没有图形的题目，先画注意没有图形的题目，先画图，再考虑是否需分类讨论图，再考虑是否需分类讨论. .1.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）A一定不会B可能会C一定会D以上答案都不对A第二组练习:用勾股定理解决简单的实际问题答案：答案：是是证明：在证明：在RtACB中，中，BC=3=3，AB=5=5，AC=4=4DC=4-1=3=4-1=3在在RtECD中，中，DC=3=3，DE=5=5，CE=4=4BE= =CE- -CB=1=1即梯子底端也滑动了即梯子底端也滑动了1 1米米一架长一架长5 5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底距墙底3 3米米 如果梯子的顶端沿墙下滑如果梯子的顶端沿墙下滑1 1米，梯子的底米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动端在水平方向沿一条直线也将滑动1 1米吗？用所学知识，米吗？用所学知识，论证你的结论论证你的结论第二组练习:用勾股定理解决简单的实际问题AECBD思考：思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？本步骤是什么？Zxxk答案：答案：1.1.把实际问题转化成数学问题，找出相把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角形应的直角三角形.2.2.在直角三角形中找出直角边，斜边在直角三角形中找出直角边，斜边. .3.3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题根据已知和所求，利用勾股定理解决问题. .1证明线段相等.已知：如图，AD是ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12. .求证： ABC是等腰三角形.答案：答案：证明：证明：AD是是ABC的高，的高，ADB= ADC=90.在在RtADB中，中，AB=10，AD=8，BD=6 . BC=12, DC=6.在在RtADC中，中，AD=8，AC=10，AB=AC.即即ABC是等腰三角形是等腰三角形. 分析：分析：利用勾股定理求出线段利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段的长，也能求出线段AC的长，最后得出的长，最后得出AB=AC，即可，即可.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10, 求求BE的长的长.【思考思考1】由由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？你可以知道哪些线段长？请在图中标出来请在图中标出来.答案：答案：AD=10，DC=8 .第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10, 求求BE的长的长.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题【思考思考2】 在在RtDFC中，你可以求出中，你可以求出DF的长吗？请的长吗？请在图中标出来在图中标出来.答案：答案： DF=6 .2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10, 求求BE的长的长.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题答案：答案： AF=4 .【思考思考3】 由由DF的长，你还可以求出哪条线段长？的长，你还可以求出哪条线段长？请在图中标出来请在图中标出来.2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10, 求求BE的长的长.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题【思考思考4】 设设BE = x，你可以用含有，你可以用含有x的式子表示出的式子表示出哪些线段长？请在图中标出来哪些线段长？请在图中标出来.答案：答案：EF = x，AE = 8-x，CF = 10 .2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10, 求求BE的长的长. Zxxk第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题【思考思考5】 你在哪个直角三角形中，应用勾股定你在哪个直角三角形中，应用勾股定理建立方程？你建立的方程是理建立方程？你建立的方程是 .答案：答案：直角三角形直角三角形AEF, A=90, AE=8-x， .2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10, 求求BE的长的长.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题【思考思考6】 图中共有几个直角三角形？每一个直角图中共有几个直角三角形？每一个直角三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？答案：答案： 四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化，四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化，一个用来知二求一，最后一个建立方程一个用来知二求一，最后一个建立方程.2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10, 求求BE的长的长.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题【思考思考7】 请把你的解答过程写下来请把你的解答过程写下来.答案：答案： 设设BE=x，折叠，折叠，BCE FCE， BC=FC=10. 令令BE=FE=x，长方形，长方形ABCD， AB=DC=8 ，AD=BC=10，D=90， DF=6, AF=4，A=90, AE=8-x ， ，解得，解得 x = 5 . BE的长为的长为5.3.做高线，构造直角三角形. 第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题已知：如图，等边已知：如图，等边ABC的边长是的边长是6 cm.求求等边等边ABC的高的高; SABC.思考思考 ：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？ 解一般三角形的问题常常通过作高转化成解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三角形，利用勾股定理解决问题直角三角形，利用勾股定理解决问题.第四组第四组练习练习 ：应用勾股定理应用勾股定理解决最短路径解决最短路径问题问题圆柱中圆柱中的的最值问题最值问题例1 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)解：AC = 6 1 = 5 ，BC = 24 = 12， 由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169,AB=13(m) .21BAC正方体中正方体中的最值的最值问题问题例2、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）. （A）3 （B） 5 （C）2 （D）1AB分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.CABC21例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图 ),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.ABDCD1C1421 AC1 =42+32 =25 ;ABB1CA1C1412 AC1 =62+12 =37 ;AB1D1DA1C1412 AC1 =52+22 =29 . 长方体中的最值问题长方体中的最值问题1 1下列线段不能组成直角三角形的是（下列线段不能组成直角三角形的是（ ） A Aa=8=8，b=15=15，c=17 B=17 Ba=9=9，b=12=12，c=15=15 C Ca= = ，b= = ，c= D= Da：b：c=2=2：3 3：4 42.2.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB, ,CD, ,EF, ,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（）边的是（）CD,EF,GH AB,EF,GH AB,CD,GH AB,CD,EFCEBHDFAGDB第五组练习:勾股定理的逆定理的应用练习题练习题1.一个直角三角形的两条边长分别是一个直角三角形的两条边长分别是6 cm和和8 cm，那么，那么这个三角形的周长和面积分别是多少这个三角形的周长和面积分别是多少?2如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形种一些蔬如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形种一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便估算产量菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便估算产量.小小明找了一卷米尺，测得明找了一卷米尺，测得AB=4米，米，BC=3米，米，CD=13米，米，DA=12米，又已知米，又已知B=90.3.如图，如图，AB=AC=20,BC=32， DAC90，求，求BD的长的长. 答案：答案： 3636平方米平方米. .了了