指数函数及其性质(1) 高中数学必修 某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与分裂次数x的函数关系是什么？思考：问题一：问题一：一个细胞分裂次数第一次第二次第三次第四次第x次.细胞总数 y.表达式x问题二：问题二： 将一纸条第一次截去它的一半,第二次截去剩余局部的一半，第三次截去第二次剩余局部的一半，依次截下去,问截的次数与剩下的纸条之间的关系. 次数次数 长度长度 1次次 2次次 我们可以看到每截一次后纸的长度都减为前一次的二分之一，我们可以看到每截一次后纸的长度都减为前一次的二分之一， 3次次 4次次 该纸条截该纸条截x x次后，得到的长度次后，得到的长度y y与与x x的函数关系式是的函数关系式是 自变量自变量x x作为指数作为指数, ,底数底数 是一个大于是一个大于0 0且小于且小于1 1的常量。的常量。x次次 设问1：答：不一样不一样。前一个函数的自变量在指数指数位置上，而底数为常数底数为常数；后三个函数的自变量在底数底数位置上，指数为指数为常数。常数。像y=2x ， 这样的函数与我们学过的y=x，y=x2，y=x-1这样的函数一样吗？有什么区别?指数函数的定义指数函数的定义: 一般地，函数一般地，函数 叫做指数函数，其中叫做指数函数，其中 x 是自变量是自变量, 函数的函数的定义域是定义域是 R。判断一个函数是否为指数函数的依据判断一个函数是否为指数函数的依据: 是否是形如是否是形如 的的函数函数,其中系数为其中系数为1,底数满足底数满足 ,指数位置上是自变量指数位置上是自变量x。一、指数函数的定义：一、指数函数的定义： 回顾上一节的内容，我们发现指数 中p可以是有理数也可以是无理数，所以指数函数的定义域是R。 当当a a 0 0时，时，a ax x有些会没有意义，如有些会没有意义，如(-2) ,0 (-2) ,0 等都没有意义；等都没有意义； 01a而当而当a a=1=1时，函数值时，函数值y y恒等于恒等于1 1，没有研究的必要，没有研究的必要. .思考思考: :为何规定为何规定a 0 0，且，且a 1?1?关于指数函数的定义域：关于指数函数的定义域： 回顾上一节的内容，我们发现指数 中p可以是有理数也可以是无理数，所以指数函数的定义域是R。识记与理解识记与理解 练习：练习：口答判断以下函数是不是指口答判断以下函数是不是指 数函数，为什么？数函数，为什么？例1 指数函数的图象经过点(2, 4)，求f(0), f(1), f(-3)。 解解: 因为 的图象经过点(2, 4),所以f(2)=4,即 ,解得 a=2 ,于是 f(x)= 所以, f(0)=1, f(1)=2, f(-3)=1/8 .二.指数函数的图象与性质 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质函数的性质 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大小值、奇偶性最大小值、奇偶性 设问2：得到函数的图象一般用什 么方法？列表、描点、连线作图列表、描点、连线作图在同一坐标系中分别作出如下函数的图像:列表如下：列表如下： x-3-2-1-0.500.51230.130.250.50.7111.42488421.410.710.50.250.13 x-3-2-1-0.500.51230.130.250.50.7111.42488421.410.710.50.250.13在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：练习：列表如下： x-2.5-2-1-0.500.5122.5 0.060.10.30.611.73915.615.6931.710.60.30.10.06 x -2.5-2-1-0.500.5122.5 0.060.10.30.611.73915.6 15.6931.710.60.30.10.06( ) 通过作图，我们发现y=ax的图象大致分两种类型，即0a1和a1，图象如下：xy(0,1)y = 1y = a x (a 1)0xyy = 1 y =a x (0a 1)(0,1)0思考思考: :一般地，指数函数的图象可分为几类？其大致形状一般地，指数函数的图象可分为几类？其大致形状如何如何? ?01 2 3-1-2-312y=2x的图象的图象 函数函数y=2y=2x x的图象和函数的图象和函数有什么关系？可否利用有什么关系？可否利用y=2y=2x x的图象画出的图象画出的图象？的图象？两个函数图象关于两个函数图象关于y y轴对称轴对称课堂小结课堂小结1正确理解指数函数的定义；正确理解指数函数的定义；2能利用指数函数的性质解决能利用指数函数的性质解决有关问题。有关问题。Oxy(0，1) y =1 y = ax( a 1)Oxy(0，1) y =1 y = ax(0 a 1)关键：利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数图像时可以联想它的性质。