一、微分的定义(Definition of Differential )二、微分的几何意义(The Geometric Meaning of Differential) 四、微分在近似计算中的应用Application of Differential in Approximation 第四节 微分及其计算Differential of a Function and the Rules for Differentiation 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 The Differential Formulas of the Basic Elementary Funtiond and the Rules for Differentiation 返回返回一、微分的定义一、微分的定义(Definition of Differential )问题的提出问题的提出一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由由 变到变到 （如图），问此薄片的面积（如图），问此薄片的面积改变了多少？改变了多少？一般地一般地,如果函数如果函数y=f(x)满足一定条件满足一定条件,则函数的增量则函数的增量 可表可表示为示为其中其中A是不依赖于是不依赖于 的常数的常数,因此因此 是是 的线性函数的线性函数,且它与且它与 之差之差是比是比 高阶的无穷小高阶的无穷小,所以所以,当当 ,且且 很小时很小时,我们就可我们就可以近似地用以近似地用 来代替来代替定义定义 设函数设函数y=f(x)在某区间内有定义，在某区间内有定义， 及及 在在这区间内，如果函数的增量这区间内，如果函数的增量可表示为可表示为其中其中A是不依赖于是不依赖于 的常数，而的常数，而 是比是比 高阶的无穷小，那么称高阶的无穷小，那么称y=f(x)在点在点 是可微的，是可微的，而而 叫做函数叫做函数y=f(x)在点在点 相应于自变量增相应于自变量增量量 的微分，记作的微分，记作dy，即，即 Definition Let y=f(x) be a function defined on some interval I, I, I ,if the increment of the dependent variable y=f( )f( ) can be expressed as y=Ax,where A is a constant which is independent of x ,then we say that f(x) is differentiable at ,and Ax is called the differential of y=f(x) at corresponding to the increment Ax of the independent varable,denoted by dy,i.e.dy= Ax .由定义知由定义知: :定理定理：y=f(x)在在 可微的充分必要条件是可微的充分必要条件是f(x)在在 处处 可导，且当可导，且当f(x)在点在点 可微时，其微分一定是可微时，其微分一定是(1) (1) 必要性必要性证明证明Theorem: A function is derivable at x0 if and only if it is differentiable at x0.(2) (2) 充分性充分性例例1解解例例2解解返回返回MNT） P 几何意义几何意义:(:(如图如图) )二、微分的几何意义二、微分的几何意义The Geometric Meaning of Differential 返回返回三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则The Differential Formulas of the Basic Elementary Funtiond and the Rules for Differentiation 函数的微分的表达式函数的微分的表达式求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, ,乘以自变量的微分乘以自变量的微分. .The Differential Formulas of the Basic Elementary Functions 2. 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则(The Differential Rules of the Sum,Difference,Product,Quotient of Functions) 3.复合函数的微分法则复合函数的微分法则4.The Differential Rules of Composite function与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下可推导如下:设设 及及 都可导都可导, 则复合函数则复合函数 的的微分为微分为上式说明无论是上式说明无论是u自变量还是中间变量其微分形式不变自变量还是中间变量其微分形式不变, 这一这一性质称为性质称为微分形式不变性微分形式不变性.例例3 3解解例例4解解例例5解解 应用积的微分法则应用积的微分法则,得得例例6 6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数, , 使等式成立使等式成立. .解解 (1)我们知道我们知道可见可见即即一般地一般地,有有(C为任意常数为任意常数)(2)即即(C为任意常数为任意常数)返回返回四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用Application of Differential in Approximation 1 函数的近似计算函数的近似计算这个式子也可以写为这个式子也可以写为或或(4)(5)(6)解解例例8下面我们来推导一些常用的近似公式下面我们来推导一些常用的近似公式(7)应用应用(7)式可以推得一下几个在工程上常用的式可以推得一下几个在工程上常用的近似公式近似公式 :证明证明:其它几个近似公式可用类似方法证明其它几个近似公式可用类似方法证明,这里从略了这里从略了例例9 解解这里这里x=0.05,其值较小其值较小,利用近似公式利用近似公式,便得便得:如果直接开方如果直接开方,可得可得将两个结果比较一下将两个结果比较一下,可以看出作为可以看出作为 的的近似值近似值,其误差不超过其误差不超过0.001,这样的误差在一般应用上这样的误差在一般应用上已经够精确了已经够精确了.