第四章 线性定常系统的能控性与能观测性4.1 能控性和能观测性的概念1960年卡尔曼最先提出能控性和能观测性的概念。年卡尔曼最先提出能控性和能观测性的概念。对于一个控制系统，特别是多变量控制系统，必须对于一个控制系统，特别是多变量控制系统，必须要回答的两个问题是：要回答的两个问题是：（1）能控性：在有限的时间内，控制作用能否使得在有限的时间内，控制作用能否使得系统从初始状态转移到要求的状态？系统从初始状态转移到要求的状态？（2）能观测性：在有限的时间内，能否通过对系统在有限的时间内，能否通过对系统的输出的测定来评估系统的初始状态？的输出的测定来评估系统的初始状态？例：不可控的系统取：根据电路原理，必有：？ 说明：此例中，无论如何调节u，都不能使得x1,x2的变化轨线脱离红线。 也就是说：无论如何控制输入，输出不能按照需要进行变化，这说明系统的两个状态变量不是完全能控的。+-例：不可观测的系统取取 作为整个系统的输出。作为整个系统的输出。取则：说明：当电桥平衡时， 作为系统的一个状态，是不能由输出变量 来确定的，所以系统是不能观测的。为什么要研究这两个问题？（1）在设计最优控制系统的时候，目的在于通过控制输入变量，使得系统的状态按照预期的轨迹变化。若状态变量不受控制，最优控制当然就无法实现了。（2）一个系统的状态变量往往难以直接测量，所以往往根据输出信号来估计状态，不能观测的系统当然无法实现这个目的。4.2 线性定常系统的能控性4.2.1 能控性定义 定义：若存在控制向量 ，能在有限时间 内，将系统的状态 从初始状态 转移到任意终端状态 ，则称此状态是可控的。 若系统任意 时刻的状态变量 都是能控的，则称此系统是完全能控的。简称能控的。（n维）4.2 线性定常系统的能控性4.2.2 能控性定义的图解（可出现在任意位置上）说明：若说明：若 可以是可以是任意的（即出现在任何任意的（即出现在任何位置上），则系统就是位置上），则系统就是完全能控的，简称能控完全能控的，简称能控的。的。此状态是可控的此状态是不可控的4.2 线性定常系统的能控性4.2.3 能控性的判据 构建能控性矩阵则系统能控的充分条件是：（n行）4.2 线性定常系统的能控性例1：考察如下系统的能控性解：系统的能控性矩阵为所以系统是能控的。4.2 线性定常系统的能控性例2：考察如下系统的能控性解：系统的能控性矩阵为所以系统是不可控的。4.3 线性定常系统的能观测性4.3.1 能观测性的定义 定义：在任意给定的输入在任意给定的输入 下，能够根据输出量下，能够根据输出量 在在 内的测量值，唯一的确定系统在内的测量值，唯一的确定系统在 时时刻的初始状态刻的初始状态 ，就称系统，就称系统在在 时刻时刻是能观测是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是完全能观测的，简称能观测的。完全能观测的，简称能观测的。（n维）4.3 线性定常系统的能观测性4.3.2 能观测性的判据对上述系统而言，构建能观测性矩阵对上述系统而言，构建能观测性矩阵系统能观测的充要条件是：系统能观测的充要条件是：（n维）n列4.3 线性定常系统的能观测性例：分析如下系统的可观测性解：计算能观测性矩阵如下：所以系统是不可观测的。4.4 能控性&能观测性与传递函数的关系4.4.1 状态空间模型传递函数 系统的状态空间模型为：系统的状态空间模型为：对上式取拉普拉斯变换，有对上式取拉普拉斯变换，有4.4 能控性&能观测性与传递函数的关系4.4.1 状态空间模型传递函数 系统的传递函数的表达式为：系统的传递函数的表达式为：若若D=0D=0，则传递函数的表达式为：，则传递函数的表达式为：4.4 能控性&能观测性与传递函数的关系4.4.1 状态空间模型传递函数 为方便后面分析，还定义两个传递函数：为方便后面分析，还定义两个传递函数：（1 1）状态）状态- -输入传递函数输入传递函数4.4 能控性&能观测性与传递函数的关系4.4.1 状态空间模型传递函数 为方便后面分析，还定义两个传递函数：为方便后面分析，还定义两个传递函数：（2 2）输出）输出- -状态传递函数状态传递函数4.4 能控性&能观测性与传递函数的关系4.4.2 能控性和状态-输入传递函数的关系 可以证明：对于线性定常单输入可以证明：对于线性定常单输入- -单输出系统而单输出系统而言，状态完全能控的充要条件是：系统的状态言，状态完全能控的充要条件是：系统的状态- -输入输入传递函数传递函数无零极相消的现象。无零极相消的现象。4.4 能控性&能观测性与传递函数的关系4.4.3 能观测性和输出-状态传递函数的关系 可以证明：对于线性定常单输入可以证明：对于线性定常单输入- -单输出系统而单输出系统而言，状态完全能观测的充要条件是：系统的输出言，状态完全能观测的充要条件是：系统的输出- -状状态传递函数态传递函数无零极相消的现象。无零极相消的现象。4.4 能控性&能观测性与传递函数的关系4.4.4 能控性&能观测性与传递函数的关系 可以证明：对于线性定常单输入可以证明：对于线性定常单输入- -单输出系统而单输出系统而言，状态完全能控能观测的充要条件是：系统的输言，状态完全能控能观测的充要条件是：系统的输出出- -输入传递函数输入传递函数无零极相消的现象。无零极相消的现象。4.5 能控规范型和能观测规范型研究的内容 通过线性变换，使得系统的状态空间模型通过线性变换，使得系统的状态空间模型变成变成能控规范型能控规范型或或能观测规范型能观测规范型。研究的意义 构建统一的模型，以利于对系统进行研构建统一的模型，以利于对系统进行研究和分析。究和分析。4.5 能控规范型和能观测规范型4.5.1 单输入-单输出系统的能控规范型 对于系统对于系统若系统是能控的，则其能控性矩阵若系统是能控的，则其能控性矩阵是非奇异的，即是非奇异的，即 是可逆的。是可逆的。 此时，可此时，可构建矩阵构建矩阵 和一组新的状态变量和一组新的状态变量 ，将系统的状态方程变为将系统的状态方程变为能控规范型能控规范型：（或（或 ）4.5 能控规范型和能观测规范型4.5.1 单输入-单输出系统的能控规范型 其中：4.5 能控规范型和能观测规范型4.5.1 单输入-单输出系统的能控规范型 矩阵 按照如下方法构造：其中：能控规范型和原状态方程之间的关系如下：能控规范型和原状态方程之间的关系如下：4.5 能控规范型和能观测规范型4.5.2 单输入-单输出系统的能观测规范型 对于系统对于系统若系统是能观测的，则其能观测性矩阵若系统是能观测的，则其能观测性矩阵是非奇异的，即是非奇异的，即 是可逆的。是可逆的。 4.5 能控规范型和能观测规范型4.5.2 单输入-单输出系统的能观测规范型 此时，可此时，可构造一个矩阵构造一个矩阵 和一组新的状态变量和一组新的状态变量 ， （或者（或者 ） 将系统的状态方程变换为将系统的状态方程变换为能观测标准型能观测标准型。 其中：其中：4.5 能控规范型和能观测规范型4.5.2 单输入-单输出系统的能观测规范型 4.5 能控规范型和能观测规范型4.5.2 单输入-单输出系统的能观测规范型 矩阵矩阵T T的构造方法如下：的构造方法如下：其中，其中，能观测规范型和原系统的状态方程的关系如下：能观测规范型和原系统的状态方程的关系如下：4.5 能控规范型和能观测规范型4.5.3 传递函数与规范型的关系 设系统设系统具有能控性具有能控性，且传递函数为，且传递函数为则其则其能控规范型能控规范型为：为：其中：其中：4.5 能控规范型和能观测规范型4.5.3 传递函数与规范型的关系 4.5 能控规范型和能观测规范型4.5.3 传递函数与规范型的关系 设系统设系统具有能观测性具有能观测性，且传递函数为，且传递函数为则其则其能观测规范型能观测规范型为：为：其中：其中：4.5 能控规范型和能观测规范型4.5.3 传递函数与规范型的关系 4.6 线性定常系统的结构分解4.6.1 能控性分解 若系统若系统不是完全能控的，即不是完全能控的，即则存在非奇异矩阵则存在非奇异矩阵 ，选择，选择 可以使得新的状可以使得新的状态方程态方程具有如下的特点：具有如下的特点：4.6 线性定常系统的结构分解4.6.1 能控性分解 4.6 线性定常系统的结构分解4.6.1 能控性分解 可控子系统：不可控子系统：4.6 线性定常系统的结构分解4.6.1 能控性分解变化矩阵变化矩阵 的选择方法：的选择方法：（1 1）在）在 中选择中选择 个线性无关的列向量作为个线性无关的列向量作为 的前的前 列。列。（2 2） 的后的后 列可以任意选择，只要保证列可以任意选择，只要保证 是非奇异的即可。是非奇异的即可。4.6 线性定常系统的结构分解4.6.2 能观测性分解 若系统若系统不是完全能观测的，即不是完全能观测的，即则存在非奇异矩阵则存在非奇异矩阵 ，选择，选择 可以使得新的状可以使得新的状态方程态方程具有如下的特点：具有如下的特点：4.6 线性定常系统的结构分解4.6.2 能观测性分解 4.6 线性定常系统的结构分解4.6.2 能观测性分解 可观测子系统：不可观测子系统：4.6 线性定常系统的结构分解4.6.2 能观测性分解 变换矩阵变换矩阵 的构造方法：的构造方法：（1 1）在）在 中选择中选择 个线性无关的行向量作为个线性无关的行向量作为 的前的前 个行向量。个行向量。（2 2） 的后的后 个行向量可以任意选择，但要个行向量可以任意选择，但要保证保证 是非奇异的。是非奇异的。