二二. .圆的内接四边形的圆的内接四边形的性质与判定定理性质与判定定理第二讲 直线和圆的位置关系二中西校区二中西校区 张福光张福光1.圆内接多边形圆内接多边形 若一个多边形各顶点都在同一个圆上若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，那么，这个多边形叫做这个多边形叫做圆内接多边形圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的这个圆叫做这个多边形的外接圆外接圆。OBCDEFAOACDEB什么叫圆内接多边形？什么叫圆内接多边形？回答下列问题：回答下列问题： 1.任意三角形都有外接圆吗？任意三角形都有外接圆吗？. 2.任意正方形有外接圆吗？任意正方形有外接圆吗？3.任意矩形是否有外接圆？任意矩形是否有外接圆？4. 任意四边形都有外接圆吗？任意四边形都有外接圆吗？探究：探究：观察上组图形，你能从中发现圆内接四边形的共同观察上组图形，你能从中发现圆内接四边形的共同特征吗？特征吗？ABDCO.O.O.o.o.ADBCADBCADBC圆圆内接四边形的内接四边形的对角互补对角互补. .下面我们来证明上述结论下面我们来证明上述结论. .问题2：圆内接四边形有什么性质？圆内接四边形有什么性质？OOC CA AB BD D如如图图，已知四边形，已知四边形ABCDABCD为圆内接四边形；为圆内接四边形；OO为四边形为四边形ABCDABCD外接圆外接圆. .求证：求证： A AC C180180， B BD D180180. 分析：分析：从考察四个角的关系出发，我们从考察四个角的关系出发，我们发现圆内接四边形的角都是圆周发现圆内接四边形的角都是圆周角，因此我们可以借助圆周角定角，因此我们可以借助圆周角定理理. .COODBA同理同理B BD D180.180.圆内接四边形性质定理：定理1.圆的内接四边形的对角互补.证明：如图连接证明：如图连接OBOB、ODOD，则则如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD为圆内接四边形；为圆内接四边形； O为四边形为四边形ABCD外接圆外接圆.求证：求证： AC180,BD180. 引申：如果引申：如果延长延长BCBC到到E E，那么，那么DCEDCEBCD BCD 180.所以所以A ADCE.DCE.又又 A A BCDBCD 180180； 因为因为A A是与是与DCEDCE相邻相邻的内角的内角DCBDCB的对角，我们的对角，我们把把A A叫做叫做DCEDCE的内对角。的内对角。定理定理2 2：圆：圆内接四边形的一内接四边形的一个外角个外角等等于它的内对角。于它的内对角。C COOD DB BA AE圆内接四边形性质定理：C COOD DB BA AE12345678圆的内接四边形圆的内接四边形的性质定理的性质定理: : 圆圆的内接四边形的对角互补，的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它并且任何一个外角都等于它的内角的内角的对角的对角。看右图归纳：看右图归纳：练习：练习：1 1、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD为为O O 的内的内接四边形，已知接四边形，已知BODBOD100100，求求BADBAD及及BCDBCD的度数。的度数。A AOOD DB BC CBAD BAD 50;BCD BCD 130.130.例例 1. 1. 如图如图OO1 1与与OO2 2都经过都经过A A、B B两点，经两点，经过点过点A A的直线的直线CDCD与与OO1 1 交于点交于点C C，与，与OO2 2 交于点交于点D D。经过点。经过点B B的直线的直线EFEF与与OO1 1 交于点交于点E E，与，与OO2 2 交于点交于点F F。求证。求证：CEDFCEDF1 12 2OOOOF FA AB BE EC CD D分析：分析： 连结连结ABABABECABEC是是OO1 1的的内接四边形内接四边形ABFDABFD是是OO2 2的的内接四边形内接四边形E ECABAB180,180,CABABF FE EF F180180CEDFCEDF证明：连结证明：连结ABABABEABEC是是OO1 1的内接四边形，的内接四边形，1 1F FADFBADFB是是OO2 2的内接四边形，的内接四边形，E E1 1180180E EF F180180CEDFEDF1 12 2OOOOF FA AB BE ECD D1例例 1. 如图如图 O1与与 O2都经过都经过A、B两点，经过点两点，经过点A的直线的直线CD与与 O1 交于点交于点C，与，与 O2 交于点交于点D。经过点经过点B的直线的直线EF与与 O1 交于点交于点E，与，与 O2 交交于点于点F。求证：。求证：CEDF.小结：小结：圆的内接四边形的性质定理圆的内接四边形的性质定理: : 圆圆的内接四边形的对角互补，的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它并且任何一个外角都等于它的内角的内角的对角的对角。问题问题2 2：如何判定一个四边形有外接圆？：如何判定一个四边形有外接圆？2.如果逆命题成立，我们可以得到四边形存在外接圆的判定定理.1.圆内接四边形的性质定理1的逆命题是什么吗？ 逆命题：逆命题：如果一个四边形的对角互补，那么如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。这个四边形的四个顶点共圆。如何证明逆命题：如何证明逆命题： 如果一个四边形的对角互如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。补，那么这个四边形的四个顶点共圆。性质定理：圆的内接四边形的对角互补.C COOD DB BA A如果能够由条件得到如果能够由条件得到 O过点过点D，那么就证明了命题那么就证明了命题.分析：不在同一直线上的三点确定一个圆。分析：不在同一直线上的三点确定一个圆。经过经过A、B、C、三点作、三点作 O，讨论：讨论： O与点与点D有几种位置关系？有几种位置关系？三种：三种： （1）点）点D在圆在圆 O外；外；（2）点）点D在圆在圆 O内；内；（3）点）点D在圆在圆 O上上.如果我们否定了点如果我们否定了点D在圆在圆 O外和点外和点D在圆在圆 O内；则内；则点点D在圆在圆 O上成立；上成立；如何否定了点如何否定了点D在圆在圆 O外和点外和点D在圆在圆 O内？内？采用反证法把点采用反证法把点D在圆在圆 O外和点外和点D在圆在圆 O内情况一一否定。内情况一一否定。已知：在四边形已知：在四边形ABCD中，中，B+D=180，求证：，求证：A,B,C,D四点在同一个圆周上（简称四点共圆）四点在同一个圆周上（简称四点共圆）.C COOD DB BA A反证法证明：（反证法证明：（1）假设点）假设点D在圆在圆 O外；外；E E设设E是是AD与圆周的交点，连接与圆周的交点，连接EC，则有则有AECAECB B180.180.由题设由题设B BD D180.180.可得可得D=D=AEC.AEC.这与这与“三角形的外角大于任三角形的外角大于任意不相邻的内角意不相邻的内角”矛盾矛盾. .故故D D点不可能在圆外点不可能在圆外. .反证法证明：（反证法证明：（2）假设点）假设点D在圆在圆 O内；内；C COOD DB BA AE E显然显然AD的延长线必与圆相交，的延长线必与圆相交，设交点为设交点为E，连接，连接CE，则有则有B BE E 180.180.B BD D180.180.E=E=ADC.ADC.这与这与“三角形的外角大于任三角形的外角大于任意不相邻的内角意不相邻的内角”矛盾矛盾. .D D点不可能在圆内点不可能在圆内. .综上所述，点综上所述，点D D只能在圆周上，只能在圆周上，即即A A、B B、C C、D D四点共圆四点共圆. .定理：定理： 如果一个四边形如果一个四边形的对角的对角互补，那互补，那么这个么这个四边形的四个顶点共圆四边形的四个顶点共圆。圆内接四边形的圆内接四边形的判定定理：判定定理：回顾：回顾： 在圆内接四边形判定定理的证明中，我们用分类思想对在圆内接四边形判定定理的证明中，我们用分类思想对点点D D与与A A、B B、C C三点确定的圆的位置关系进行了讨论，在三点确定的圆的位置关系进行了讨论，在每一种情形中都运用了反证法进行了证明每一种情形中都运用了反证法进行了证明. .穷举法：穷举法： 当问题的结论存在多种情形时，通当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种情形分别论证，最后获证结论的过对每一种情形分别论证，最后获证结论的方法，称为穷举法方法，称为穷举法. .这种证明问题的方法叫穷举法这种证明问题的方法叫穷举法.圆内接四边形的圆内接四边形的判定定理的推论：判定定理的推论：推论：推论： 如果四边形的一个外角等于它的内角如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么的对角，那么这个这个四边形的四个顶点共圆四边形的四个顶点共圆。C COOD DB BA AE E (如何证明？如何证明？)证明：证明：BCDBCDDCEDCE180180，又又A=A=DCEDCE， BCDBCDA A180180，A、B、 C、D四点共圆四点共圆.圆内接四边形的圆内接四边形的判定定理：判定定理：定理：定理： 如果一个四边形如果一个四边形的对角的对角互补互补，或一个，或一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆的四个顶点共圆. .例例2.如图，如图，CF是是ABC的的AB边上的高，边上的高，FPBC， FQAC.求证：求证：A、B、P、Q四点共圆四点共圆.CABQPF分析：只需说明分析：只需说明A、B、P、Q四点确定的四四点确定的四边形的对角互补或外角等于内对角，因此边形的对角互补或外角等于内对角，因此需连接需连接QP.证明：连接证明：连接QP.在四边形在四边形QFPC中，中， FPBC ， FQAC，FQA=FPC， Q、F、P、C四点共圆四点共圆.QFC=QPC，又又CFAB ，QFC与与QFA互余互余.而而A与与QFA也互余也互余.A=QFC，A=QPC，A、B、P、Q四点共圆四点共圆.小结：小结：圆内接四边形圆内接四边形的性质与判定定理的性质与判定定理.1.1.性质定理性质定理：2.2.判定定理判定定理：课后作业：课本课后作业：课本P30习题习题2.2：1，2，3. 圆圆的内接四边形的对角互补，并且任何的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它一个外角都等于它的内角的对角的内角的对角。 如果一个四边形如果一个四边形的对角的对角互补互补，或一个外，或一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆四个顶点共圆. .二圆内接四边形的二圆内接四边形的性质和判定定理补充习题性质和判定定理补充习题补充补充2.如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，M为为AB上一点，上一点， N为为BC上一点，且上一点，且BM=BN，BPMC于点于点P，求证：（求证：（1）BPNCPD；（；（2）DPNP.A AB BP PN NM MD DC C分析（分析（1）：欲证）：欲证BPNCPD；而而DCP= BMC = CBP（为什么？）（为什么？）又又Rt MPB Rt BPC； 又又BM=BN，BC=DC； 故故BPNCPD成立；成立；分析（分析（2）：欲证）：欲证DP NP.需证需证DPN= DPC+ NPC=90;由（由（1）知）知DPC= BPN;而而BPN+ NPC=90;则则DPN= DPC+ NPC=90成立成立;即即DP NP成立成立. 圆内接四边形性质定理圆内接四边形性质定理 圆内接四边形圆内接四边形对角互补对角互补 如果一个多边形的所有顶点都在一个圆如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上，这个多边形就叫做上，这个多边形就叫做圆内接多边形圆内接多边形，这个，这个圆就是多边形的圆就是多边形的外接圆外接圆D DB BA AC CO O 圆内接四边形判定定理圆内接四边形判定定理 对角互补的四对角互补的四边形内接于圆边形内接于圆 如果如果 个点在同一个圆个点在同一个圆上，也称这上，也称这 个点个点共圆共圆 一个四边形内接于圆也称这个四边形的一个四边形内接于圆也称这个四边形的顶点顶点四点共圆四点共圆D DB BA AC CO O 定理定理 若两点在一条线段同侧且对该线若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆D DB BA AC C 特别的，对定线段张角为直角的点共圆特别的，对定线段张角为直角的点共圆 例例1 1、如图，、如图，O O1 1与与O O2 2交于点交于点M M、N N，直，直线线ABAB过过M M与与O O1 1与与O O2 2 分别交于点分别交于点A A、B B，直，直线线CDCD过过N N与与O O1 1与与O O2 2 分别交于点分别交于点C C、D D，求，求证：证：AC/BDAC/BDD DB BO O1 1A AC CM MN NO O2 2 例例2 2、如图，、如图，D D为为ABCABC的边的边BCBC上一点，上一点，O O1 1经过点经过点B B、D D，交，交ABAB于另一点于另一点E E，O O2 2 经经过点过点C C、D D，交，交ACAC于另一点于另一点F F，O O1 1与与O O2 2 交交于点于点G G，求证：（，求证：（1 1）BAC+EGFBAC+EGF180180C CF FO O1 1A AB BG GD DO O2 2 （2 2）EAGEAGEFG EFG E E 例例3 3、如图，以锐角三角形、如图，以锐角三角形ABCABC的三边为的三边为边向外作三个等边三角形边向外作三个等边三角形ABDABD、BCEBCE、CAGCAG，求，求证：证：ABDABD、BCEBCE、CAGCAG的外接圆的外接圆O O1 1 、O O2 2、O O3 3交于一点交于一点O O2 2A AO O3 3C CE EB BF FO O1 1G GD D