2.2.3 运用乘法公式进行计算一、平方差公式一、平方差公式1.1.公式表示：公式表示：(a+b)(a-b)=_.(a+b)(a-b)=_.2.2.说明：字母说明：字母a,ba,b不仅可以代表单个的数或字母，也可代表一个不仅可以代表单个的数或字母，也可代表一个单项式或一个单项式或一个_._.3.3.特征：左边两个多项式相乘，在这两个多项式中，一部分项特征：左边两个多项式相乘，在这两个多项式中，一部分项_，另一部分项互为相反数，另一部分项互为相反数. .右边等于右边等于_的的平方减去平方减去_的平方的平方. .a a2 2-b-b2 2多项式多项式完全相同完全相同完全相同的项完全相同的项互为相反数的项互为相反数的项二、完全平方公式二、完全平方公式1.1.公式表示：公式表示：(ab)(ab)2 2=_.=_.2.2.说明：字母说明：字母a,ba,b不仅可以代表单个的数或字母，也可以代表一不仅可以代表单个的数或字母，也可以代表一个单项式或一个个单项式或一个_._.3.3.结构特征：左边为两个整式和结构特征：左边为两个整式和( (或差或差) )的的_._.右边为这两个右边为这两个整式的整式的_，再加上，再加上( (或减去或减去) )这两个整式这两个整式_._.a a2 22ab+b2ab+b2 2多项式多项式平方平方平方和平方和积的积的2 2倍倍【预习思考预习思考】添括号后，括号前面是添括号后，括号前面是“-”-”号，括到括号里各项的符号应如何号，括到括号里各项的符号应如何处理？处理？提示：提示：各项都变号各项都变号. . 完全平方公式的应用完全平方公式的应用【例例1 1】计算计算:(1)197:(1)1972 2.(2)(x-2y+z).(2)(x-2y+z)2 2. .【解题探究解题探究】(1)(1)完全平方公式适用的前提是两数和完全平方公式适用的前提是两数和( (或差或差) )的平的平方，应把方，应把197197看作哪两个数的和看作哪两个数的和( (或差或差) )计算比较方便？计算比较方便？答：答：200200与与3 3的差的差, ,所以所以1971972 2= =(200-3)(200-3)2 2 = =40 00040 000-2-22002003 3+ +3 32 2 = =38 80938 809. .(2)(2)完全平方公式等号左边为几项式的平方？完全平方公式等号左边为几项式的平方？答：答：_. .而而x-2y+zx-2y+z有三项，应怎么办？有三项，应怎么办？答：答：_. .故故(x-2y+z)(x-2y+z)2 2= =( (_)+z)+z2 2=(=(_) )2 2+2(+2(_) )z+zz+z2 2= =_. .两项两项把把x-2yx-2y看作一项看作一项x-2yx-2yx-2yx-2yx-2yx-2yx x2 2-4xy+4y-4xy+4y2 2+2xz-4yz+z+2xz-4yz+z2 2【规律总结规律总结】 完全平方公式适用的前提是两项式的平方，故在利用完全完全平方公式适用的前提是两项式的平方，故在利用完全平方公式时，有时需把一项拆成两项的和或差，有时需把某几平方公式时，有时需把一项拆成两项的和或差，有时需把某几项结合在一起，当作一项，只有把题目变形，具备完全平方公项结合在一起，当作一项，只有把题目变形，具备完全平方公式的特征时，才可使用式的特征时，才可使用. .【跟踪训练跟踪训练】1.(20121.(2012白银中考白银中考) )如图，边长为如图，边长为(m+3)(m+3)的正方形纸片，剪出一的正方形纸片，剪出一个边长为个边长为m m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形( (不重不重叠无缝隙叠无缝隙) )，若拼成的长方形一边长为，若拼成的长方形一边长为3 3，则另一边长是，则另一边长是( )( )(A)m+3 (B)m+6 (C)2m+3 (D)2m+6(A)m+3 (B)m+6 (C)2m+3 (D)2m+6【解析解析】选选C.C.由题意知，长方形面积为由题意知，长方形面积为(m+3)(m+3)2 2-m-m2 2=m=m2 2+6m+9-m+6m+9-m2 2=6m+9=3(2m+3)=6m+9=3(2m+3)，因为长方形一边长为，因为长方形一边长为3 3，故另一边长为，故另一边长为2m+3.2m+3.2.2.下列选项中，与下列选项中，与(x+y)(x+y)2 2相等的是相等的是( )( )(A)(-x+y)(A)(-x+y)2 2 (B)(-x-y)(B)(-x-y)2 2(C)(x-y)(C)(x-y)2 2 (D)(-y+x)(D)(-y+x)2 2【解析解析】选选B.(-x-y)B.(-x-y)2 2= =-(x+y)-(x+y)2 2=(-1)=(-1)2 2(x+y)(x+y)2 2=(x+y)=(x+y)2 2. .3.(-x3.(-x2 2-y)-y)2 2等于等于( )( )(A)-x(A)-x2 2-2xy+y-2xy+y2 2 (B)-x(B)-x4 4-2x-2x2 2y+yy+y2 2(C)x(C)x4 4+2x+2x2 2y+yy+y2 2 (D)x(D)x4 4-2xy-y-2xy-y2 2【解析解析】选选C.C.原式原式=(-x=(-x2 2) )2 2-2(-x-2(-x2 2)y+y)y+y2 2=x=x4 4+2x+2x2 2y+yy+y2 2. .4.4.计算：计算：(1)59(1)592 2=_.(2)71=_.(2)712 2=_.=_.【解析解析】(1)59(1)592 2=(60-1)=(60-1)2 2=3 600-120+1=3 481.=3 600-120+1=3 481.(2)71(2)712 2=(70+1)=(70+1)2 2=4 900+140+1=5 041.=4 900+140+1=5 041.答案：答案：(1)3 481 (2)5 041(1)3 481 (2)5 041 乘法公式的综合运用乘法公式的综合运用【例例2 2】(6(6分分) )计算计算:(m-2n+3t)(m+2n-3t).:(m-2n+3t)(m+2n-3t).【规范解答规范解答】原式原式= =m-(2n-3t)m-(2n-3t)m+(2n-3t)m+(2n-3t)1 1分分=m=m2 2-(2n-3t)-(2n-3t)2 2 4 4分分=m=m2 2-(4n-(4n2 2-12nt+9t-12nt+9t2 2) ) 5 5分分=m=m2 2-4n-4n2 2+12nt-9t+12nt-9t2 2. . 6 6分分【规律总结规律总结】平方差公式应用的三个方面平方差公式应用的三个方面1.1.直接利用平方差公式计算直接利用平方差公式计算. .2.2.从左到右重复利用平方差公式计算从左到右重复利用平方差公式计算. .3.3.两个三项式相乘，把其中两项看作一项利用平方差公式计算两个三项式相乘，把其中两项看作一项利用平方差公式计算. .【跟踪训练跟踪训练】5.(a-1)(a+1)-(a5.(a-1)(a+1)-(a2 2+1)+1)的值是的值是( )( )(A)2a (B)0 (C)-2 (D)-1(A)2a (B)0 (C)-2 (D)-1【解析解析】选选C.(a-1)(a+1)-(aC.(a-1)(a+1)-(a2 2+1)=a+1)=a2 2-1-a-1-a2 2-1=-2.-1=-2.6.(5x6.(5x2 2-4y-4y2 2)(-5x)(-5x2 2+4y+4y2 2) )运算的结果是运算的结果是( )( )(A)-25x(A)-25x4 4-16y-16y4 4 (B)-25x(B)-25x4 4+40x+40x2 2y y2 2-16y-16y4 4(C)25x(C)25x4 4-16y-16y4 4 (D)25x(D)25x4 4-40x-40x2 2y y2 2+16y+16y4 4【解析解析】选选B.(5xB.(5x2 2-4y-4y2 2)(-5x)(-5x2 2+4y+4y2 2) )=-(5x=-(5x2 2-4y-4y2 2)(5x)(5x2 2-4y-4y2 2)=-(5x)=-(5x2 2-4y-4y2 2) )2 2=-=-(5x(5x2 2) )2 2-2-25x5x2 24y4y2 2+(4y+(4y2 2) )2 2=-(25x=-(25x4 4-40x-40x2 2y y2 2+16y+16y4 4) )=-25x=-25x4 4+40x+40x2 2y y2 2-16y-16y4 4. .7.7.化简化简:(x-2)(x:(x-2)(x2 2+4)(x+2)=_.+4)(x+2)=_.【解析解析】原式原式=(x-2)(x+2)(x=(x-2)(x+2)(x2 2+4)+4)=(x=(x2 2-4)(x-4)(x2 2+4)+4)=x=x4 4-16.-16.答案：答案：x x4 4-16-161.(20121.(2012绵阳中考绵阳中考) )图图(1)(1)是一个长为是一个长为2m2m，宽为，宽为2n(mn)2n(mn)的长方的长方形，用剪刀沿图中虚线形，用剪刀沿图中虚线( (对称轴对称轴) )剪开，把它分成四块形状和大剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图小都一样的小长方形，然后按图(2)(2)那样拼成一个正方形，则中那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是间空的部分的面积是( )( )(A)2mn (B)(m+n)(A)2mn (B)(m+n)2 2(C)(m-n)(C)(m-n)2 2 (D)m(D)m2 2-n-n2 2【解析解析】选选C.C.空白面积空白面积=(m+n)=(m+n)2 2-4-4mn=mmn=m2 2+2mn+n+2mn+n2 2-4mn-4mn=m=m2 2-2mn+n-2mn+n2 2=(m-n)=(m-n)2 2. .2.2.计算计算(2a+3b)(2a+3b)2 2(2a-3b)(2a-3b)2 2 的结果是的结果是( )( )(A)4a(A)4a2 2-9b-9b2 2 (B)16a(B)16a4 4-72a-72a2 2b b2 2+81b+81b4 4(C)(4a(C)(4a2 2-9b-9b2 2) )2 2 (D)4a(D)4a4 4-12a-12a2 2b b2 2+9b+9b4 4【解析解析】选选B.(2a+3b)B.(2a+3b)2 2(2a-3b)(2a-3b)2 2= =(2a+3b)(2a-3b)(2a+3b)(2a-3b)2 2=(4a=(4a2 2-9b-9b2 2) )2 2=16a=16a4 4-72a-72a2 2b b2 2+81b+81b4 4. .3.3.方程方程5(x-1)5(x-1)2 2-2(x+3)-2(x+3)2 2=3(x+2)=3(x+2)2 2+7(6x-1)+7(6x-1)的解为的解为_._.【解析解析】原方程变形为原方程变形为5(x5(x2 2-2x+1)-2(x-2x+1)-2(x2 2+6x+9)+6x+9)=3(x=3(x2 2+4x+4)+7(6x-1),+4x+4)+7(6x-1),5x5x2 2-10x+5-2x-10x+5-2x2 2-12x-18=3x-12x-18=3x2 2+12x+12+42x-7,+12x+12+42x-7,整理得整理得-76x=18,-76x=18,解得解得x=- .x=- .答案：答案：x=-x=-4.4.计算计算: (1+ )(1+ )(1+ )=_.: (1+ )(1+ )(1+ )=_.【解析解析】原式原式=(1- )(1+ )(1+ )(1+ )=(1- )(1+ )(1+ )(1+ )=(1- )(1+ )(1+ )=(1- )(1+ )(1+ )=(1- )(1+ )=1-( )=(1- )(1+ )=1-( )2 2=1- = .=1- = .答案：答案：5.5.计算计算:(x+1)(x+2)(x+3)(x+4).:(x+1)(x+2)(x+3)(x+4).【解析解析】原式原式= =(x+1)(x+4)(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)(x+2)(x+3)=(x=(x2 2+5x+4)(x+5x+4)(x2 2+5x+6)+5x+6)= =(x(x2 2+5x)+4+5x)+4(x(x2 2+5x)+6+5x)+6=(x=(x2 2+5x)+5x)2 2+10(x+10(x2 2+5x)+24+5x)+24=x=x4 4+10x+10x3 3+25x+25x2 2+10x+10x2 2+50x+24+50x+24=x=x4 4+10x+10x3 3+35x+35x2 2+50x+24.+50x+24.同学们来学校和回家的路上要注意安全同学们来学校和回家的路上要注意安全