工力第工力第12章章-弯曲变形弯曲变形1 引言 2 梁变形基本方程 3 计算梁位移的积分法4 计算梁位移的叠加法5 简单静不定梁6 梁的刚度条件与合理设计单辉祖:工程力学21 引 言 弯曲变形及其特点弯曲变形及其特点 挠度与转角挠度与转角单辉祖:工程力学3 弯曲弯曲变形及其特点变形及其特点 挠曲轴是一条连续、光滑曲线挠曲轴是一条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计, 因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交挠曲轴挠曲轴 变弯后的梁轴，称为变弯后的梁轴，称为挠曲轴挠曲轴 研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静 不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础单辉祖:工程力学4 挠度与转角挠度与转角转角转角挠度挠度挠度与转角的关系挠度与转角的关系（小变形小变形）挠度挠度横截面形心在垂直于梁轴方向的位移横截面形心在垂直于梁轴方向的位移挠曲轴方程挠曲轴方程转角转角横截面的角位移横截面的角位移转角方程转角方程（忽略剪力影响忽略剪力影响）（rad）单辉祖:工程力学52 梁变形基本方程 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程单辉祖:工程力学6 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程（纯弯纯弯）（推广到非纯弯推广到非纯弯） w弯矩引起的挠度弯矩引起的挠度 s smax b 时时位移边界条件：位移边界条件：位移连续条件：位移连续条件：2. 确定积分常数确定积分常数发生在发生在AC段段单辉祖:工程力学14例 3-2 建立挠曲轴建立挠曲轴 微分方程微分方程，写出边界条件，写出边界条件，EI 为为常数常数解：1. 建立挠曲轴近似微分方程建立挠曲轴近似微分方程AB段段:CB段段:2. 边界条件与连续条件边界条件与连续条件位移边界条件：位移边界条件：位移连续条件：位移连续条件：单辉祖:工程力学15F=qa例 3-3 绘制挠曲轴的大致形状绘制挠曲轴的大致形状F=qa单辉祖:工程力学164 计算梁位移的叠加法 叠加法叠加法 逐段分析求和法逐段分析求和法 例题例题单辉祖:工程力学17 叠加法叠加法方法方法分解载荷分解载荷分别计算位移分别计算位移求位移之和求位移之和当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和单辉祖:工程力学18理论依据上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合（小变形小变形, ,比例极限内比例极限内）（小变形小变形）叠加法适用条件叠加法适用条件：小变形小变形，比例极限内，比例极限内单辉祖:工程力学19 逐段分析求和法逐段分析求和法 分解梁分解梁 分分别别计计算算各各梁梁段段的的变变形形在在需需求求位位移移处处引引起的位移起的位移 求总位移求总位移在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余梁段视为刚体单辉祖:工程力学20 例例 题题例 4-2 图示阶梯形梁，图示阶梯形梁，WC = ?= ?解：()()()单辉祖:工程力学21例 4-2 图示组合梁，图示组合梁，EI=常数，求常数，求 wB 与与q qA()()解：单辉祖:工程力学22例 4-3 求自由端位移求自由端位移d d挠曲轴与外力作用面不重合挠曲轴与外力作用面不重合一般情况下一般情况下解：单辉祖:工程力学235 简单静不定梁 静不定度与静不定度与多余约束多余约束 简单静不定梁简单静不定梁分析方法分析方法 例题例题单辉祖:工程力学24 静不定度与静不定度与多余约束多余约束多余约束多余约束 凡是多于维持平衡所必须的约束凡是多于维持平衡所必须的约束多余反力多余反力 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度静不定度 未知未知支反力（力偶）数支反力（力偶）数有效平衡方程数有效平衡方程数静不定度静不定度多余约束数多余约束数4-3 = 1 度度 静不定静不定5-3 = 2 度度 静不定静不定静不定梁静不定梁 支反力（含力偶）数支反力（含力偶）数超过超过平衡方程数的梁平衡方程数的梁单辉祖:工程力学25 简单静不定梁分析方法简单静不定梁分析方法选选 FBy 为为多余力多余力变形协调条件变形协调条件物理方程物理方程补充方程补充方程平衡方程平衡方程1 度静不定度静不定算例综合考虑三方面综合考虑三方面求梁的支反力求梁的支反力, EI=常数常数单辉祖:工程力学26 判断梁的静不定度判断梁的静不定度 用多余力用多余力 代替多余约束代替多余约束的作用，得的作用，得受力与原静不定受力与原静不定梁相同的静定梁梁相同的静定梁相当系统相当系统 计计算算相相当当系系统统在在多多余余约约束束处处的的位位移移，并并根根据据变变形形协调条件建立补充方程协调条件建立补充方程 由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力 通过相当系统计算内力、位移与应力等通过相当系统计算内力、位移与应力等依据综合考虑三方面依据综合考虑三方面关键确定多余支反力关键确定多余支反力分析方法与步骤相当系统相当系统相当系统相当系统注意注意: : 相当系统有多种选择相当系统有多种选择单辉祖:工程力学27 例例 题题例 5-1 求支反力求支反力解：1. 问题分析问题分析2. 解静不定解静不定水平反力忽略不水平反力忽略不计计, ,2多余未知力多余未知力单辉祖:工程力学28例 5-2 悬臂梁悬臂梁 AB，用短梁用短梁 DG 加固，试分析加固效果加固，试分析加固效果解：1. 静不定分析静不定分析单辉祖:工程力学292. 加固效果分析（刚度）加固效果分析（刚度）减少减少 50%减少减少39.9%3. 加固效果分析（强度）加固效果分析（强度）单辉祖:工程力学30例 5-3 图示杆梁结构，图示杆梁结构，试求杆试求杆 BC 的轴力的轴力解：一度静不定一度静不定单辉祖:工程力学316 梁的刚度条件与合理设计 梁的刚度条件梁的刚度条件 梁的合理刚度设计梁的合理刚度设计 例题例题单辉祖:工程力学32 梁的刚度条件梁的刚度条件最大位移控制指定截面的位移控制例如滑动轴承处例如滑动轴承处:单辉祖:工程力学33 梁的合理刚度设计梁的合理刚度设计 横截面形状的合理选择横截面形状的合理选择 材料的合理选择材料的合理选择使用较小的截面面积使用较小的截面面积 A，获得较大惯性矩，获得较大惯性矩 I 的截面形的截面形状，例如工字形与盒形等薄壁截面状，例如工字形与盒形等薄壁截面影响梁刚度的力学性能是影响梁刚度的力学性能是 E ，为提高刚度，宜选用，为提高刚度，宜选用E 较高的材料较高的材料注意：注意：各种钢材（或各种铝合金）的各种钢材（或各种铝合金）的 E 基本相同基本相同单辉祖:工程力学34 梁跨度的合理选取梁跨度的合理选取跨度微小改变，将导致挠度显著改变跨度微小改变，将导致挠度显著改变例如例如 l 缩短缩短 20，d dmax 将减少将减少 48.8%单辉祖:工程力学35 合理安排约束与合理安排约束与加载方式加载方式q=F/l增加约束，制作成静不定梁增加约束，制作成静不定梁单辉祖:工程力学36 例例 题题例 6-1 已知已知 F = 35 kN，l = 4 m，s s = 160 MPa ，d d = l /500，E = 200 GPa，试选择工字钢型号试选择工字钢型号。解：选选22a单辉祖:工程力学37本章结束 ！单辉祖:工程力学38