13 数列的极限数列的极限一、数列的概念一、数列的概念二、数列的极限二、数列的极限三、用定义证明极限举例三、用定义证明极限举例四、收敛数列的性质四、收敛数列的性质数列、 数列举例、数列的几何意义极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的几何意义极限的唯一性、收敛数列的有界性收敛数列与其子数列间的关系一、数列的概念一、数列的概念 如可用渐近的方法求圆的面积？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积： 1r四边形2r八边形3r十六边形 一个实际问题数列： 如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n 有一个确定的数xn ，则得到一列有次序的数 x1，x2，x3， ，xn ，这一列有次序的数就叫做数列，记为xn，其中第n 项xn 叫做数列的一般项数列举例：数列举例： 2，4，8， ，2n ， ， 一般项为2n一般项为 1 2n 1，-1，1， ，(-1)n+1， ； 一般项为(-1)n+1一般项为数列的几何意义： 数列xn可以看作自变量为正整数 n 的函数： xn=f (n)，它的定义域是全体正整数x1x8x7x6x5x4x3x2xnOx数列与函数：x1=f(1)x2=f(2)x3=f(3)x4=f(4)x5=f(5)x6=f(6).xn=f(n) 数列xn可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 x1，x2，x3， ，xn ，二、数列的极限二、数列的极限 例如如果数列没有极限，就说数列是发散的xn=a而2n， (-1)n+1，是发散的数列的极限的通俗定义： 对于数列xn，如果当n 无限增大时，数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a ，则称常数a 是数列xn的极限，或称数列xn收敛a 记为 对无限接近的刻划： “当n无限增大时，xn无限接近于a” 等价于：当n无限增大时，|xn-a |无限接近于0；或者说，要|xn-a |有多小，只要n足够大， |xn-a |就能有多小 极限的精确定义： 定义 如果数列xn与常a 有下列关系：对于任意给定的正数e(不论它多么小)，总存在正整数N ，使得对于n N 时的一切xn，不等式 |xn-a |N时的一切xn，不等式 |xn-a |N 时，所有的点xn都落在区间(a- e , a+e)内，而只有有限(至多只有N个)在区间(a- e , a+e)以外. xOaa- ea+e()x 1x NxN + 1xN + 2xN + 3xN + 5xN + 4x 2对于任意给定的正数e0，三、用定义证明极限举例三、用定义证明极限举例 分析： 证明：因为对于任意给定的e0， 存在N=1/e， 使当nN时，有 所以三、用定义证明极限举例三、用定义证明极限举例对于任意给定的e 0，要使只需故取 分析：所以， 证明：因为对任意给定的正数e0， 存在使当nN时， 有 例 3 设|q |0，分析：要使 例 3 设|q |N时，有|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1N时的一切xn， 不等式 | xn- a |N时， | xn |=| ( xn- a ) + a | | xn- a |+| a |1+| a | 取M=max| x1 |， | x2 |， , | xN |， 1+| a |， 那么数列xn中的一切 xn都满足不等式 | xn | M 这就证明了数列xn是有界的定理2(收敛数列的有界性) 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a 子数列： 在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列 例如，数列 xn ： 1，-1，1，-1， (-1)n+1， 的一子数列为x2n：-1，-1，-1，(-1)2n+1， 证明：设数列 是数列xn的任一子数列定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a 2如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛? 3数列的子数列如果发散， 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛，但其极限不同， 原数列的收敛性如何? 发散的数列的子数列都发散吗？ 4如何判断数列 1，-1，1，-1， ，(-1)n+1， 是发散的？讨论：