4. 静力学模型静力学模型讨论操作臂在静止状态下的受力平衡关系，操作臂在关节驱动力/力矩和外力（操作臂自身重力和末端手爪所受的力/力矩）的作用下处于平衡状态。完整的力学平衡方程。讨论关节驱动力或力矩与末端手爪施加的力/力矩之间的传递关系，操作臂的每个关节都由单独的电机或液压缸驱动，关节驱动力或力矩通过连杆传递到末端手爪。力控制的基础。讨论力/力矩在不同坐标系间的变换关系，力/力矩可以描述到任意坐标系中，由于力为线矢量，在不同坐标系中描述需要将其作用点进行平移，这会产生力矩的变化。讨论外界作用力/力矩与操作臂的变形之间的关系（即刚度），这里假设连杆为刚性，变形只存在于关节驱动和传动环节。操作臂的刚性是影响动态特性和作业精度的一项重要指标，同时对柔顺控制也起着重要作用。 4.1 连杆的受力和平衡方程 以连杆i为研究对象，其受力如下： ififi,x fi,y fi,zT 为连杆i-1作用在连杆i上的力（相对于坐标系i），作用点为Oi； imimi,x mi,y mi,zT为连杆i-1作用在连杆i上的力矩（相对于坐标系i）； i+1fi+1fi+1,x fi+1,y fi+1,zT为连杆i作用在连杆i+1上的力（相对于坐标系i+1），作用点Oi+1； i+1mi+1mi+1,x mi+1,y mi+1,zT为连杆i作用在连杆i+1上的力矩（相对于坐标系i+1）； mi ig为连杆i的重力； g为重力加速度矢量，当参考坐标系的Z轴铅直向上时,相对于参考坐标系有0g0 0 -gT，相对于坐标系i有 ； irci为连杆i的质心位置矢量（相对于坐标系i）； iPi+1为坐标系i原点指向坐标系i+1原点的矢量（相对于坐标系i）。将各力/力矩均变换到坐标系i下 （注意：力为线矢量这里只做方向变换） 建立力的平衡方程将各力矩变换到坐标系i中，各力对坐标系i原点Oi取矩，建立力矩的平衡方程 操作臂的受力和关节驱动力操作臂的受力和关节驱动力 整个操作臂的受力分析从末端连杆开始，逐级向前。通常操作臂末端手爪受力可知，假设末端所受的力和力矩作用在手爪坐标系原点，在手爪坐标系中表示为tF和tM。则末端连杆力和力矩平衡方程 由平衡方程得到连杆n-1作用在连杆n上的力nfn和力矩nmn 。如果末端作用力和力矩在参考坐标系中表示为F和M ，则上面力学平衡方程变为 进一步，建立连杆n-1的力和力矩平衡方程 由平衡方程得到连杆n-2作用在连杆n-1上的力n-1fn-1和力矩n-1mn-1 依此类推，可以得到基座（连杆0）上的力0f0和力矩0m0 。至此，整个操作臂的受力分析结束，得到基座受力0f0和0m0 ，以及连杆受力ifi和imi (i1n)。 由连杆受力可以进一步得到关节驱动力或力矩关节驱动力或力矩。若关节i为移动关节，沿着iZ i轴方向的力为关节驱动力，由关节驱动器提供，其它均由机械构件承受；若关节i为转动关节，绕着iZ i轴方向的力矩为关节驱动力矩，由关节驱动器提供，其它均由机械构件承受。则关节驱动力或力矩为 （移动关节）（转动关节），例：例：如图所示的二杆平面机器人，建立相应的坐标系。已知，外界对机器人手的作用力（手爪坐标系与坐标系2重合）为 求各杆件间的相互作用力（矩）和关节力矩。解：解：关节力矩4.2 等效关节力和力雅可比等效关节力和力雅可比 通过对机械臂静力建模，可以得到各关节的驱动力或力矩与末端受力的传递关系（由静力递推公式先求得各连杆的受力与末端受力及重力的关系，再取出关节力或力矩分量，忽略重力忽略重力即可得） ，写成矩阵形式其中：为关节驱动力或力矩矢量为末端输出外力和外力矩组成的广义力矢量 JF 为力雅可比矩阵 力雅可比矩阵JF 与速度雅可比矩阵J之间有什么关系？各关节所做虚功的之和为 令各关节的虚位移（满足机械系统几何约束条件的无限小位移 ）矢量为 令末端手爪相应虚位移为 末端手爪所做地虚功为 根据虚功原理，操作臂在平衡情况下，关节驱动力或力矩在关节空间所做虚功等于末端手爪输出力和力矩在操作空间所做虚功 根据速度雅可比关系 虚功方程变为 与式 比较，得到力雅可比矩阵为速度雅可比矩阵的转置 当J不满秩时，沿某些方向末端手爪力或力矩处于失控状态，不能输出所需要的力或力矩，这些方向的外力或力矩只能通过机械构件被动平衡。 4.3 不同坐标系间的静力变换不同坐标系间的静力变换 如果广义力 在坐标系A中表述为 ， 的作用点在坐标系A的原点OA。现在要将其等效地在坐标系B中表述，即将其平移变换到坐标系B中 。如图所示，BPOA为OB指向OA的矢量在坐标系B中的表达，坐标系A与坐标系B间的齐次变换矩阵为OAOBXBYBZBXAYAZAAfAmBPOA首先，将AF的各分量方向变换到坐标系B中为再将其平移到坐标系B原点OB得到 将叉乘写成反对称矩阵矩阵形式S(BPOA)，可以得到广义力在坐标系A和B之间的变换关系 根据虚功原理，同样可以得到上式变换关系。若刚体做无限小运动，坐标系A原点的虚位移在坐标系A中表示为AD，坐标系B原点的虚位移在坐标系B中表示为BD，则根据虚功原理， AF与BF其等效力所做虚功相等，即 由微分运动的等价坐标变换可知 代入上式得 利用 为反对称矩阵的性质得到 4.4 刚度和柔度刚度和柔度 操作臂终端在外力的作用下会产生变形，变形的大小与操作臂的刚度及作用力的大小有关。操作臂的刚度即为操作臂末端抵抗变形的能力，它将影响操作臂的动态特性和在负载情况下的定位精度。 对于大多数工业机器人而言，连杆的刚度较大，可以认为是刚性的，变形主要来源于关节处的传动、减速装置和伺服驱动系统。假设关节刚度为线弹性，用一个弹簧常系数来表示，即为 整个操作臂的关节驱动力或力矩与关节变形之间的关系写成矩阵形式 其中 为关节刚度矩阵 由微分运动关系可知关节变形产生末端手爪位移为D 将关节刚度公式和静力学关系公式代入上式其中 为操作臂末端的柔度矩阵 刚度矩阵表示关节变形与关节驱动力或力矩之间的线性关系，对于n关节机械臂，K为nn维对角阵； 柔度矩阵表示机械臂末端操作力与末端变形之间的线性关系，对于m维作业空间，C为mm维矩阵。 如果J方阵满秩，C可逆， C-1称为末端刚度矩阵矩阵。