高中数学课件宋老师2012.5.18数与形,本是相倚依焉能分作两边飞数无形时少直觉形少数时难入微数形结合百般好隔离分家万事休切莫忘,几何代数统一体永远联系莫分离 华罗庚第一章：集合与函数第二章：基本初等函数第三章：函数的应用第一节：集合第一章：集合与函数二、集合的定义与表示1、通常，我们把研究的对象称为元素元素，而某些拥有共同特征的元素所组成的总体叫做集合集合。并用花括号括起来，用大写字母带表一个集合，其中的元素用逗号分割。2、集合有三个特征：确定性确定性、互异性互异性和无序性无序性。就是根据这三个特征来判断是否为一个集合。一、请关注我们的生活，会发现1、高一（9）班的全体学生：A=高一（9）班的学生2、中国的直辖市：B=中国的直辖市3、2，4，6，8，10，12，14：C= 2，4，6，8，10，12，144、我国古代的四大发明：D=火药，印刷术，指南针，造纸术5、2004年雅典奥运会的比赛项目：E=2008年奥运会的球类项目如何用数学的语言描述这些对象？集合的含义与表示讨论1：下列对象能构成集合吗？为什么？1、著名的科学家2、1,2,2,3这四个数字3、我们班上的高个子男生讨论2：集合a,b,c,d与b,c,d,a是同一个集合吗？三、数集的介绍和集合与元素的关系表示1、常见数集的表示N：自然数集（含0）即非负整数集N+或N*：正整数集（不含0)Z: 整数集Q： 有理数集R： 实数集 若一个元素m在集合A中，则说 mA，读作“元素m属于集合A”否则，称为mA,读作“元素m不属于集合A。例如：1 N， -5 Z, Q 2、集合与元素的关系（属于或不属于 ） 1.5 N四、集合的表示方法1、列举法就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。例如：book中的字母组成的集合表示为： ，o，一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。1,4（1,4）2、描述法就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。其一般形式为：注意：1、中间的“|”不能缺失； 2、不要忘记标明xR或者kZ，除非上下文明确表示 。 x | p(x) 例如：book中的字母的集合表示为：A=x|x是 book中的字母所有奇数组成的集合：A=xR|x=2k+1, kZ所有偶数组成的集合：A=xR|x=2k, kZ思考：1、比较这三个集合： A=x Z|x10，B=x R|x10 ， C=x |x10 ；例题：求由方程x2-1=0的实数解构成的集合。解：(1)列举法：-1,1或1，-1。(2)描述法：x|x2-1=0，xR或X|X为方程x2-1=0的实数解2、两个集合相等如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。例：集合A=x|x为小于5的素数，集合A=x R|(x-1)(x-3)=0，这两个集合相等吗。 根据集合中元素个数的多少个数的多少，我们将集合分为以下两大类：1、有限集：含有有限个元素的集合称为有限集有限集特别，不含任何元素的集合称为空集空集, ,记为记为 ，注意：不能表示为。2.无限集：若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集无限集 五、集合的分类练习题1、直线y=x上的点集如何表示？2、方程组 的解集如何表示？ x+y=2 x-y=13、若1，a和a,a2表示同一个集合， 则a的值不能为多少？集合间的基本关系 实数有相等关系、大小关系，如55，57，53，等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？ A=1,2,3 , B=1,2,3,4,5;设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合, B为这个班学生的全体组成的集合; 设Cx|x是两条边相等的三角形，D=x|x是等腰三角形.一、子集和真子集的概念1、子集：一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.BA读作：A包含于B，或者B包含A可以联系数与数之间的“”2、真子集：3、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合并规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。的子集，空集是任何非空集合的真子集。4、补集与全集设A A S S，由由S S中不属于集合中不属于集合A A的所有元素的所有元素组成的集合称成的集合称为S S的子集的子集A A的的补集，集，记作作C CS SA A ，即C CS SA A x|xS,且xA如图，阴影部分即C CS SA A. SA如果集合如果集合S S包含我们包含我们所要所要研究的各个集合，这时集合研究的各个集合，这时集合S S看作一个全集，通看作一个全集，通常记作常记作U U。例题、例题、不等式组的解集为不等式组的解集为A A，U UR R，试求试求A A及及C CU UA A，并把并把它们它们分别分别表示在数轴上。表示在数轴上。 1、CUA在U中的补集是什么？2、UZ，A=x|x=2k,kZ, B=x|x=2k+1,KZ,则CUA， CUB。思考:练习题重点考察对空集的理解！4、设集合A=x|1x3，B=x|x-a0，若A是B的真子集，求实数a的取值范围。5、设A=1，2，B=x|xA，问A与B有什么关系？并用列举法写出B？7、判断下列表示是否正确:(1)a a; (2) a a,b;(3)a,b b,a; (4)-1,1 -1,0,1(5)0; (6) -1,1. 4、补集与全集集合与集合的运算一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB，即 AB=x|xA，且xBAB可用右图中的阴影部分来表示。UABAB1 1、交集、交集其实，交集用通俗的语言来说，就是找两个集中中共同存在的元素。例题：1、A=-1,1,2,3,B=-1,-2,1,C=-1,1;2,32,3-2-2-1,1-1,1ABC交集的运算性质：交集的运算性质：思考题：如何用集合语言描述？思考题：如何用集合语言描述？2 2、并集、并集一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的所构成的集合，称为A与B的并集，记作AB，即AB = x|xA，或xBAB可用右图中的阴影部分来表示UAB其实，并集用通俗的语言来说，就是把两个集合的元素合并到一起。所以交集是“求同”，并集是存异。例题： 设集合A=x|-1x2,集合B=x|1x3 求AB.解: AB=x|-1x2 x|1x3 =x|-1x3-1123并并集的运算性质：集的运算性质：注意：计算并集和交集的时候尽可能的转化为图像，减少犯错的几率，常用的图像有Venn图，数轴表示法，坐标表示法。尤其是涉及到不等式和坐标点的时候。练习题1、判断正误 （1）若U=四边形，A=梯形， 则CUA=平行四边形 （2）若U是全集，且AB，则CUACUB （3）若U=1，2，3，A=U，则CUA=2. 设集合A=|2a-1|，2，B=2，3，a2+2a-3，且CBA=5，求实数a的值。3. 已知全集U=1，2，3，4，5，非空集A=xU|x2-5x+q=0，求CUA及q的值。第二节：函数第一章：集合与函数函数及其表示一、函数的概念小明从出生开始，每年过生日的时候都会测量一下自己的身高，其测量数据如下：1234567891030405060708090100110120年龄（岁）身高（cm）从以上两个例子，我们可以把年龄当做一个集合A，身高当做一个集合B；把时间当做一个集合C，把下降高度当做一个集D。那么对于集合A、C中的每一个元素，集合B、D中都有唯一的一个元素与其相对应。比如，对于A的每一个元素“乘以10再加20”，就得到了集合B中的元素。对于集合C中的元素“平方后乘以4.9”就得到集合D中的元素。因此，函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式。其准确定义如下：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，xA。 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值（因变量），函数值的集合f(x)|x A叫做函数的值域。而对应的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20”和“平方后乘以4.9”1234567830405060708090100乘以10再加2011.52356784.9？平方后乘以4.9二、映射 通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下： 设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素唯一确定的元素y与之相对应，那么就称对应f：AB为集合A到集合B的一个映射。国家首都中国美国韩国日本北京华盛顿首尔东京因此，函数是映射的一种特殊形式三、函数的三种表示方法解析法，图像法，列表法。详见课本P19页。四、开区间、闭区间和半开半闭区间实数R的区间可以表示为（- ,+ ）深入理解函数表示方法的解析法五、着重强调的几个问题及考试陷阱1、函数是高中数学乃至大学数学中最为重要的组成部分，大部分的章节都会与函数进行穿插出题。2、不管是映射还是函数，都是唯一确定的对应，即对于A中的元素有且仅有一个B中的元素与其相对应。深入的理解这句话就可以得到：可以多对一，而不能一对多。1-12-214平方49-23开方2-3 3、分母不能等于零，二次根号下不能为负数，分子分母的未知数不能随便约，根号不能随便去掉，都是求定义域的典型考点。详见课本例题。4、判定两个函数相同的条件：一是对应法则相同，二是定义域和值域相同。2、下列几种说法中，不正确的有：_A、在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；B、函数的定义域和值域一定是无限集合；C、定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定；D、若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素。E、若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素。练习题4、求下列函数的值域5、判断下列各组函数是否表示同一函数？函数的基本性质单调性 那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2， 那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调增区间.当x1x2时，都有f(x1 ) f(x2 )，当x1单调区间Oxyx1x2f(x1)f(x2)二、函数单调性考察的主要问题3、证明一个函数具有单调性的证明方法：从定义出发，设定任意的两个x1和x2，且x2x1，通过计算f(x2)f(x1)0或者0恒成立。里面通常都是用因式分解的办法，把f(x2)f(x1)转化成（x2-x1）的表达式。最后判断f(x2)f(x1)是大于0还是小于0。2、x 1, x 2 取值的任意性.xx1x2Iyf(x1)f(x2)OMN例1、下图为函数y=f(x), x-4,7 的图像，指出它的单调区间。-1.5，3，5，6-4，-1.5，3，5，6，7解：单调增区间为单调减区间为123-2-3-2-11234567 xo-4-1y-1.5例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：xy_ ,讨论1：根据函数单调性的定义，讨论2：在(-，0）和（0，+)上 的单调性？例3.判断函数 在定义域1，+）上的单调性，并给出证明：1. 任取x1，x2D，且x1x2；2. 作差f(x1)f(x2)；3. 变形（通常是因式分解和配方）；4. 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5. 下结论主要步骤证明：在区间1，+）上任取两个值x1和x2，且x10ab=0ab0=00x=-b2axy0a0xy0a0=00四、平移问题对一个已知函数进行平移，如函数的表达式可以统一表示为y=f(x)，则平移后的方程遵循右上减，左下加的原则，具体如下：向右平移k个单位，则平移后的表达式为y=f(x-k)；向左平移k个单位，则平移后的表达式为y=f(x+k)；向上平移h个单位，则平移后的表达式为y-h=f(x)；想下平移h个单位，则平移后的表达式为y+h=f(x);如果在横向和纵向上都有移动，则同时根据上述原则变化y和f(x)，各变各的，再进行整理。如：向左平移k个单位，向上平移h个单位，则平移后的表达式为y-h=f(x+k)注意：1、在替换的时候要替换所有的，尤其是x，替换时候最好带上括号，避免出错。2、平移的先后次序不影响平移结果，即无所谓先向左右，还是先向上下。只要是向坐标轴的正向移动，就用负号，只要是向坐标轴的负向移动就用正号。(3)连线画对称轴确定顶点确定与坐标轴的交点及对称点0xyx=-1M(-1,-2)A(-3,0)B(1,0)D(5)当x-1时，y随x的增大而减小;当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2由图象可知(6)当x1时，y0当-3x1时，y01.1.抛物线抛物线 的顶点坐标是的顶点坐标是( ).( ).(A)(-1,-3) (A)(-1,-3) (B)(1,3) (B)(1,3) (C)(-1,8) (C)(-1,8) (D)(1,-8)(D)(1,-8)2.2.在同一直角坐标系中，在同一直角坐标系中，抛物线抛物线 与坐标轴的交点个与坐标轴的交点个数是数是( )( )(A)0(A)0个个 (B)1(B)1个个 (C)2(C)2个个 (D)3(D)3个个 3.3.已知二次函数已知二次函数的图象如图所示的图象如图所示，则，则有（）有（） ( () ) a a0,b0,b0,c0,c0 (0 () ) a a0,b0,b0,c0,c0 0 (C) a(C) a0,b0,b0,c0,c0 (D) a0 (D) a0,b0,b0,c0,c0 0四、巩固练习4、二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_对称轴是_。5、抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是_6、已知函数y=x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是_7、二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m= _。8、二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是_1-10xyabc0 a+b+c b2a+b=0 =b-4ac 09、二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)且f(x)=0有两个实根x1,x2，则x1+x2等于_.10、数f(x)=2x2-mx+3，当x(-,-1时是减函数，当x(-1,+)时是增函数，则f(2)= _. 11、关于x的方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的一根比1大，另一根比1小，则有( ) (A)-1a1 (B)a-2或a1(C)-2a1 (D)a-1或a212、设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根，则(x-1)2+(y-1)2的最小值是( C ) (A)-12 (B)18 (C)8 (D)34 13、设函数f(x)=|x|x+bx+c，给出下列命题： b=0,c0时，f(x)=0只有一个实数根； c=0时，y=f(x)是奇函数； y=f(x)的图象关于点(0，c)对称； 方程f(x)=0至多有2个实数根. 上述命题中的所有正确命题序号是_函数的基本性质奇偶性1、已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象。解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-x)=(-x)2=x2xyo( x,y)(-x,y)f(-x)f(x)-xxf(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-x)=f(x)说明:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值相等即f(-x)=f(x)如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数. 偶函数定义偶函数定义:2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2)，f(2)，f(-1)，f(1)及f(-x)解解:f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3=-x3xyo-xxf(-x)f(x)(-x,-y)(x,y)f(-2)= - f(2)f(-1)= - f(1)f(-x)= - f(x)说明:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x)奇函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.对奇函数、偶函数定奇函数、偶函数定义的的说明明: :（1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。如， f(x)=x2 (x0)是偶函数吗Ox-b,-aa,b（2）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。（3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函 数f(x) 具有奇偶性。例1.判断下列函数的奇偶性解: 定义域为Rf(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)即 f(-x)= - f(x)f(x)为奇函数解:定义域为R f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2即 f(-x)= f(x)f(x)为偶函数(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2（2）奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数.（1）偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么这个函数为偶函数.注：奇偶函数图象的性质可用于： .简化函数图象的画法。 .判断函数的奇偶性。奇偶函数图象的性质:两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。两个性质:一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。(2) f(x)= - x2 +1(3). f(x)=5 (4) f(x)=0练习题 (5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x2 x- 1 , 3第二章：基本初等函数第一节：指数函数指数与指数幂的运算根式探究a，a0a，a0分数指数幂指数运算法则结合具体的理解进行记忆引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？分裂次数：1，2，3，4，x细胞个数：2，4，8，16，y由上面的对应关系可知，函数关系是引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.即：，其中x是自变量，函数定义域是R定义指数函数及其性质探究1：为什么要规定a0,且a1呢？若a=0，则当x0时，=0；当x0时，无意义.若a0且a1在规定以后，对于任何xR，都有意义，且0.因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+).引例：x-3-2-1-0.500.51230.130.250.50.7111.42488421.410.710.50.250.13x-1.5-1-0.5-0.2500.250.511.50.030.10.320.5611.783.161031.6231.62103.161.7810.560.320.10.03例题讲解：课本P56、57中的例6、例7和例8课堂练习：课本P58的练习1、2进一步拓展进一步拓展复合函数求单调区间综合练习课本P59页习题2.1第二章：基本初等函数第二节：对数函数对数及其运算前节内容回顾：引导：定义：XxXx两种特殊的底：10和e探究：结论： 负数和零没有对数。练习：课本P64页对数运算法则探究：换底公式的证明与应用例题讲解：课堂练习：1、课本P65页，例2例6：1、课本P68页对数函数及其性质我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个1个这样的细胞分裂成x次后，得到细胞个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数_表示。反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以等于1万个、10万个细胞？已知细胞个数y，如何求分裂次数x？得到怎样一个新的函数？124y=2xyx=?复习引入复习引入y=2x,x N1、对数函数的定义：2、指数函数与对数函数两者图像之间的关系x-3-2-1-0.500.51230.130.250.50.7111.4248x0.130.250.50.7111.4248-3-2-1-0.500.5123-1XYO112233445567Y=log2xY=xY=2x-1 图 象 性 质a 1 0 a 1定义域定义域 : : 值值 域域 : :过过定点：定点：在在 ( 0 ,+)( 0 ,+)上上 是是 函数函数 在在 ( 0 ,+)( 0 ,+)上上是是 函数函数y yx x0 0x1y=logy=loga ax x(a(a1)1)y yx x0 0y=logy=loga ax x(0(0a a1)1)(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)( 0 ,+)( 0 ,+)R R( 1 , 0 )增增减减 例1：求下列函数的定义域：（1） ； （2） ； （3） 反函数1、定义：2、求法：已知某个函数的表达式，y=f(x)，求其反函数的方法和步骤如下：（1）通过表达式y=f(x)，把函数表示成x=g(y)的形式（2）把求得的x=g(y)的位置对调，即y=g(x)的形式3、注意：只有是严格一一对应的函数才能求其反函数，即存在多对一的情况的函数是没有反函数的。有反函数不一定有单调性，如y=1/x？练习课本P73,74页第二章：基本初等函数第三节：幂函数幂函数定义注意：第三章：函数的应用第一节：函数与方程要点梳理要点梳理1.1.函数的零点函数的零点（1 1）函数零点的定义）函数零点的定义 对于函数对于函数y= =f( (x)()(xD),),把使把使_成立的实数成立的实数x叫叫 做函数做函数y= =f( (x)()(xD) )的零点的零点. .f( (x)=0)=0基基础知知识自主学自主学习（2 2）几个等价关系）几个等价关系 方程方程f( (x)=0)=0有实数根有实数根 函数函数y= =f( (x) )的图象与的图象与_有有 交点交点 函数函数y= =f( (x) )有有_._.(3)(3)函数零点的判定（零点存在性定理）函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数如果函数y= =f( (x) )在区间在区间a，b上的图象是连续不上的图象是连续不 断的一条曲线，并且有断的一条曲线，并且有_,_,那么函那么函 数数y= =f( (x) )在区间在区间_内有零点内有零点, ,即存在即存在c(a, ,b),), 使得使得_，这个，这个_也就是也就是f( (x)=0)=0的根的根. . f（a）f（b）00)0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系00=0=000)0)的图象的图象与与x轴的交轴的交点点_无交点无交点零点个数零点个数_( (x1 1,0),0),( (x2 2,0),0)( (x1 1,0),0)无无一个一个两个两个3.3.二分法二分法 （1 1）二分法的定义）二分法的定义 对于在区间对于在区间a，b上连续不断且上连续不断且_的的 函数函数y= =f( (x) )，通过不断地把函数，通过不断地把函数f( (x) )的零点所在的区的零点所在的区 间间_,_,使区间的两个端点逐步逼近使区间的两个端点逐步逼近_,_,进进 而得到零点近似值的方法叫做二分法而得到零点近似值的方法叫做二分法. .（2 2）用二分法求函数）用二分法求函数f( (x) )零点近似值的步骤零点近似值的步骤 第一步，确定区间第一步，确定区间a，b，验证，验证_,_, 给定精确度给定精确度 ； 第二步，求区间（第二步，求区间（a，b）的中点）的中点x1 1； f( (a) )f( (b)0)0一分为二一分为二零点零点f( (a) )f( (b)0)0第三步，计算第三步，计算_：若若_，则，则x1 1就是函数的零点；就是函数的零点；若若_，则令，则令b= =x1 1( (此时零点此时零点x0 0(a, ,x1 1););若若_，则令，则令a= =x1 1( (此时零点此时零点x0 0(x1 1, ,b););第四步，判断是否达到精确度第四步，判断是否达到精确度 ：即若：即若| |a- -b| ,| ,则则得到零点近似值得到零点近似值a（或（或b）; ;否则重复第二、三、四步否则重复第二、三、四步. . f( (x1 1) )f( (a) )f( (x1 1)0)0f( (x1 1) )f( (b)0)0f( (x1 1)=0)=0基础自测基础自测1.1.若函数若函数f( (x)=)=ax+ +b有一个零点为有一个零点为2,2,则则g( (x)=)=bx2 2- -ax的的 零点是零点是 （ ） A.0A.0，2 B.02 B.0， C.0C.0， D.2, D.2, 解析解析 由由f(2)=2(2)=2a+ +b=0,=0,得得b=-2=-2a, , g( (x)=-2)=-2ax2 2- -ax=-=-ax(2(2x+1).+1). 令令g( (x)=0)=0，得，得x=0,=0,x= = g（x）的零点为）的零点为0 0， C2.2.函数函数f( (x)=3)=3ax-2-2a+1+1在在-1-1，1 1上存在一个零点，上存在一个零点， 则则a的取值范围是的取值范围是 （ ） A. B.A. B.a11 C. D. C. D. 解析解析 f( (x)=3)=3ax-2-2a+1+1在在-1-1，11上存在一个零点，上存在一个零点， 则则f(-1)(-1)f(1)0,(1)0,即即D3.3.函数图象与函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公轴均有公共点，但不能用二分法求公 共点横坐标的是共点横坐标的是 （ ） 解析解析 图图B B不存在包含公共点的闭区间不存在包含公共点的闭区间a，b使函使函 数数f（a）f（b）0. 0. B 4.4.下列函数中在区间下列函数中在区间1,21,2上一定有零点的是（上一定有零点的是（ ） A.A.f( (x)=3)=3x2 2-4-4x+5+5 B. B.f( (x)=)=x3 3-5-5x-5-5 C. C.f( (x)=)=mx2 2-3-3x+6+6 D. D.f( (x)=e)=ex+3+3x-6-6 解析解析 对选项对选项D D，f（1 1）=e-30=e-300， f（1 1）f（2 2）0. 0. D5.5.设函数设函数则函数则函数f( (x)- )- 的零点是的零点是_._. 解析解析 当当x11时，时， 当当x11时，时， ( (舍去大于舍去大于1 1的根的根).). 的零点为的零点为 题型一题型一 零点的判断零点的判断【例例1 1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点判断下列函数在给定区间上是否存在零点. . (1) (1)f（x）= =x2 2-3-3x-18-18，x1 1，8 8； (2)(2)f（x）=log=log2 2( (x+2)-+2)-x，x1 1，3 3. . 第（第（1 1）问利用零点的存在性定理或）问利用零点的存在性定理或 直接求出零点，第（直接求出零点，第（2 2）问利用零点的存在性定理）问利用零点的存在性定理 或利用两图象的交点来求解或利用两图象的交点来求解. . 思维启迪思维启迪题型分型分类深度剖析深度剖析解解 （1 1）方法一方法一f（1 1）=1=12 2-3-31-18=-2001-18=-2008-18=220，f(1)(1) f(8)0(8)log3-1log2 22-1=0,2-1=0, f(3)=log(3)=log2 25-3log5-3log2 28-3=0,8-3=0,f（1 1） f（3 3）00，故故f( (x)=log)=log2 2( (x+2)-+2)-x, ,x11，33存在零点存在零点. .方法二方法二 设设y=log=log2 2( (x+2),+2),y= =x, ,在同一直角坐标系在同一直角坐标系中画出它们的图象，中画出它们的图象，从图象中可以看出当从图象中可以看出当11x33时，时，两图象有一个交点，两图象有一个交点，因此因此f( (x)=log)=log2 2( (x+2)-+2)-x, ,x11，33存在零点存在零点. . 函数的零点存在性问题常用的办法函数的零点存在性问题常用的办法有三种有三种: :一是用定理，二是解方程一是用定理，二是解方程, ,三是用图象三是用图象. .值得值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件必要条件. . 探究提高探究提高知能迁移知能迁移1 1 判断下列函数在给定区间上是否存判断下列函数在给定区间上是否存 在零点在零点. .（1 1）f( (x)=)=x3 3+1;+1;（2 2） x（0 0，1 1）. . 解解 （1 1）f( (x)=)=x3 3+1=(+1=(x+1)(+1)(x2 2- -x+1),+1), 令令f( (x)=0)=0，即，即( (x+1)(+1)(x2 2- -x+1)=0,+1)=0,x=-1,=-1, f( (x)=)=x3 3+1+1有零点有零点-1.-1.（2 2）方法一方法一 令令f( (x)=0)=0， x= =1, 1, 而而1 1 (0,1),(0,1), x(0,1)(0,1)不存在零点不存在零点. . 方法二方法二 令令 y= =x, ,在同一平面直角坐标系中，在同一平面直角坐标系中， 作出它们的图象作出它们的图象, ,从图中可以看出当从图中可以看出当00x11),1),判断判断 f( (x)=0)=0的根的个数的根的个数. . 解解 设设f1 1( (x)=)=ax ( (a1),1),f2 2( (x)=)= 则则f( (x)=0)=0的解即为的解即为 f1 1( (x)=)=f2 2( (x) )的解的解, ,即为函数即为函数f1 1( (x) ) 与与f2 2( (x) )图象交点的横坐标图象交点的横坐标. . 在同一坐标系中，作出函数在同一坐标系中，作出函数 f1 1( (x)=)=ax ( (a1)1)与与f2 2( (x)= )= 的图象的图象( (如如 图所示）图所示）. . 两函数图象有且只有一个交点，即方程两函数图象有且只有一个交点，即方程f( (x)=0)=0有且有且 只有一个根只有一个根. . 题型三题型三 零点性质的应用零点性质的应用 【例例3 3】(12(12分分) )已知函数已知函数f( (x)=-)=-x2 2+2e+2ex+ +m-1,-1,g( (x)=)=x+ + ( (x0).0). (1) (1)若若g( (x)=)=m有零点，求有零点，求m的取值范围；的取值范围； (2)(2)确定确定m的取值范围，使得的取值范围，使得g( (x)-)-f( (x)=0)=0有两个有两个 相异实根相异实根. . （1 1）可结合图象也可解方程求之）可结合图象也可解方程求之. .（2 2）利用图象求解）利用图象求解. .思维启迪思维启迪解解 （1 1）方法一方法一 等号成立的条件是等号成立的条件是x=e.=e.故故g( (x) )的值域是的值域是2e2e，+)+)， 4 4分分因而只需因而只需m2e2e，则，则 g( (x)=)=m就就有零点有零点. 6. 6分分方法二方法二 作出作出 的图象如图：的图象如图： 4 4分分 可知若使可知若使g( (x)=)=m有零点，则只需有零点，则只需m2e. 62e. 6分分方法三方法三 解方程由解方程由g（x）= =m，得，得x2 2- -mx+e+e2 2=0. =0. 此方程有大于零的根，此方程有大于零的根， 4 4分分等价于等价于 故故m2e. 62e. 6分分(2)(2)若若g( (x)-)-f( (x)=0)=0有两个相异的实根，有两个相异的实根，即即g（x）= =f（x）中函数）中函数g（x）与）与f（x）的图象有两个）的图象有两个不同的交点，不同的交点，作出作出 （x00）的图象）的图象. . f（x）=-=-x2 2+2e+2ex+ +m-1-1=-(=-(x-e)-e)2 2+ +m-1+e-1+e2 2. .其对称轴为其对称轴为x=e=e，开口向下，开口向下，最大值为最大值为m-1+e-1+e2 2. 10. 10分分故当故当m-1+e-1+e2 22e,2e,即即m-e-e2 2+2e+1+2e+1时，时，g( (x) )与与f( (x) )有两个交点，有两个交点，即即g( (x)-)-f( (x)=0)=0有两个相异实根有两个相异实根. .m的取值范围是（的取值范围是（-e-e2 2+2e+1,+). 12+2e+1,+). 12分分 此类利用零点求参数的范围的问题，可此类利用零点求参数的范围的问题，可 利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解造两函数图象求解, ,使得问题简单明了使得问题简单明了. .这也体现了这也体现了当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解参数的范围，一般采用数形结合法求解. . 探究提高探究提高知能迁移知能迁移3 3 是否存在这样的实数是否存在这样的实数a, ,使函数使函数f( (x)=)=x2 2+ + (3 (3a-2)-2)x+ +a-1-1在区间在区间-1,3-1,3上与上与x轴恒有一个零点轴恒有一个零点, , 且只有一个零点且只有一个零点. .若存在若存在, ,求出范围求出范围, ,若不存在若不存在, ,说说 明理由明理由. . 解解 =(3=(3a-2)-2)2 2-4(-4(a-1)0-1)0 若实数若实数a满足条件满足条件, ,则只需则只需f(-1)(-1)f(3)0(3)0即可即可. . f(-1)(-1)f(3)=(1-3(3)=(1-3a+2+2+a-1)-1)(9+9(9+9a-6+-6+a-1)-1) =4(1- =4(1-a)(5)(5a+1)0.+1)0. 所以所以a 或或a1. 1. 检验检验:(1):(1)当当f(-1)=0(-1)=0时，时，a=1.=1.所以所以f( (x)=)=x2 2+ +x. .令令f( (x)=0)=0，即，即x2 2+ +x=0=0，得，得x=0=0或或x=-1.=-1.方程在方程在-1,3-1,3上有两根，不合题意，故上有两根，不合题意，故a1.1.(2)(2)当当f(3)=0(3)=0时，时，a= = 解之得解之得x= = 或或x=3.=3.方程在方程在-1,3-1,3上有两根上有两根, ,不合题意不合题意, ,故故a综上所述综上所述, ,a 1. 1. 1.1.函数零点的判定常用的方法有：函数零点的判定常用的方法有：零点存在性定零点存在性定 理；理；数形结合；数形结合；解方程解方程f（x）=0.=0.2.2.研究方程研究方程f( (x)=)=g( (x) )的解，实质就是研究的解，实质就是研究G( (x)=)= f（x）- -g（x）的零点）的零点. .3.3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法. .其其 实质是通过不断地实质是通过不断地“取中点取中点”来逐步缩小零点所在来逐步缩小零点所在 的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的 任一点就是这个函数零点的近似值任一点就是这个函数零点的近似值. . 方法与技巧方法与技巧思想方法思想方法感悟提高感悟提高1.1.对于函数对于函数y= =f( (x)()(xD),),我们把使我们把使f( (x)=0)=0的实数的实数x叫叫 做函数的零点做函数的零点, ,注意以下几点注意以下几点: : (1) (1)函数的零点是一个实数函数的零点是一个实数, ,当函数的自变量取这个当函数的自变量取这个 实数时实数时, ,其函数值等于零其函数值等于零. . (2) (2)函数的零点也就是函数函数的零点也就是函数y= =f( (x) )的图象与的图象与x轴的交点轴的交点 的横坐标的横坐标. . (3) (3)一般我们只讨论函数的实数零点一般我们只讨论函数的实数零点. . (4) (4)函数的零点不是点函数的零点不是点, ,是方程是方程f( (x)=0)=0的根的根. . 失误与防范失误与防范2.2.对函数零点存在的判断中对函数零点存在的判断中, ,必须强调必须强调: :(1)(1)f( (x) )在在a, ,b上连续上连续; ;(2)(2)f( (a) )f( (b)0;)0=10， f（-1-1）f（0 0）00),0), 则则y= =f( (x) ) （ ） A.A.在区间在区间 (1,e)(1,e)内均有零点内均有零点 B.B.在区间在区间 (1,e)(1,e)内均无零点内均无零点 C.C.在区间在区间 内有零点，在区间内有零点，在区间(1,e)(1,e)内无零点内无零点 D.D.在区间在区间 内无零点内无零点, ,在区间在区间(1,e)(1,e)内有零点内有零点 解析解析 因为因为因此因此f( (x) )在在 内无零点内无零点. .因此因此f( (x) )在在(1(1，e)e)内有零点内有零点. .答案答案 D D 3.3.（20092009福建文，福建文，1111）若函数若函数f（x）的零点与）的零点与 g( (x)=4)=4x+2+2x-2-2的零点之差的绝对值不超过的零点之差的绝对值不超过0.250.25，则，则 f( (x) )可以是可以是 （ ） A.A.f( (x)=4)=4x-1 B.-1 B.f( (x)=()=(x-1)-1)2 2 C. C.f( (x)=e)=ex-1 D. -1 D. 解析解析 g( (x)=4)=4x+2+2x-2-2在在R R上连续且上连续且 设设g( (x)=4)=4x+2+2x-2-2的零点为的零点为x0 0, ,则则 又又f( (x)=4)=4x-1-1零点为零点为 f( (x)=()=(x-1)-1)2 2零点为零点为x=1;=1; f( (x)=e)=ex-1-1零点为零点为x=0;=0; 零点为零点为答案答案 A A 4.4.方程方程| |x2 2-2-2x|=|=a2 2+1(+1(aR R+ +) )的解的个数是的解的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4 解析解析 aR R+ +，a2 2+11.+11. 而而y=|=|x2 2-2-2x| |的图象如图，的图象如图， y=|=|x2 2-2-2x| |的图象与的图象与y= =a2 2+1+1 的图象总有两个交点的图象总有两个交点. . 方程有两解方程有两解. . B5.5.方程方程| |x|(|(x-1)-1)-k=0=0有三个不相等的实根，则有三个不相等的实根，则k的取的取 值范围是值范围是 （ ） A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 本题研究方程根的个数问题本题研究方程根的个数问题, ,此类问题首选此类问题首选 的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题, ,其其 次是直接求出所有的根次是直接求出所有的根. .本题显然考虑第一种方法本题显然考虑第一种方法. .如图，作出函数如图，作出函数y=|=|x| |( (x-1)-1)的的图象，由图象知当图象，由图象知当k 时，时，函数函数y= =k与与y=|=|x|(|(x-1)-1)有有3 3个不同的个不同的交点，即方程有交点，即方程有3 3个实根个实根. . 答案答案 A A6.6.设设f( (x)=)=x3 3+ +bx+ +c ( (b0)(-10)(-1x1),1),且且 则方程则方程f( (x)=0)=0在在-1,1-1,1内内( ) ( ) A. A.可能有可能有3 3个实数根个实数根 B.B.可能有可能有2 2个实数根个实数根 C.C.有唯一的实数根有唯一的实数根 D.D.没有实数根没有实数根 解析解析 f（x）= =x3 3+ +bx+ +c （b00），）， f(x)=3)=3x2 2+ +b0,0,f（x）在）在-1,1-1,1上为增函数上为增函数, , 又又 f（x）在）在 内存在唯一零点内存在唯一零点. . C二、填空题二、填空题7.7.若函数若函数f( (x)=)=x2 2- -ax- -b的两个零点是的两个零点是2 2和和3 3，则函数，则函数 g( (x)=)=bx2 2- -ax-1-1的零点是的零点是_._. 解析解析 g（x）=-6=-6x2 2-5-5x-1-1的零点为的零点为 8.8.若函数若函数f( (x)=)=x2 2+ +ax+ +b的两个零点是的两个零点是-2-2和和3,3,则不等式则不等式 af(-2(-2x)0)0的解集是的解集是_._. 解析解析 f（x）= =x2 2+ +ax+ +b的两个零点是的两个零点是-2-2，3. 3. -2 -2，3 3是方程是方程x2 2+ +ax+ +b=0=0的两根，的两根， 由根与系数的关系知由根与系数的关系知 f( (x)=)=x2 2- -x-6.-6.不等式不等式af(-2(-2x)0)0， 即即-(4-(4x2 2+2+2x-6)0-6)0 2 2x2 2+ +x-30,-30, 解集为解集为9.9.已知已知y= =x( (x-1)(-1)(x+1)+1)的图象如图所示的图象如图所示, ,今考虑今考虑f( (x)= )= x( (x-1)(-1)(x+1)+0.01,+1)+0.01,则方程则方程f( (x)=0)=0 有三个实根；有三个实根； 当当x-1-1时时, ,恰有一实根恰有一实根( (有一有一 实根且仅有一实根实根且仅有一实根);); 当当-1-1x00时，恰有一实根；时，恰有一实根； 当当00x111时，恰有一实根时，恰有一实根. . 则正确结论的编号为则正确结论的编号为_. _. 解析解析 f（-2-2）=-2=-2(-3)(-3)(-1)+0.01=-5.990,(-1)+0.01=-5.990=0.010，即，即f(-2)(-2)f(-1)0(-1)0,(0)=0.010,由图知由图知f( (x)=0)=0在在(-1,0)(-1,0)上没有实数上没有实数根根, ,所以所以不正确不正确. .又又f(0.5)=0.5(0.5)=0.5(-0.5)(-0.5)1.5+0.01=-0.3650,1.5+0.01=-0.3650,(1)=0.010,即即f(0.5)(0.5)f(1)0,(1)0,所以所以f( (x)=0.)=0.在在(0.5,1)(0.5,1)上必有一个实根上必有一个实根, ,且且f(0)(0)f（0.50.5）0,00且且f( (x) )在（在（1 1，+）上是增函数，）上是增函数，f（x）0,0,f( (x)=0)=0在（在（1 1，+）上没有实根）上没有实根. .不正确不正确. .并且由此可知并且由此可知也正确也正确. . 答案答案 三、解答题三、解答题10.10.已知函数已知函数f( (x)=4)=4x+ +m2 2x+1+1有且仅有一个零点，求有且仅有一个零点，求 m的取值范围，并求出该零点的取值范围，并求出该零点. . 解解 f（x）=4=4x+ +m2 2x+1+1有且仅有一个零点，有且仅有一个零点， 即方程即方程(2(2x) )2 2+ +m2 2x+1=0+1=0仅有一个实根仅有一个实根. . 设设2 2x= =t ( (t0)0)，则，则t2 2+ +mt+1=0.+1=0. 当当=0,=0,即即m2 2-4=0-4=0， m=-2=-2时，时，t=1;=1;m=2=2时，时，t=-1=-1不合题意，舍去，不合题意，舍去， 2 2x=1=1，x=0=0符合题意符合题意. . 当当00，即，即m22或或m-20,=10,则应有则应有f(2)0,(2)0, 又又f（2 2）=2=22 2+ +（m-1-1）2+1,2+1, m 若若f( (x)=0)=0在区间在区间0,20,2上有两解上有两解, ,则则由由可知可知m-1. -1. 12.12.已知已知a是实数，函数是实数，函数f( (x)=2)=2ax2 2+2+2x-3-3-a. .如果函数如果函数 y= =f( (x) )在区间在区间-1-1，1 1上有零点上有零点, ,求求a的取值范围的取值范围. . 解解 （1 1）当）当a=0=0时，时，f( (x)=2)=2x-3.-3. 令令2 2x-3=0,-3=0,得得x= = -1-1，1 1 f（x）在）在-1-1，1 1上无零点，故上无零点，故a0. 0. （2 2）当）当a00时，时，f( (x)=2)=2ax2 2+2+2x- - 3- 3-a的对称轴为的对称轴为 当当 -1,-1,即即00a 时，时，须使须使a的解集为的解集为 . .当当-1 0,-1 时，时，须使须使解得解得a1,1,a的取值范围是的取值范围是1 1，+). +). （3 3）当）当a00时，时， 当当0 1,01,1,即即 a00时，时，须有须有a的解集为的解集为 . .综上所述，综上所述，a的取值范围是的取值范围是 返回返回