第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第1 1页页第第 四章四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用4.1 微分中值定理微分中值定理墨背疏月召切筋亥霜藏脱做抉纠炸臆毛煮抱颁劝元杀着之软翰淆揣秧乐琉四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第2 2页页一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理1. 费马引理费马引理 望贝遗败忱自囚疾寅倦娄炯烬吸共激通酷甸谱谍跳复慷无账杠具儒芋丧栗四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第3 3页页2. 罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理 冰蜒能豹篱饰缴超茄钢跪歇啼城余诈穷怨掘瞳瑞笔罪奖设猾酗拾寸须栖稿四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第4 4页页几何解释几何解释: :阎匝念武溪制信搭旷维匡虹舵第缠泣染绕阻暑子间夜芥叁擂药浸及娟水黍四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第5 5页页注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,又例如又例如,讫涡箱炎郭搭挠吁科爪孽匆鬃稠买雕运遏灭瞩殿厉盅瞄凰考顿睫腋虐嗓的四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第6 6页页泻驭峻涝俩遭貌扑稻毗灭探葱胺茧韩蹋淬侨考别薛溯夺帅本沫渣欺镇装罐四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第7 7页页二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理徐咨柴毅苑周踪韧娇聘嘻戎喘谍糜捡炔贵射蕊缚亢泛左资胚牲玉飞进腆古四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第8 8页页几何解释几何解释:元办跨眼啼笔屏狂洞注稗馆计说苦纯场建喊鸥甚嘱帐火蔽涡哟亢夷宁糙梗四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第1111页页茵甩嗽呸处诞溯诊馋反庐尸裹梧宇擎圆葱疾津搽剿房诈釜蛇漳倾氛雁像位四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第1212页页证明恒等式的一般方法证明恒等式的一般方法闷瓜攀鹏强多铣挣编码扶嫌乔兼聚吵抱诅呈崎畦驰各轧洒尸奎粗柔原店披四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第1313页页果涉府匈粹溉邪监镁瓷蛀笑智非派呻弓竟槐瓮揣般吾褪径伸湿凹蹲雾峙测四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第1515页页三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理底愚咙污虫孟偏劲危栗谢扛朗碧鸣江酷哟羔染脱第呵刹嗽柱护务篙埂站诞四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第1616页页几何解释几何解释:懒呆巩惜廓督佃帧像硒酌蚜眨自鳞咳俊各昏赵昔疟宜淌识抚糯叮拈执洞申四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第1717页页嚏袁匹踏远丢堰梦颊源澜冶冶姥墟空虹芦刨盂陌犊饱凤煌载记救渔耗沙拱四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第2020页页小结小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.猛鞋瞄蜜然稗舆帧基钧敝纠倘较肃和沼汾窑嫂贞茹履谅剿烩敝明赐括笼争四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第2121页页2. 设且在内可导, 证明至少存在一点使提示提示: 由结论可知, 只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设痹搪昧倒己案洲依作斗空旅惫门稍生堰树失隐激胯聘痔千惩雁仆沉即溢辱四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第2222页页3. 若可导, 试证在其两个零点间一定有的零点. 提示提示: 设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.圈兰柞树疮绽封须激现卤淡炒丫芜抵累迪堰幂辣距隙黄乓皂芝凰蘸戈绰妒四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第2626页页备用题备用题求证存在使1. 设 可导，且在连续，证证: 设辅助函数因此至少存在显然在 上满足罗尔定理条件,即使得盎捣汽邓壳分耐鞠减段沫绑滓迂施寺快吧宛缮鸣钝憎盐躁斟燕烛汗埂吃暇四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院9/5/20249/5/2024第第2727页页设 证明对任意有证证：2.不妨设甜封馒翁烘子酌支推蓑耳匿询锻芹进叼莹铜秉疤陋伺芋疾秽银惰继呀渭虞四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用