本章题头内容提要Contentschapter 4刚体的定轴转动刚体的定轴转动rotation of rigid-body with a fixed axis刚体作定轴转动时的功能关系刚体作定轴转动时的功能关系relation of work with energy in rotation of rigid-body角动量与角动量守恒角动量与角动量守恒angular momentum andlaw of conservation of angular momentum 刚体的角动量守恒刚体的角动量守恒law of conservation of angular momentum of rigid-body第一节4 - 14 - 1angular momentum andlaw of conservation of angular momentum rOmv速度位矢质量角夹rv大量天文观测表明大量天文观测表明rmvsin常量常量大小：大小：Lrmvsin方向：方向：rmv()rvL定义：定义：rpLrmv运动质点运动质点mO对对 点的点的 角动量角动量 为为问题的提出地球上的单摆大小会变变太阳系中的行星大小未必会变。靠什么判断？变变变大小质点 对 的角动量问题的提出问题的提出质点角动量定理导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？思路： 分析与什么有关？由则两平行矢量的叉乘积为零得角动量的时间变化率质点 对参考点 的位置矢量所受的合外力等于叉乘微分形式是力矩的矢量表达：而即力矩大小方向垂直于所决定的平面，由右螺旋法则定指向。得质点 对给定参考点 的角动量的时间变化率所受的合外力矩称为质点的 角动量定理 的微分形式 如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用代数法求合力矩。积分形式质点的角动量定理也可用积分形式表达由称为 冲量矩角动量的增量这就是质点的 角动量定理 的积分形式例如， 单摆的角动量大小为 L = = mv r, v为变量。 在 t = 0 时从水平位置静止释放，初角动量大小为 L0= m v0 r = =0； 时刻 t 下摆至铅垂位置， 角动量大小为 L = = m v r 。则此过程单摆所受的冲量矩大小等于 L-L0= m v r = = m r 2gr 。归纳归纳归纳质点的 角动量定理角动量的时间变化率所受的合外力矩冲量矩角动量的增量当0时，有0即物理意义：当质点不受外力矩或合外力矩为零物理意义：当质点不受外力矩或合外力矩为零（如（如有心力作用）时，质点的角动量有心力作用）时，质点的角动量前后不改变。前后不改变。（后面再以定律的形式表述这一重要结论）质点角动量守恒根据质点的 角动量定理 若则即常矢量当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 为零，即质点对该点的角动量 守恒。称为 若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积定律证明 时刻 m 对 O 的角动量大小为即因行星受的合外力总指向是太阳，角动量 守恒。瞬间位矢扫过的微面积则常量（称为掠面速率）故，位矢在相同时间内扫过的面积相等质点系角动量惯性系中某给定参考点质点系角动量定理将对时间求导 内力矩在求矢量和时成对相消内内外外某给定参考点内外外内外得外质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和称为微分形式微、积分形式将对时间求导 内力矩在求矢量和时成对相消内内外外某给定参考点内外外内外得外质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和称为微分形式外质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和的微分形式质点系所受的质点系的冲量矩角动量增量的积分形式 若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。质点系角动量守恒外由若则或恒矢量当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。随堂小议（1）（2）（3）（4）两人两人同时到达；同时到达；用力上爬者先到；用力上爬者先到；握绳不动者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。以上结果都不对。（请点击你要选择的项目）两人两人质量相等质量相等一一人人握握绳绳不不动动一一人人用用力力上上爬爬可能出现的情况是可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略小议链接1（请点击你要选择的项目）两人两人质量相等质量相等一一人人握握绳绳不不动动一一人人用用力力上上爬爬可能出现的情况是可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人两人同时到达；同时到达；用力上爬者先到；用力上爬者先到；握绳不动者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。以上结果都不对。小议链接2（请点击你要选择的项目）两人两人质量相等质量相等一一人人握握绳绳不不动动一一人人用用力力上上爬爬可能出现的情况是可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人两人同时到达；同时到达；用力上爬者先到；用力上爬者先到；握绳不动者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。以上结果都不对。小议链接3（请点击你要选择的项目）两人两人质量相等质量相等一一人人握握绳绳不不动动一一人人用用力力上上爬爬可能出现的情况是可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人两人同时到达；同时到达；用力上爬者先到；用力上爬者先到；握绳不动者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。以上结果都不对。小议链接4（请点击你要选择的项目）两人两人质量相等质量相等一一人人握握绳绳不不动动一一人人用用力力上上爬爬可能出现的情况是可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人两人同时到达；同时到达；用力上爬者先到；用力上爬者先到；握绳不动者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。以上结果都不对。小议分析同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系若系统受合外力矩为零，角动量守恒。系统的初态角动量系统的末态角动量得不论体力强弱，两人等速上升。若系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。第二节rotation of rigid-body with a fixed axis4 - 24 - 2 刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。）平 动 刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的 相同，可当作质点处理。定轴转动 刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且转轴空间位置及方向不变。平面运动 刚体质心限制在一平面内，转轴可平动，但始终垂直于该平面且通过质心定点运动 刚体上各质点都以某一定点为球心的各个球面上运动。一般运动 复杂的运动与平动的混合。定轴转动参量刚体转轴1. 角位置转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)(t+t)参考方向刚体中任一点刚体定轴转动的运动方程2. 角位移3. 角速度常量静止匀角速变角速4. 角加速度变角加速常量 匀角加速匀角速用矢量表示 或 时，它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则 转动方程求导例题单位：rad-1rad s-2rad srad 50p 51p 52p 53p1rad stsrad100p150pst 50p p 2rad stsp-1rad s-2rad s匀 变 角 速 定 轴 转 动积分求转动方程任意时刻的恒量且 t = 0 时 得得或匀变角速定轴转动的角位移方程匀变角速定轴转动的运动方程线量与角量的关系定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ，瞬时角加速度为 ， 刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P 的大小 瞬时线速度瞬时切向加速度瞬时法向加速度这是定轴转动中线量线量与角量角量的基本关系公式对比质点直线运动或刚体平动刚 体 的 定 轴 转 动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移匀速直线运动匀速直线运动匀角速定轴转动匀角速定轴转动匀变速直线运动匀变速直线运动匀变角速定轴转动匀变角速定轴转动刚体转动定律引言质 点的运动定律或刚体平动F = m a惯性质量惯性质量合合 外外 力力合合加速度加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？主要概念使刚体产生转动效果的合外力矩刚体的转动定律刚体的转动惯量合外力矩 外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动M = r F111力矩切向1Ft tFrM叉乘右螺旋1M2MM = r F222M = r F sin j j222大小2r2=2Ft td2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ft tr11Ft tr1=1Ft tM = r F sin j j111大小1d1=1Fj j1d1r1F1P1OF2r22Ft tP2j j2d2切向方向转动定律某质元fi受内力受外力FiFi+ f =aii其法向n 分量均通过转轴，不产生转动力矩。t t其切向投影式为ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬时角速度角加速度瞬时等式两边乘以 ri 并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消= 0+riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=转动惯量某质元fi受内力受外力FiFi+ f =aii其法向n 分量均通过转轴，不产生转动力矩。t t其切向投影式为ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬时角速度角加速度瞬时等式两边乘以 ri 并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消= 0+riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=Mb bri=与刚体性质及质量分布有关的物理量，用 表示称为 转动惯量转动惯量I刚体的转动定律即刚体所获得的角加速度 的大小与刚体受到的 合外力矩 的大小成正比，与刚体的转动惯量 成反比。转动惯量的计算Mb b=I将刚体转动定律与质点运动定律F=am对比转动惯量 是刚体转动惯性的量度II 与刚体的质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关质量连续分布的刚体用积分求I 为体积元 处的密度II的单位为分立质点的算例可视为分立质点结构的刚体转轴 若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则转轴0.75直棒算例质量连续分布的刚体匀直细杆对中垂轴的匀直细杆对端垂轴的质心新轴质心轴平行移轴定理平行移轴定理对对新新轴轴的的转动惯量转动惯量对质心轴对质心轴的的转动惯量转动惯量新轴新轴对心对心轴的轴的平移量平移量例如：例如：时时代入可得代入可得端圆盘算例匀质薄圆盘对心垂轴的 取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元球体算例匀质实心球对心轴的可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量 的迭加距 为 、半径为 、微厚为的薄圆盘的转动惯量为其中常用结果LRmm匀质薄匀质薄圆盘圆盘匀质细直棒匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面22I =m R123I =m L1转轴通过端点与棒垂直其它典型匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I = (a + b ) 22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面I = m R 2匀质细圆环转轴沿着环的直径2I =2m R匀质厚圆筒转轴沿几何轴I = (R1 + R2 ) 22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI = R + 22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2I =2m R3转动定律例题一合外力矩 应由各分力矩进行合成 。 合外力矩 与合角加速度 方向一致。在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为复。与时刻对应，何时何时则何时 ，则何时恒定恒定。 匀直细杆一端为轴水平静止释放转动定律例题二T1T2a（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑T2T1G1G2T2T1a ab b T1 m1 g = m1am2 g T2 = m2a( T2 T1 ) R = Ib b a = Rb bI = m R 22转动平动线-角联立解得a=m1m1+ m2+ gm2m21gT1 = m1 ( g + a )T2 = m2 ( g a )m1 gm2 g如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为( T2 T1 ) R Mr= Ib b再联立求解。转动定律例题三Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度 b b细绳线加速度 a（A）（B）转动定律例题四Rm1m2mm= 5kgm2= 1kg m1= 3kgR = 0.1mT2T1T1T2G1G2b baa对对m1m2m分别应用分别应用和和质点运动和刚体转动定律质点运动和刚体转动定律m1 g T1 = m1aT2 m2 g = m2a( T1 T2 ) R = Ib b及 a = Rb bI = mR221得b b =(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)常量(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)故由(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)2 (rad)gt物体从静止开始运动时，滑轮的 转动方程转动定律例题五q qq q 从等倾角 处静止释放两匀直细杆地面两者瞬两者瞬时时角加速度之比角加速度之比213q q1q q1321根据短杆的短杆的角加速度大角加速度大且与匀质直杆的质量无关且与匀质直杆的质量无关第三节4 - 34 - 3relation of work with energy in rotation of rigid-body刚体中任一质元 的速率该质元的动能对所有质元的动能求和转动惯量 II得得力矩的功力力 的元功的元功力对力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算转动刚体所作的功用力矩的功来计算若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，作的总功为作的总功为力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率力矩的功算例拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小总摩擦力矩 是各微环带摩擦元力矩 的积分环带面积环带质量环带受摩擦力环带受摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功得粗 糙 水 平 面转轴平放一圆盘刚体的动能定理回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理由由 力矩的元功力矩的元功转动定律转动定律则则合合外力矩的功外力矩的功转动动能的增量转动动能的增量称为动能定理例题一匀质圆盘盘缘另固连一质点水平静止释放通过盘心垂直盘面的水平轴圆盘下摆 时质点 的角速度、切向、法向加速度的大小对系统外力矩的功系统转动动能增量其中得由转动定律得则动能定理例题二外力矩作的总功从水平摆至垂直由得代入得本题利用的关系还可算出此时杆上各点的线速度水平位置静止释放摆至垂直位置时杆的匀直细杆一端为轴动能定理例题三段，外力矩作正功段，外力矩作负功合外力矩的功从水平摆至垂直由得转轴对质心轴的位移 代入得摆至垂直位置时杆的水平位置静止释放含平动的转动问题机械外力非保守内力矩力力矩动势动势平动转动平动转动系统（轮、绳、重物、地球）左例忽略摩擦外力力矩非保守内力矩力平动转动势平动转动势可求或此外势第四节4 - 44 - 4law of conservation of angular momentum of rigid-body定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加 所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动任一质元（视为质点）的质量其角动量大小全部质元的总角动量对质量连续分布的刚体刚体的角动量定理合合外力矩外力矩角动量的时间变化率角动量的时间变化率（微分形式）（积分形式）冲量矩冲量矩角动量的增量角动量的增量回忆质点的角动量定理（微分形式）（积分形式）刚体系统的角动量定理若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体系统的总合外力矩系统的总合外力矩 系统的总角动量的变化率系统的总角动量的变化率系统的总冲量矩系统的总冲量矩系统的总角动量增量系统的总角动量增量系统： 轻绳（忽略质量）总合外力矩对O的角动量对O的角动量由得同向而解得例如例如静止释放求角加速度主要公式归纳（微分形式）（积分形式）是矢量式与质点平动对比刚体的角动量守恒定律由刚体所受合外力矩若则即 当刚体所受的合外力矩 等于零时， 刚体的角动量 保持不变。回转仪定向原理万向支架受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。角动量守恒恒恒矢量矢量回转仪定向原理回转仪定向原理其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向任一方向使其以角速度 高速旋转则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响基 座回转体 （转动惯量 ）角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花 样 滑 冰收臂大小张臂大小先使自己转动起来收臂大小共轴系统的角动量守恒共轴系统若外则恒矢量轮、转台与人系统轮人台初态全静初人沿某一转向拨动轮子轮末态人台轮轮末人台人台初得人台人台轮轮导致人导致人台台反向转动反向转动直升飞机防旋措施直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（支奴干 CH47)用 尾 浆（美洲豹 SA300）（ 海豚 ）守恒例题一A、B两轮共轴A以w wA A作惯性转动 以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。初态角动量末态角动量得两轮啮合后一起作惯性转动的角速度w wABAB守恒例题二以弹、棒为系统击入阶段子弹击入木棒瞬间，系统在铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。该瞬间之始该瞬间之末弹棒弹棒弹嵌于棒子弹上摆最大转角木棒上摆阶段弹嵌定于棒内与棒一起上摆，非保守内力的功为零，由系统动能定理外力（重力）的功外上摆末动能上摆初动能其中联立解得守恒例题三 满足什么条件时，小球（视为质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而小球恰好静止。直棒起摆角速度匀质直棒与单摆小球的质量相等两者共面共转轴水平静止释放静悬弹碰忽略摩擦联立解得0.5771.861对摆球、直棒系统小球下摆阶段从水平摆到弹碰即将开始，由动能定理得其中 球、棒相碰瞬间在铅垂位置，系统受合外力矩为零，角动量守恒。刚要碰时系统角动量刚碰过后系统角动量球棒球棒弹碰阶段弹碰过程能量守恒作业HOME WORK4 - 144 - 1 54 - 1 84 - 2 2