第第第第 五五五五 章章章章 直线与平面、直线与平面、直线与平面、直线与平面、 平面与平面平面与平面平面与平面平面与平面的相对位置的相对位置的相对位置的相对位置 （编制（编制 李小李小平）平）本本 章章 目目 录录5-1 5-1 平行问题平行问题5-2 5-2 相交问题相交问题5-3 5-3 垂直问题垂直问题5-4 5-4 综合问题解题示例综合问题解题示例5-1 5-1 平行问题平行问题一、一、 直线和平面平行直线和平面平行二、二、 平面和平面平行平面和平面平行 本章介绍它们的投影特性和作图方法。本章介绍它们的投影特性和作图方法。 直线与平面、平面与平面的相对直线与平面、平面与平面的相对位置可能是位置可能是平行平行、相交相交或或垂直垂直。一、一、 直线和平面平行直线和平面平行定理定理 如果平面外的一如果平面外的一条直线和平面内的一条条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直直线平行，那么这条直线和这个平面平行。线和这个平面平行。QABCD 有关直线与平面平行的作图问题：有关直线与平面平行的作图问题：1.1.作直线作直线已知平面。已知平面。2.2.作平面作平面已知直线。已知直线。3.3.判断已知直线、平面是否平行。判断已知直线、平面是否平行。222 2例例1 1 含点含点I(1,1)I(1,1)作平面与直线作平面与直线AB(AB(abab,ab),ab)平行。平行。11331 13 3aaa ab b bbX X 作作 法法(1) (1) 过点过点作直作直线线与与ABAB平行平行(2)(2)含直线含直线作一任意平面。作一任意平面。图图 5-1 5-1例例 2 2 判断直线判断直线ABAB与与是否平行。是否平行。图图 5-2 5-2 ab321ab312x 作作 法法 (1)(1)在平面任一投在平面任一投影中，作面内直线影中，作面内直线CFCFABAB的同面投影。的同面投影。(2) (2) 求求CFCF的另一投的另一投影，并判断直线影，并判断直线CFCF是否是否ABAB 。dfcfdc特殊情况特殊情况 若直线与某一投影面的垂直面平行，若直线与某一投影面的垂直面平行，则它们在该投影面上的投影一定平行。则它们在该投影面上的投影一定平行。X直线投影直线投影平面有积聚性的同面投影平面有积聚性的同面投影, ,它们在空间必互相平行它们在空间必互相平行特殊情况特殊情况 若直线与平面同时垂直某一投影面，若直线与平面同时垂直某一投影面，则它们空间一定平行。则它们空间一定平行。X直线与平面对某一投影面同时有积聚直线与平面对某一投影面同时有积聚性性, ,它们在空间必互相平行。它们在空间必互相平行。PH二、二、 平面和平面平行平面和平面平行定理定理 如果一个平面内的相交两直线与另一个平面如果一个平面内的相交两直线与另一个平面内的相交两直线对应平行，那么这两个平面平行。内的相交两直线对应平行，那么这两个平面平行。PQABCDC1D1A1B1 有关两平面平行的作图问题：有关两平面平行的作图问题：1.1.作平面作平面已知平面。已知平面。2.2.判断两已知平面是否平行。判断两已知平面是否平行。例例 含点含点A A1 1作平面平行定平面作平面平行定平面 ( (A A2 2B B2 2AA2 2C C2 2) )。c2Xa1a2 b2 b2 a1a2c2b1 b1c1 c1图图 5-3 5-3 c2Xa2 b2 b2a2c2 b1b1a1c1 a1 c1例例 判断两平面是否平行判断两平面是否平行。 分析：分析：若若两面相互平两面相互平行，则它们行，则它们有一对相互有一对相互平行的相交平行的相交直线。直线。讨论讨论 相互平行的两投影面垂直面，它们的一对有相互平行的两投影面垂直面，它们的一对有积聚性的同面投影必平行。积聚性的同面投影必平行。x xacabcb1 12 23 3112233dd图图 5-4 5-4 若两正垂面若两正垂面相互平行，则相互平行，则它们的正面投它们的正面投影相互平行。影相互平行。 若两铅垂面相互平行，则它们的水平投影相互平行。若两铅垂面相互平行，则它们的水平投影相互平行。Xx x1 12 23 3112233 分析：分析：若两若两面相互平行，面相互平行，则它们的有积则它们的有积聚性的同面投聚性的同面投影相互平行。影相互平行。PV例例 含点含点A A1 1作平面平行平面作平面平行平面 。a aa a5-2 5-2 相交问题相交问题一、特殊线、面与一般直线或平面的一、特殊线、面与一般直线或平面的相交相交二、一般直线与一般平面的相交二、一般直线与一般平面的相交三、两一般位置平面的交线三、两一般位置平面的交线 相相 交交 问问 题题 直线与平面不平行时即相交，交点是直线与平面不平行时即相交，交点是直线与平面的直线与平面的共有点共有点； 两平面不平行时必相交，其交线是两两平面不平行时必相交，其交线是两平面的平面的共有线共有线。一、特殊位置线、面与一一、特殊位置线、面与一般位置直线或平面的相交般位置直线或平面的相交 交点交点、交线交线为线与面、面与面两者所为线与面、面与面两者所共有共有，如果其中有一个处于垂直投影面的特殊位置，如果其中有一个处于垂直投影面的特殊位置，则则可利用其投影的积聚性直接求出交点或交线可利用其投影的积聚性直接求出交点或交线的一个投影的一个投影，另外的投影可根据其在线上（或，另外的投影可根据其在线上（或在面内）特点按投影关系求出。在面内）特点按投影关系求出。 如果平面为投影面平行面或投影面垂直面，如果平面为投影面平行面或投影面垂直面，则可利用则可利用平面投影的积聚性平面投影的积聚性直接定出交点的直接定出交点的一个投影。一个投影。1.1.特殊位置平面与一般位置直线相交特殊位置平面与一般位置直线相交例例 求直线求直线ABAB与铅垂面与铅垂面EFGHEFGH的交点的交点K K。K K 求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性。别直线的可见性。（1 1） 求出交点后，对于直线求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性（不重叠的部别直线的可见性（不重叠的部分都是可见的）。分都是可见的）。（2 2）交点交点是直线可见部分与不是直线可见部分与不可见部分的可见部分的分界点分界点。（3 3）判别方法判别方法 A.A.直接观察直接观察; ; B. B.利用交叉直线的重影点。利用交叉直线的重影点。 关于直线可见性的判别关于直线可见性的判别k k11(2)(2)x xcceeddaabbc ca ab be ed d例例 求直线求直线ABAB与铅垂面与铅垂面CDECDE的交点的交点K K。 分分 析析 利用铅垂面利用铅垂面水平投影的积水平投影的积聚性求交点聚性求交点图图 5-5 5-5 1 12 2k k例例 求求ABAB与与P P平面的交点。平面的交点。 分分 析析 利用利用P PV V的积的积聚性求交点。聚性求交点。k ka ab bP PH HP PV Va ab bx xp px x图图 5-6 5-6 k k11x xcceeddaa（bb）c ca ab be ed d例例 求正垂线求正垂线ABAB与与CDECDE的交点的交点K K。 分分 析析 利用线利用线V V面投影面投影的积聚性确定交点的积聚性确定交点的一个投影，根据的一个投影，根据点在面上求出交点点在面上求出交点的另一投影。的另一投影。1 12 2k k22k k特殊位置直线与一般位置平面相交特殊位置直线与一般位置平面相交 两平面不平行时必相交，其两平面不平行时必相交，其交线交线是两平面的是两平面的共有线，是平面可见部分与不可见部分的分界线共有线，是平面可见部分与不可见部分的分界线。 两平面的交线是直线。因此，求作两平面交线两平面的交线是直线。因此，求作两平面交线的方法是：的方法是：求出交线上的两个点，在两个平面的求出交线上的两个点，在两个平面的公共范围处连出交线公共范围处连出交线。两平面相交两平面相交2. 2. 特殊位置平面与一般位置平面的交线特殊位置平面与一般位置平面的交线 当相交两平面之一为特殊位置平面时，当相交两平面之一为特殊位置平面时，可利用它的投影的积聚性直接求出交线上可利用它的投影的积聚性直接求出交线上的两个点，然后连成交线。的两个点，然后连成交线。deaab bXedffcckl例例 求求DEFDEF(H H面面) )与与ABCABC的交线的交线KLKL。 分分 析析 利用利用dfedfe的积聚的积聚性，求两平面交性，求两平面交线。线。k11(2)(2)12（1 1） 求出交线后，对于求出交线后，对于两平面同面投影重叠两平面同面投影重叠的部的部分，要判别可见性（不重分，要判别可见性（不重叠的部分都是可见的）。叠的部分都是可见的）。（2 2）交线交线是可见部分与不是可见部分与不可见部分的分界线。可见部分的分界线。（3 3）判别方法判别方法 A.A.直接观察直接观察; ; B. B.利用交叉直线的重利用交叉直线的重 影点。影点。图图 5-7 5-7 l( (a) a) 全全交交( (b) b) 互交互交两平面相交的两种情况两平面相交的两种情况 全交：全交：一个平面全部穿过另一个平面一个平面全部穿过另一个平面; ; 互交：互交：两个平面的边线互相穿过。两个平面的边线互相穿过。 分分 析析 利用水平面利用水平面efgefg的积聚性的积聚性求两平面交线。求两平面交线。ecgf1efg1dbakllabcdkx例例 求求EFGEFG(H H面面) )与平面与平面ABCDABCD的交线，并判断可见性。的交线，并判断可见性。图图 5-8 5-8 本题中两平面图本题中两平面图形只有部分互交。求形只有部分互交。求交时要注意除去交线交时要注意除去交线多余的部分。多余的部分。 当两平面同时垂直某一投影面时，当两平面同时垂直某一投影面时，它们的交线也是此投影面的垂直线。它们的交线也是此投影面的垂直线。xegfefgcbaabc例例 求两面的交线。求两面的交线。各种位置平面间的交线各种位置平面间的交线例例 3 3 求矩形平面与两个共边三角形平面的交线。求矩形平面与两个共边三角形平面的交线。 分分 析析 利用水平面投利用水平面投影的积聚性求两平影的积聚性求两平面交线。面交线。 水平面与两三角水平面与两三角形的交线是水平线，形的交线是水平线，并且与相应的底边并且与相应的底边平行。平行。xcs1abcabs12图图 5-10 5-10 2当直线和平面都处于一般位置时，交点的求法是：当直线和平面都处于一般位置时，交点的求法是：1.1.含已知直线作辅助平面含已知直线作辅助平面; ;2.2.求辅助平面与已知平面的交线求辅助平面与已知平面的交线; ;3.3.交线与已知直线的交点即为所求。交线与已知直线的交点即为所求。为了作图方便，应选择特为了作图方便，应选择特殊位置平面作为辅助平面。殊位置平面作为辅助平面。二、一般位置直线与一般位置平面的相交二、一般位置直线与一般位置平面的相交PkPV例例1 1 求直线求直线DEDE与平面与平面ABCABC的交点。的交点。aaggffbbcckXddeek图图 5-12 5-12 aabbcckXddeek1(2)3(4)4321例例1 1 求直线求直线DEDE与平面与平面ABCABC的交点。的交点。 利用两交叉利用两交叉直线的重影点判直线的重影点判别直线的可见性。别直线的可见性。图图 5-12 5-12 解法一空间分析：解法一空间分析： 含点含点与一直线作平面，求与另与一直线作平面，求与另一直线的交点。一直线的交点。aaff2233gg4411x x2 2a a3 34 4k k1 1P PV Vf fg gkkbbb b例例2 2 含点含点A A作直线作直线ABAB使与交叉直线使与交叉直线、都相交。都相交。图图 5-13 5-13 A AB BK KB B解法二空间分析：解法二空间分析： 含点和含点和两直线分别作面，求两面交两直线分别作面，求两面交线与一直线的交点。线与一直线的交点。解法三空间分析：解法三空间分析： 将一直线变将一直线变成投影面垂直线，利用积聚性，成投影面垂直线，利用积聚性，作直线作直线ABAB与二交叉直线垂直相交与二交叉直线垂直相交A AK K例例2 2 含点含点A A作直线作直线ABAB使与交叉直线使与交叉直线、都相交。都相交。图图 5-14 5-14 例例 3 3 求求ABAB与两三角形的交点。与两三角形的交点。 作作 法法 作正垂面作正垂面Q Q求求ABAB与两三角形的交点。与两三角形的交点。abf1xa3412f2k2k1e1e2f1f2k1e1k2e2b3124(m) nQVnm图图 5-15 5-15 三、两一般位置平面的交线三、两一般位置平面的交线 常用方法：常用方法：1 1 线面交点法线面交点法 2. 2. 辅助平辅助平面法面法1. 1. 线面交点法线面交点法 当相交两平面都用平面图形表示，且同面当相交两平面都用平面图形表示，且同面投影有互相重叠的部分时，可用求直线和平面投影有互相重叠的部分时，可用求直线和平面交点的方法找出交线上的两个点。交点的方法找出交线上的两个点。QV例例 求求ABCABC和和DEFDEF的交线。（求交点）的交线。（求交点）aagffbbcckXddeehghkRVllaaffbbcckXddeek图图 5-16 5-16 aaffbbcckXddeekll121(2)3(4)34例例 求求ABCABC和和DEFDEF的交线。（判别可见性）的交线。（判别可见性）图图 5-16 5-16 fkaafbbccXddeellk 若线段的投影与另一平面图形的投影不重若线段的投影与另一平面图形的投影不重叠，就表明该线段在空间不直接与平面图形相叠，就表明该线段在空间不直接与平面图形相交（需将平面图形扩大后才有交点），则不宜交（需将平面图形扩大后才有交点），则不宜选这类直线来求交点。选这类直线来求交点。使用使用线面交点法时注意：线面交点法时注意：2. 2. 辅助平面法辅助平面法图图 5-17 5-17 作图原理作图原理1.1.求求P P、Q Q平面的交线时，任平面的交线时，任作平面作平面S S1 1，使与使与Q Q相交得交相交得交线线L L1 1，与与P P相交得交线相交得交线L L2 2；2.2.L L1 1、L L2 2的交点的交点I I为为P P、Q Q、S S1 1三面的共有点，即三面的共有点，即P P、Q Q交交线上的一个点。线上的一个点。3.3.再作平面再作平面S S2 2，又可得到交又可得到交线上的另一个交点线上的另一个交点。4.4.连接连接I I 即即P P、Q Q的交线。的交线。bb例例 求求ABCABC和平面和平面( (L L1 1 L L2 2) )的交线。的交线。ccaax xa ab bc c111 122332 23 3S S1V1VS S2V2Vl l2 2l l1 1l l2 2l l1 1k k1 1k k1 1图图 5-18 5-18 k k2 2k k2 25-3 5-3 垂直问题垂直问题一、一、 直线和平面垂直直线和平面垂直二、二、 两平面垂直两平面垂直一、一、 直线和平面垂直直线和平面垂直定理定理 如果一条直线和一个如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。那么这条直线垂直于这个平面。 直线直线L L平面平面P P内的两相交直线内的两相交直线ABAB、CDCD, , 则则L LP P面面LBACDP直线与平面垂直的投影特性：直线与平面垂直的投影特性：直线的水平投影直线的水平投影平面平面内的水平线的水平投影，直线的正面投影内的水平线的水平投影，直线的正面投影平面内的平面内的正平线的正面投影。正平线的正面投影。ccC CKA Ak ke eM MB BE EF Ff fa ab bc cH Heec cb ba aa ab bfff fe ed dddkkmmX X mk mk ef, ef, mkmk ad, MKABCad, MKABC所确定的所确定的平面。平面。 有关直线与平面垂直的作图问题：有关直线与平面垂直的作图问题：1.1.作直线作直线已知平面；作平面已知平面；作平面已知直线。已知直线。2.2.判断已知直线、平面是否垂直。判断已知直线、平面是否垂直。Q QH H例例1 1 含点含点E E作直线垂直于作直线垂直于ABCABC，并求垂足。并求垂足。a aaab bbbcceekkc ck ke e1 12 22 21 13 34 44 43 3fff fX X图图 5-21 5-21 分分 析析 先求平面的垂先求平面的垂线，然后求垂线线，然后求垂线与平面的交点。与平面的交点。( (b) b) 已知已知例例 求求C C点到直线点到直线ABAB的距离。（分析）的距离。（分析）a aa ab bb bc cc cX X( (a) a) 分析示意图分析示意图PBAKC解题步骤解题步骤: :1.1.过过C C点作点作P P面面直线直线ABAB; ;2.2.求求ABAB与与P P面的交点面的交点K K; ;3.3.求垂线求垂线CKCK的实长。的实长。P PV Va aa ab bb bc cd dc ce e1 11 12 22 2k kckckk k0 0CKCK实长实长 例例 求求C C点到直线点到直线ABAB的距离。（作图）的距离。（作图）X Xe ed dk k解题步骤解题步骤: :1.1.过过C C点作点作P P面面直线直线ABAB; ;2.2.求求ABAB与与P P面的交点面的交点K K; ;3.3.求垂线求垂线CKCK的实长。的实长。 例例2 2 已知已知ABABBCBC，求求bcbc。a aa ab bb bc cc c1 11 12 22 23 34 43 34 4X XA AB BC CP P 分分 析析1.1.过过B B点作点作P P面面直线直线ABAB 则则BCBC一定在一定在P P面内；面内；2.2.在在P P面内求面内求C C点。点。图图 5-22 5-22 二、二、 两平面垂直两平面垂直定理定理 如一直线如一直线一平面，一平面，则包含这直线的一切平面都则包含这直线的一切平面都该平面。该平面。反之，如两平面互相垂直，反之，如两平面互相垂直，则从第一平面内的任意一点向则从第一平面内的任意一点向第二平面所作的垂线，必定在第二平面所作的垂线，必定在第一平面内。第一平面内。简述简述 如一平面内有一直线垂如一平面内有一直线垂直于另一平面，则此两平面互直于另一平面，则此两平面互相垂直。相垂直。 两平面垂直的条件两平面垂直的条件 有关两平面垂直的作图问题：有关两平面垂直的作图问题：1.1.作平面作平面已知平面；已知平面；2.2.判断两已知平面是否垂直。判断两已知平面是否垂直。例例 含点含点A A作平面垂直于作平面垂直于。11223 31 12 23 355445 54 4ccaabbx xa ab bc c 分分 析析 含点含点A A只能作一只能作一直线直线定平面，但定平面，但此垂线可作无穷多此垂线可作无穷多个平面，即本题有个平面，即本题有无穷多解。无穷多解。图图 5-24 5-24 5-4 5-4 综合问题解题示例综合问题解题示例1.1.含定点或直线作平面及在定平面内取点、线。含定点或直线作平面及在定平面内取点、线。2.2.求直线与平面的交点。求直线与平面的交点。3.3.求两平面的交线。求两平面的交线。4.4.含定点作直线平行于定平面。含定点作直线平行于定平面。5.5.含定点作直线垂直于定平面。含定点作直线垂直于定平面。6.6.含定点作平面垂直于定直线。含定点作平面垂直于定直线。必须熟练掌握以下六个基本问题的作图方法：必须熟练掌握以下六个基本问题的作图方法：例例1:1:作直线作直线ABAB使与使与L L平行，并与两交叉直线平行，并与两交叉直线、相交。相交。空间解题分析一：含一直空间解题分析一：含一直线作面平行直线线作面平行直线L L，求面求面与另一直线的与另一直线的交点交点，过交，过交点作线平行直线点作线平行直线L L。1 13 31 12 23 3l l4 4l l4 42 2x x5 55 5b bb bQ QV VL LB BAaa空间解题分析二空间解题分析二：含两直线：含两直线分别作面平行直线分别作面平行直线L L，求两求两面的交线，即为所求。面的交线，即为所求。空间解题分析三空间解题分析三：用换面法将一：用换面法将一直线变换成投影面垂直线，过其直线变换成投影面垂直线，过其积聚性投影作线平行直线积聚性投影作线平行直线L L并与并与另一直线相交，即为所求。另一直线相交，即为所求。L L例例2 2 已知点已知点A A到到的距离为的距离为1515，求，求a a。1 13 31 12 23 34 44 42 2x x5 56 66 615mm15mm求垂线实长求垂线实长z z6 6-z-z1 11616a aa ab bB B0 0k kf fk kf f5 5解题步骤：解题步骤：作直线作直线平面；平面；求垂线上距面为求垂线上距面为1515的点；的点；过点作面过点作面平行原面；平行原面；A A点在平行面内，在面点在平行面内，在面内作线求内作线求A A点水平投影。点水平投影。b bb b