第第7章章 采样采样Sampling本章主要内容本章主要内容1.如何用连续时间信号的离散时间样本来表示连如何用连续时间信号的离散时间样本来表示连续时间信号续时间信号采样定理。采样定理。2.如何从采样所得到的样本重建连续时间信号。如何从采样所得到的样本重建连续时间信号。3.欠采样导致的后果欠采样导致的后果频谱混叠。频谱混叠。4.连续时间信号的离散时间处理。连续时间信号的离散时间处理。5.离散时间信号的采样、抽取及内插。离散时间信号的采样、抽取及内插。6.频域采样。频域采样。7.0 引言引言:( Introduction ) 在日常生活中，常可以看到用离散时间信号表在日常生活中，常可以看到用离散时间信号表示连续时间信号的例子。如传真的照片、电视屏幕示连续时间信号的例子。如传真的照片、电视屏幕的画面、电影胶片等等，这些都表明连续时间信号的画面、电影胶片等等，这些都表明连续时间信号与离散时间信号之间存在着密切的联系。在一定条与离散时间信号之间存在着密切的联系。在一定条件下，可以用离散时间信号代替连续时间信号而并件下，可以用离散时间信号代替连续时间信号而并不丢失原来信号所包含的信息。不丢失原来信号所包含的信息。例例1. 一幅新闻照片一幅新闻照片局部放大后的图片局部放大后的图片例例2. 另一幅新闻照片另一幅新闻照片局部放大后的图片局部放大后的图片1.在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的离在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的离散时间样本来代替而不致丢失原有的信息。散时间样本来代替而不致丢失原有的信息。2.如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地恢如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地恢复成原来的连续时间信号。复成原来的连续时间信号。3.如何对一个连续时间信号进行离散时间处理。如何对一个连续时间信号进行离散时间处理。4. 对离散时间信号如何进行采样、抽取，及内插。对离散时间信号如何进行采样、抽取，及内插。 研究连续时间信号与离散时间信号之间的关系研究连续时间信号与离散时间信号之间的关系主要包括主要包括 :7.1 用样本表示连续时间信号用样本表示连续时间信号: 采样定理采样定理一一. 采样采样: Sampling Theorem of Sampling 在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的过程称为过程称为采样。采样。 是否任何信号都可以由它的离散时间样本是否任何信号都可以由它的离散时间样本来表示？来表示？ 对一维连续时间信号采样的例子：对一维连续时间信号采样的例子： 在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信号采样所得到的样本序列不能唯一地代表原来的号采样所得到的样本序列不能唯一地代表原来的连续时间信号。连续时间信号。 此外，对同一个连续时间信号，当采样间隔此外，对同一个连续时间信号，当采样间隔不同时也会不同时也会 得到不同的样本序列。得到不同的样本序列。二二. .采样的数学模型：采样的数学模型：在时域：在时域：在频域在频域: :三三. .冲激串采样冲激串采样( (理想采样理想采样):): 可见，可见，在时域对连续时间信号进行冲激串采在时域对连续时间信号进行冲激串采样，就相当于在频域将连续时间信号的频谱以样，就相当于在频域将连续时间信号的频谱以 为周期进行延拓。为周期进行延拓。在频域由于在频域由于说明：说明：采样信号的频谱采样信号的频谱 由原信号的频谱由原信号的频谱 的无限个频移组成，幅值为原频谱的无限个频移组成，幅值为原频谱 的的 ，频移角频率为，频移角频率为 （n n0, 0, 1, 1, 2 2 ） if if ，各相邻的频谱不会重叠，这，各相邻的频谱不会重叠，这 时能从采样信号的频谱中得到原信号的频谱，时能从采样信号的频谱中得到原信号的频谱， 即从采样信号即从采样信号 中恢复原信号中恢复原信号 。 if ，频移后的相邻频谱互相重叠，频移后的相邻频谱互相重叠， 无法恢复原信号。无法恢复原信号。四四. Nyquist 采样定理（时域）采样定理（时域）: 一个截止频率为一个截止频率为 的连续时间带限信号的连续时间带限信号 , ,如果以如果以 的频率进行理想采样，则的频率进行理想采样，则 可以可以唯一的由其样本唯一的由其样本 来确定。来确定。 以冲激采样为例，研究如何从采样信号恢复原信号以冲激采样为例，研究如何从采样信号恢复原信号 在工程实际应用中，在工程实际应用中，理想滤波器是不可能实理想滤波器是不可能实现的。而非理想滤波器现的。而非理想滤波器一定有过渡带，因此，一定有过渡带，因此，实际采样时实际采样时, , 必须大必须大于于 。为了从已采样信号为了从已采样信号 中恢复原信号中恢复原信号 ，需满足如下两个条件需满足如下两个条件: 1. 必须是带限的，最高频率分量为必须是带限的，最高频率分量为 。 2. 采样间隔采样间隔(周期周期)不能是任意的，必须保证采样不能是任意的，必须保证采样频率频率 ；或采样间隔；或采样间隔 。其中其中 为采样频率。为采样频率。NyquistNyquist频率：最低允许的采样频率频率：最低允许的采样频率NyquistNyquist间隔：最大允许的采样间隔间隔：最大允许的采样间隔 低通滤波器的截止频率必须满足低通滤波器的截止频率必须满足: : 为了补偿采样时频谱幅度的减小，滤波器应具为了补偿采样时频谱幅度的减小，滤波器应具有有 倍的通带增益。倍的通带增益。例：确定下列信号的例：确定下列信号的Nyquist率率1）2）3）五五. 零阶保持采样零阶保持采样:信号的样本经零阶保持后，所得到的信号是一个信号的样本经零阶保持后，所得到的信号是一个阶梯形信号。阶梯形信号。 在一个给定的瞬时对在一个给定的瞬时对 采样，并保持这一采样，并保持这一样本值直到下一个样本被采到为止。样本值直到下一个样本被采到为止。 零阶保持采样在原理上可以用冲激串采样，零阶保持采样在原理上可以用冲激串采样，再级联一个零阶保持系统来实现。再级联一个零阶保持系统来实现。 为了从为了从 能恢复能恢复 ，就要求零阶保持后再级，就要求零阶保持后再级联一个系统联一个系统 。若若 则则以以 表示理想低通滤波器的特性，则表示理想低通滤波器的特性，则:内插内插：由样本值重建某一函数的过程。由样本值重建某一函数的过程。一一. 理想内插理想内插:（利用（利用LP的单位冲激响应的内插）的单位冲激响应的内插） 7.2 利用内插从样本重建信号利用内插从样本重建信号Reconstruction of a Signal from Its Samples Using Interpolation 理想内插以理想低通滤波器的单位冲激响应作理想内插以理想低通滤波器的单位冲激响应作为内插函数为内插函数这种内插称为这种内插称为时域中的带限内插。时域中的带限内插。二二. 零阶保持内插零阶保持内插: 零阶保持内插的内插函数是零阶保持系统的单零阶保持内插的内插函数是零阶保持系统的单位冲激响应位冲激响应 。三三. 一阶保持内插一阶保持内插(线性内插线性内插)：其内插函数是三其内插函数是三角形脉冲。角形脉冲。一阶保持内插的结果（采样间隔为一阶保持内插的结果（采样间隔为T/4） 对连续时间信号进行离散时间处理的系统可视对连续时间信号进行离散时间处理的系统可视为三个环节的级连。为三个环节的级连。7.4 连续时间信号的离散时间处理连续时间信号的离散时间处理Discrete-Time Processing of Continuous-Time Signals 将一个连续时间信号转换为一个离散时间信号，以将一个连续时间信号转换为一个离散时间信号，以及从信号的离散时间表示重建连续时间信号所依据的及从信号的离散时间表示重建连续时间信号所依据的理论基础：理论基础：采样定理采样定理用于实现用于实现C/D转换的器件称为模拟数字转换的器件称为模拟数字(A/D)转换器转换器 用于实现用于实现D/C转换的器件称为数字模拟转换的器件称为数字模拟(D/A)转换器转换器 一一. C/D 转换转换: 时域分析时域分析：样本的冲激串样本的冲激串样本的离散样本的离散时间序列时间序列频域分析频域分析:用用 表示连续时间频率变量，用表示连续时间频率变量，用 表示离散时间频率变量表示离散时间频率变量即从即从 到到 的转换过程中，在频率轴上引入的转换过程中，在频率轴上引入了一个了一个 倍的变化！倍的变化！ 可见，可见，冲激串到序列的变换过程，在时域是一冲激串到序列的变换过程，在时域是一个对时间归一化的过程；个对时间归一化的过程；在频域是一个频率去归一在频域是一个频率去归一化的过程。化的过程。 和和 的频域关系可表示为：的频域关系可表示为： 以以 为周期重复线性频域尺度变换为周期重复线性频域尺度变换二二. D/C 转换：转换：三三. 连续时间信号的离散时间处理连续时间信号的离散时间处理:分析：分析： If 离散时间系统离散时间系统 是恒等系统；是恒等系统；Then 连续时间系统连续时间系统 也是恒等系统。也是恒等系统。图（图（a） 假定假定 ，有，有 ，在满足，在满足采样定理时有采样定理时有 ， ，整个，整个系统是恒等系统，表明系统是恒等系统，表明D/C是是C/D的逆系统的逆系统。 等效的连续时间滤波器的频率响应就是该离散时间滤等效的连续时间滤波器的频率响应就是该离散时间滤波器在一个周期内的特性，只是频率轴有一个线性尺波器在一个周期内的特性，只是频率轴有一个线性尺度变化（度变化（ ）。）。由上图：由上图：式（式（b） 对于带限输入信号，利用图（对于带限输入信号，利用图（a）和式（）和式（b）可实现利用离散时间滤波器处理连续信号。可实现利用离散时间滤波器处理连续信号。例：数字微分器例：数字微分器（连续时间带限微分器的离散实现）（连续时间带限微分器的离散实现） 带限微分器带限微分器00 由由 可得：当可得：当 时有时有一、脉冲串采样一、脉冲串采样7.6离散时间信号采样离散时间信号采样Sampling of Discrete-Time Signals 在时域，对离散时间信号以在时域，对离散时间信号以 为间隔采样，在为间隔采样，在频域，信号的频谱就在一个周期内以频域，信号的频谱就在一个周期内以 为间隔周为间隔周期性延拓。期性延拓。 要使要使 能恢复成能恢复成 ，则频谱在周期性延，则频谱在周期性延拓时不能发生混叠。为此要求：拓时不能发生混叠。为此要求：1. 带限于带限于 。 2. 。 此时此时可以通过离散时间理想低通滤波器实现对可以通过离散时间理想低通滤波器实现对信号信号 的恢复。截止频率满足：的恢复。截止频率满足： 恢复恢复 的过程也是一种带限内插过程。的过程也是一种带限内插过程。其内插函数为理想低通的单位脉冲响应其内插函数为理想低通的单位脉冲响应 。例：有一序列例：有一序列 ，其傅立叶变换，其傅立叶变换 具有如下具有如下 特点：特点： 求对求对 采样而不发生混叠的最低采样率。采样而不发生混叠的最低采样率。二二. 离散时间抽取与内插：离散时间抽取与内插：Discrete-Time Decimation and Interpolation在实际应用中，直接按图传输已采样序列在实际应用中，直接按图传输已采样序列 是很不经济的。因为序列是很不经济的。因为序列 在采样点之间是在采样点之间是0。因此，往往用一个新序列因此，往往用一个新序列 来代替，来代替， 是是由由 中每隔中每隔 点上的序列值构成，即点上的序列值构成，即抽取：抽取：提取每第提取每第 个点上的样本的过程。个点上的样本的过程。时域时域 、 、 、的关系如左图的关系如左图抽取过程在频域的反映：抽取过程在频域的反映：增增采采样样的的频频谱谱 这表明，这表明，在在时域时域对带限序列进行对带限序列进行抽取抽取，相当于在，相当于在频域频域对采样序列的频谱进行对采样序列的频谱进行尺度变换尺度变换。由上图，为了避免抽取过程中产生混叠，序列由上图，为了避免抽取过程中产生混叠，序列 的频谱的频谱 不能占满整个频带。不能占满整个频带。抽取的过程也称为抽取的过程也称为减采样；减采样；增采样：增采样：减采样的逆过程减采样的逆过程由由 增采样以得到增采样以得到 利用低通滤波器从利用低通滤波器从 中得到中得到 在在 的每两个相邻的每两个相邻序列值之间插入序列值之间插入 个幅度为个幅度为0的序列值的序列值 例：考虑序列例：考虑序列 ，其傅立叶变换，其傅立叶变换 如图如图该序列在脉冲串采样时不发生混叠的最低采样率？该序列在脉冲串采样时不发生混叠的最低采样率？对对 序列以序列以4 4抽取，得抽取，得 ，它的频谱图？，它的频谱图？将内插和抽取结合起来，如何使一个序列达到最大将内插和抽取结合起来，如何使一个序列达到最大 可能的减采样？（即序列的频谱在一个周期内非零可能的减采样？（即序列的频谱在一个周期内非零 部分填满部分填满 到到 整个频带）整个频带）习题习题7.2 7.22 7.157.4 7.23 7.177.5 7.31 7.277.67.77.107.21