第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算 一一. 矩阵与向量矩阵与向量 1. m n矩阵矩阵 元素元素: aij (i = 1, , m, j = 1, , n) a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn注注: 元素都是实元素都是实(复复)数的矩阵称为数的矩阵称为实实(复复)矩阵矩阵. 今后除非特别说明今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都我们所考虑的矩阵都 是实矩阵是实矩阵.例例例例1 1. . 某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品. . A A = =20 50 30 2520 50 30 2516 20 16 1616 20 16 16 B B = =200 180 190200 180 190100 120 100100 120 100150 160 140150 160 140180 150 150180 150 150第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 例例例例2 2. . 四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示. . 若若若若a aij ij表示从表示从表示从表示从i i市市市市 到到到到j j市航线的条数市航线的条数市航线的条数市航线的条数, , 则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为1 41 42 32 3A A = ( = (a aij ij) =) =0 1 1 10 1 1 11 0 0 01 0 0 00 1 0 00 1 0 01 0 1 01 0 1 0例例例例3 3. . 直线的一般方程直线的一般方程直线的一般方程直线的一般方程 A A1 1x x+ +B B1 1y y+ +C C1 1z z+ +D D1 1 = 0 = 0 A A2 2x x+ +B B2 2y y+ +C C2 2z z+ +D D2 2 = 0 = 0 A A1 1 B B1 1 C C1 1A A2 2 B B2 2 C C2 2系数矩阵系数矩阵系数矩阵系数矩阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 3. 向量向量 n维行向量维行向量: 1 n矩阵矩阵a1, a2, , an n维列向量维列向量: n 1矩阵矩阵 a1a2an第第i分量分量: ai (i = 1, , n) n阶方阵阶方阵: n n矩阵矩阵 2. 方阵方阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 4. 两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等, 列数也相等时列数也相等时, 称称 它们是它们是同型矩阵同型矩阵.5. 若两个同型矩阵若两个同型矩阵A = aijm n与与B = bijm n 满足满足: 对于任意的对于任意的1 i m, 1 j n, aij = bij都成立都成立, 则称这两个矩阵则称这两个矩阵相等相等, 记记 为为A = B.二二. 矩阵的线性运算矩阵的线性运算 1. 加法加法 两个同型矩阵两个同型矩阵A = aijm n与与B = bijm n的的和和C定义为定义为: C = cijm n = aij+bijm n.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 注注: 若矩阵若矩阵A = (aij)m n的元素都是零的元素都是零, 则称之则称之 为为零矩阵零矩阵, 记为记为Om n. 在不引起混淆的情况下在不引起混淆的情况下, 简记为简记为O.设矩阵设矩阵A = (aij)m n , 记记 A = ( aij)m n , 称称 之为之为A的的负矩阵负矩阵. 设设A, B是同型矩阵是同型矩阵, 则它们的则它们的差差定义为定义为 A + ( B). 记为记为A B. 即即A B = A + ( B). 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 2. 数乘数乘 设矩阵设矩阵A = (aij)m n , 数数k与与A的的乘积乘积定义为定义为 (kaij)m n ,记为记为kA或或Ak. 注注: 矩阵加法和数乘运算统称为矩阵的矩阵加法和数乘运算统称为矩阵的线性运线性运 算算.即即kA = Ak =ka11 ka12 ka1nka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamn第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 3. 性质性质 定理定理 设设A, B, C, O是同型矩阵是同型矩阵, k, l是数是数, 则则 (1) A + B = B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (3) A + O = A,(4) A + ( A) = O, (5) 1A = A, (6) k(lA) = (kl)A, (7) (k + l)A = kA + lA,(8) k(A + B) = kA + kB.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 三三. 矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘 例例例例4 4. . 某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品. . A A = =20 50 30 2520 50 30 2516 20 16 1616 20 16 16 B B = =200 180 190200 180 190100 120 100100 120 100150 160 140150 160 140180 150 150180 150 150第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 例例例例5 5. . 四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示. . 若若若若a aij ij表示从表示从表示从表示从i i市直达市直达市直达市直达j j市航线的条数市航线的条数市航线的条数市航线的条数, , 则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为1 14 42 23 3A A = ( = (a aij ij) =) =0 1 1 10 1 1 11 0 0 01 0 0 00 1 0 00 1 0 01 0 1 01 0 1 0若若若若b bij ij表示从表示从表示从表示从i i市经另外一个城市到市经另外一个城市到市经另外一个城市到市经另外一个城市到j j市航线的条数市航线的条数市航线的条数市航线的条数, , 则由右图可得矩阵则由右图可得矩阵则由右图可得矩阵则由右图可得矩阵B B = ( = (b bij ij) =) =2 1 1 02 1 1 00 1 1 10 1 1 11 0 0 01 0 0 00 2 1 10 2 1 11 12 23 34 4i ij j其中其中其中其中b bij ij = = a ai i1 1a a1 1j j + + a ai i2 2a a2 2j j + + a ai i3 3a a3 3j j + + a ai i4 4a a4 4j j . .第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 1. 设设A = (aij)m s , B =(bij)s n , 则则A与与B的的乘积乘积是是 一个一个m n矩阵矩阵C = (cij)m n , 其中其中cij = ai1b1j + ai2b2j + aisbsj = aikbkj. k k=1=1s s记为记为C = AB. 称称AB为为“以以A左乘左乘B” 或或 “以以B 右乘右乘A”.a a1111b b1111+ +a a1212b b2121+ +a a1313b b3131 a a1111b b1212+ +a a1212b b2222+ +a a1313b b3232a a2121b b1111+ +a a2222b b2121+ +a a2323b b3131 a a2121b b1212+ +a a2222b b2222+ +a a2323b b3232= =a a1111 a a1212 a a1313a a2121 a a2222 a a2323b b1111 b b1212 b b2121 b b2222b b3131 b b3232如如如如 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 2. 矩阵乘积的特殊性矩阵乘积的特殊性 (1)只有当矩阵只有当矩阵A的的列列数等于矩阵数等于矩阵B的的行行数时数时, 乘积乘积AB才有意义才有意义. (2)若若A是一个是一个m n矩阵矩阵, 与与B是一个是一个n m矩阵矩阵, 则则AB和和BA都有意义都有意义. 但但AB是一个是一个m阶方阶方 阵阵, BA是一个是一个n阶方阶方阵阵. 当当m n时时, AB 与与 BA谈不上相等不相等谈不上相等不相等. 即使即使m = n, AB与与BA是同阶是同阶方方阵也未必相阵也未必相. 例如例如:第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 1 1 2 2 2 4 1 2 1 0 0 1 1 1 2 2 2 4 1 2 1 0 0 1=0 00 0 3 3 6 1 1 2 2 2 4 = 1 1 2 2 1 21 2=0 00 0 1 1 2 2 1 21 2= 3 3 3 3第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 定理定理 设设k是数是数, 矩阵矩阵A, B, C 使以下各式中使以下各式中 一端有意义一端有意义, 则另一端也有意义并且则另一端也有意义并且 等式成立等式成立(1) (AB)C = A(BC), (2) A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC,(3) (kA)B = k(AB).对于对于(1)的证明的证明, 我们先来看一个具体的例子我们先来看一个具体的例子: a11 a12 a13a21 a22 a23如如A= ,b11 b12 b21 b22b31 b32B = ,c11 c12 c21 c22C =.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32AB =BC =b11c11+b12c21 b11c12+b12c22 b21c11+b22c21 b21c12+b22c22 b31c11+b32c21 b31c12+b32c22a11 a12 a13a21 a22 a23A= ,b11 b12 b21 b22b31 b32B = ,c11 c12 c21 c22C =.我们比较我们比较(AB)C和和A(BC)的的“规格规格”以及它们的以及它们的 第一行第一列处的元素第一行第一列处的元素.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 一般地一般地, 设设A = aijm k, B = bijk s, C = cijs n, AB = U = uijm s, BC = V = vijk n, 则则(AB)C = UC与与A(BC) = AV 都是都是m n矩阵矩阵, 且且(AB)C = UC的的(i, j)元素是元素是 它恰好是它恰好是A(BC) = AV的的(i, j)元素元素. 可见可见(AB)C = A(BC). uiqcqj q q=1=1s s= ( aipbpq )cqj q q=1=1s sp p=1=1k k= ( aipbpq cqj) q q=1=1s sp p=1=1k k= ( aipbpqcqj) q q=1=1s sp p=1=1k k= aip ( bpq cqj) q q=1=1s sp p=1=1k k= aipvpj p p=1=1k k第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 结合律的妙用之一结合律的妙用之一 设设A = BC, 其中其中B = , C = 1 2 3, 1231 2 3 2 4 6 , 3 6 9则则A = 我们可以定义我们可以定义A的的正整数幂正整数幂 ( (还有还有还有还有“ “妙用妙用妙用妙用之二之二之二之二” ”喔喔喔喔! !) ) A1 = A, A2 = AA, , Ak+1 = AkA, 对于这里的对于这里的A, A2005 = ?当然当然, 对于任意方阵对于任意方阵A, 都可以像上面这样去都可以像上面这样去 定义定义A的正整数幂的正整数幂. 而且有如下结论而且有如下结论第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 AkAl = Ak+l, (Ak)l = Akl (AB)k = AkBk 但即使但即使A与与B是同阶方阵是同阶方阵, 也未必成立也未必成立! 注注: 不能说不能说 “因为因为AB = BA未必成立未必成立, 所以所以(AB)k = AkBk 未必成立未必成立”. 例如例如A = 0 10 0,B = 1 00 0,AB = 0 00 0,BA =0 10 0, AB BA, 但但(AB)k = AkBk成立成立. 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 (AB)k = AkBk 要说明即使要说明即使A与与B是同阶方阵是同阶方阵, 也未必成立也未必成立, 只要举出一个反例即可只要举出一个反例即可. 例如例如A =1 10 0,B =1 01 0,AB =2 00 0,A2 =1 10 0= A,当然这里当然这里AB BA B2 =1 01 0=B,(AB)2 =4 00 0,A2B2 = AB =2 00 0,=1 11 1.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 补充补充. . 数学归纳法数学归纳法 1. 第一数学归纳法原理第一数学归纳法原理: 设设P是一个关于自然数是一个关于自然数n的命题的命题, 若若 P对于对于n = n0成立成立. 当当n n0时时, 由由“n = k时时P成立成立”可推出可推出 “n = k+1时时P成立成立”,则则P对于任意的自然数对于任意的自然数n n0成立成立.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 2. 第二数学归纳法原理第二数学归纳法原理: 设设P为一个关于自然数为一个关于自然数n的命题的命题, 若若 P对于对于n = n0成立成立, 由由“n0 n k时时P成立成立”可推出可推出 “n = k+1时时P成立成立”,则则P对于任意的自然数对于任意的自然数n n0成立成立.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 例例6. 设设A = cos sin sin cos , . 求证求证An = cosn sinn sinn cosn 证明证明: 当当n = 1时时, 结论显然成立结论显然成立. 假设结论对于假设结论对于n = k成立成立, 即即 .cosk sink sink cosk Ak =cos sin sin cos 则则Ak+1 = AkA cosk sink sink cosk =第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 cos sin sin cos Ak+1 = AkAcosk sink sink cosk =因此对于任意正整数因此对于任意正整数n, coscosk k coscos sinsink k sinsin coscosk k sinsin sinsink k coscos sinsink k coscos +cos+cosk k sinsin sinsink k sin sin +cos +cosk k cos cos =cos(k+1) sin(k+1) sin(k+1) cos(k+1) =cosn sinn sinn cosn An = 成立成立. 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 四四. 矩阵的转置矩阵的转置 1. 设矩阵设矩阵A = a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn, AT = a11 a21 am1a12 a22 am2 a1n a2n amn为为A的的转置转置. 则称矩阵则称矩阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 定理定理2.3 矩阵的转置运算满足如下性质矩阵的转置运算满足如下性质 (1) (AT)T = A, (2) (A+B)T = AT + BT, (3) (kA)T = kAT, (4) (AB)T = BTAT.五五. 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵 1. 对称矩阵对称矩阵 若矩阵若矩阵A满足满足AT = A, 则称则称A为为对称矩阵对称矩阵. 矩阵矩阵A = aijm n为对称矩阵的充分必要为对称矩阵的充分必要条件是条件是: m = n且且aij = aji (i, j = 1, 2, , n). 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 2. 对角矩阵对角矩阵 方阵方阵A = aijn n的的a11, a22, , ann称为称为对角线对角线 元素元素. 若方阵若方阵A = aijn n除了对角线元素除了对角线元素(可能不是可能不是 0)以外以外, 其它元素都是其它元素都是0, 则称则称A为为对角矩阵对角矩阵.对角线元素依次为对角线元素依次为 1, 2, , n的对角矩阵的对角矩阵 有时也记为有时也记为 = diag 1, 2, , n, 即即 = diag 1, 2, , n = 1 0 0 0 2 0 0 0 n.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 3. 数量矩阵数量矩阵 若对角矩阵若对角矩阵A = aijn n的对角线元素为同一的对角线元素为同一 个数个数, 则称则称A为为数量矩阵数量矩阵(纯量矩阵纯量矩阵).可以证明方阵可以证明方阵A = aijn n为数量矩阵的充分为数量矩阵的充分 必要条件是对于任意必要条件是对于任意n阶矩阵阶矩阵B, AB = BA.4. 单位矩阵单位矩阵 称为称为n阶单位矩阵阶单位矩阵. In =1 0 00 1 0 0 0 1 n n第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 注注: 对于对于n阶方阵阶方阵A 可以证明下列条件等价可以证明下列条件等价: (i) A为单位矩阵为单位矩阵; (ii) 对于任意对于任意n m矩阵矩阵B, AB = B. (iii)对于任意对于任意m n矩阵矩阵C, CA = C.有时我们也把有时我们也把n阶单位矩阵阶单位矩阵In简记为简记为I. 有的书上用有的书上用En表示表示n阶单位矩阵阶单位矩阵, 简记简记 为为E.利用利用克罗内克克罗内克(Kronecker)记号记号 ij =1, i = j 0, i jn阶单位矩阵阶单位矩阵In也可以表示为也可以表示为 ijn n. 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 六六. 方阵的多项式方阵的多项式 设设A为一个方阵为一个方阵, f(x)为一个多项式为一个多项式 称之为称之为方阵方阵A的一个多项式的一个多项式. f(x) = asxs + as 1xs 1 + + a1x + a0 规定规定 f(A) = asAs + as 1As 1 + + a1A + a0I 5. 反对称矩阵反对称矩阵 若矩阵若矩阵A满足满足AT = A, 则称则称A为为反对称矩阵反对称矩阵. 可以证明任何一个方阵都可以写成一个对可以证明任何一个方阵都可以写成一个对 称矩阵与一个反对称矩阵的和称矩阵与一个反对称矩阵的和.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 2.2 方阵的行列式方阵的行列式 一一. 二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组与二阶行列式 (a11a22 a12a21)x1 = b1a22 a12b2 (a11a22 a12a21)x2 = a11b2 b1a21 当当a11a22 a12a21 0时时,a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a21, x2=a11a22 a12a21a11b2 b1a21.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 a11 a12 a21 a22记记D =,b1 a12 b2 a22D1 =,a11 b1a21 b2D2 =,则当则当D = a11a22 a12a21 0时时,=D1D=D2D.2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a21有唯一确定的解有唯一确定的解x2=a11a22 a12a21a11b2 b1a21问题问题: 能用对角线法则定义四阶行列式吗能用对角线法则定义四阶行列式吗? 用对角线法则定义的用对角线法则定义的“四阶行列式四阶行列式”有有 用吗用吗?第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 1 1 1 0 01 0 01 2 0 01 2 0 00 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 20 0 1 2仿照三阶行列式的对角线法则可得仿照三阶行列式的对角线法则可得 = 1= 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ( ( 1)1) 1 1 = 4+1 = 5.= 4+1 = 5.3 3 1 0 01 0 05 5 2 0 0 2 0 00 0 0 0 1 1 1 1 3 3 0 1 2 0 1 2= = 3 3 2 2 1 1 2 2 1 1 5 5 ( ( 1)1) 1 1 = 12+5 = 17.= 12+5 = 17.但方程组但方程组 x x1 1 + + x x2 2 = = 3 3x x1 1 + 2 + 2x x2 2 = = 5 5 x x3 3 x x4 4 = = 0 0 x x3 3 + 2 + 2x x4 4 = = 3 3有唯一解有唯一解 x x1 1 = = 1 1x x2 2 = = 2 2x x3 3 = = 1 1x x4 4 = = 1 1 17175 5第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 二二. 排列的逆序数与奇偶性排列的逆序数与奇偶性 1. 全排列全排列 2. 把把n个不同的元素排成一列全排列个不同的元素排成一列全排列, 叫做叫做 这这n个元素的个元素的全排列全排列(简称简称排列排列). n个不同元素的所有排列的种数通常用个不同元素的所有排列的种数通常用 Pn表示表示.例如例如, 用用1,2,3三个数字可以组成如下三个数字可以组成如下6个个 没有重复的三位数没有重复的三位数: 123, 132, 213, 231, 312, 321一般地一般地, Pn = n! = n (n 1) 2 1.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 2. 逆序数逆序数 对于对于n个不同的元素个不同的元素, 先规定各元素之间的先规定各元素之间的 一个标准次序一个标准次序 (如如 n个不同的自然数个不同的自然数, 可规可规定由小到大的次序为标准次序定由小到大的次序为标准次序), 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列 的的逆序数逆序数. 逆序数为奇逆序数为奇(偶偶)数的排列称为数的排列称为奇奇(偶偶)排列排列. 于是在这于是在这n个元素的任意一个排列中个元素的任意一个排列中, 当某当某 两个元素的先后次序与标准次序不同时两个元素的先后次序与标准次序不同时, 就说就说有一个逆序有一个逆序. 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例1. 求下列排列的求下列排列的逆序数逆序数 (1) 32514, (2) (2n)(2n 2)4213(2n 3)(2n 1). 3. 对换对换 在排列中在排列中, 将任意两个元素对调将任意两个元素对调, 其余的元其余的元素不动素不动, 称为称为对换对换. 将相邻的两个元素对调将相邻的两个元素对调, 称为称为邻对换邻对换.注注: 任一邻对换都任一邻对换都改变改变排列的排列的奇偶性奇偶性. 任一对换都可通过任一对换都可通过奇数次奇数次邻对换来实现邻对换来实现. 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 定理定理. 每一个对换都改变排列的奇偶性每一个对换都改变排列的奇偶性. 1 2 3 4 5 6 7 89 1 2 3 4 5 6 7推论推论. n 2时时, n个个元素的所有排列中元素的所有排列中, 奇、偶奇、偶 排列各占一半排列各占一半, 即各有即各有n!/2个个. 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 三三. n阶行列式的定义阶行列式的定义 1. 三阶行列式的特点三阶行列式的特点 每一项都是三个元素的乘积每一项都是三个元素的乘积. a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 . 每一项的三个元素都位于不同的行和列每一项的三个元素都位于不同的行和列. 行列式的行列式的6项恰好对应于项恰好对应于1, 2, 3的的6种排列种排列. 各项系数与对应的列指标的排列的奇偶性各项系数与对应的列指标的排列的奇偶性 有关有关.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33j1 j2 j3的逆序数的逆序数 对所有不同的三级排列对所有不同的三级排列 j1 j2 j3求和求和 a11 a12a21 a22 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2. n阶行列式的定义阶行列式的定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann注注: 当当n = 1时时, 一阶行列式一阶行列式|a11| = a11, 这与绝这与绝 对值符号的意义是不一样的对值符号的意义是不一样的.设设A = aij为为n阶方阵阶方阵, A的行列式记为的行列式记为|A|, 或或detA. 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 3. 几个特殊的行列式几个特殊的行列式 1 0 0 0 2 0 0 0 n 0 0 1 0 2 0 n 0 0= 1 2 n , 1 2 n .(1) 对角行列式对角行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 (2) 上上(下下)三角形行列式三角形行列式 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 anna11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann= a11 a22ann .= a11 a22ann .事实上事实上, 只有只有pi i (i = 1,2,n)时时, 才有可能不为才有可能不为0. 若有某个若有某个pk k, 则必然有则必然有若有某个若有某个pl 1+2+n, 矛盾矛盾! 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 例例2. 设设A = aijn n, 证明证明f( ) = | IA|是是 的的n次次 多项式多项式, 并求并求 n, n1的系数及常数项的系数及常数项. a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 annf( ) = | IA| =d1 = ( a11)( a22)( ann) f(0) = |A| = (1)n|A|. A的的迹迹, 记为记为trA 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 4. n阶行列式的另外一种定义阶行列式的另外一种定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 一一. 行列式的性质行列式的性质 性质性质1. DT = D. 记记D =行列式行列式DT称为称为D的的转置转置. 记记bij = aji, 则则 DTa a11 11 a a1212 a a1 1n n a a2121 a a22 22 a a2 2n n a an n1 1 a an n2 2 a annnna a1111 a a2121 a an n1 1 a a1212 a a2222 a an n2 2 a a1 1n n a a2 2n n a annnn, DT =第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 性质性质2. 互换行列式中的两行互换行列式中的两行(列列), 行列式变号行列式变号. 证明证明证明证明: 记互换行列式记互换行列式D中的第中的第k, l行得到的行列式为行得到的行列式为D1. = D. 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 注注: 互换第互换第k, l行记为行记为rkrl, 互换第互换第k, l列记为列记为ckcl.推论推论. 如果行列式如果行列式D中有两行中有两行(列列)完全相同完全相同, 那么那么D = 0.性质性质3. 行列式的某一行行列式的某一行(列列)的公因子可以的公因子可以 提到行列式记号外提到行列式记号外. 事实上事实上, 若行列式若行列式D中有两行完全相同中有两行完全相同, 交换交换 这两行这两行, 得得D = D. 因此因此D = 0. 对于有两列完全相同的情形对于有两列完全相同的情形, 可类似地证明可类似地证明. 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 a11 a12 a1n ka21 ka22 ka2n an1 an2 ann例如例如 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann=k.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 性质性质4. 若行列式若行列式D中有两行中有两行(列列)元素成比例元素成比例, 则则D = 0. a11 a12 a1n ka11 ka12 ka1n an1 an2 ann例如例如 a11 a12 a1n a11 a12 a1n an1 an2 ann=k= 0.性质性质5. 行列式可按某一行行列式可按某一行(列列)拆成两个行列式拆成两个行列式 之和之和. 如如 |A1, , As+Bs, , An| = |A1, , As, , An| + |A1, , Bs, , An|.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 例例1. a a11 11 a a1212 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a2222 a a23 23 a a2424 0 0 0 0 a a33 33 0 0a a41 41 a a4242 a a43 43 a a4444+ +a a11 11 a a1212 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a2222 a a23 23 a a2424 a a3131 a a3232 a a3333 a a3434a a41 41 a a4242 a a43 43 a a4444D D = =a a11 11 a a1212 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a2222 a a23 23 a a2424 0 0 a a3232 0 0 0 0a a41 41 a a4242 a a43 43 a a4444+ +a a11 11 a a1212 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a2222 a a23 23 a a2424 a a3131 0 0 0 0 0 0a a41 41 a a4242 a a43 43 a a4444= =a a11 11 a a1212 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a2222 a a23 23 a a2424 0 0 0 0 0 0 a a3434a a41 41 a a4242 a a43 43 a a4444+ +a a11 11 a a1212 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a2222 a a23 23 a a2424 a a3131 0 0 0 0 0 0a a41 41 a a4242 a a43 43 a a4444= =a a11 11 a a1212 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a2222 a a23 23 a a2424 0 0 a a3232 a a3333 a a3434a a41 41 a a4242 a a43 43 a a4444+ +第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 性质性质6. 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)元素乘以同一元素乘以同一 个数个数, 再加到另一行再加到另一行(列列)对应的元素上对应的元素上 去去, 行列式的值不变行列式的值不变.a a11 11 ( (a a1 1i i + + k ka a1 1j j) ) a a1 1j j a a1 1n n a a2121 ( (a a2 2i i + + k ka a2 2j j) ) a a2 2j j a a2 2n n a an n1 1 ( (a an ni i + + k ka an nj j) ) a an nj j a annnn= =+ +a a11 11 a a1 1i i a a1 1j j a a1 1n n a a2121 a a2 2i i a a2 2j j a a2 2n n a an n1 1 a an ni i a an nj j a annnna a11 11 k ka a1 1j j a a1 1j j a a1 1n n a a2121 k ka a2 2j j a a2 2j j a a2 2n n a an n1 1 k ka an nj j a an nj j a annnn第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 注注: 用常数用常数k乘行列式乘行列式D中的第中的第j行行(列列)再加到第再加到第 i行行(列列)上上, 记为记为ri+krj (ci+kcj).例例2. 1 2 1 2 4 4 (1) (1) 2 2 1 2 2 1 3 4 3 4 2 2 2 2 1 2 1 2 4 4 = 0 6 = 0 6 7 7 3 4 3 4 2 2 3 3 1 2 1 2 4 4 = 0 6 = 0 6 7 7 0 0 1010 1414 1 2 1 2 4 4 = = 2 2 0 6 0 6 7 7 0 5 0 5 7 7 1 1 4 24 2= = 2 2 0 0 7 67 6 0 0 7 57 5 ( ( 1) 1) 1 1 4 24 2= = 2 2 0 0 7 67 6 0 0 0 0 1 1= = 14.14. ( ( ) )5 53 3第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 ( ( 3) 3) 3 1 3 1 1 2 1 2 5 1 3 5 1 3 4 4 2 0 1 2 0 1 1 1 1 1 5 3 5 3 3 3 (2)(2)= = 3 1 3 1 1 2 1 2 5 1 3 5 1 3 4 4 2 0 1 2 0 1 1 1 5 5 5 0 05 0 0 = = 5 5 3 1 3 1 1 2 1 2 5 1 3 5 1 3 4 4 2 0 1 2 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 = 5= 5 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 5 3 5 3 4 4 0 2 1 0 2 1 1 11 1 0 01 1 0 0 = 5= 5 1 1 0 01 1 0 0 0 2 1 0 2 1 1 11 1 5 3 5 3 4 4 1 3 1 3 1 2 1 2 ( ( 1) 1)= 5= 5 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 1 0 2 1 1 10 0 6 3 6 3 4 4 0 2 0 2 1 2 1 2 2 2第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 = 5= 5 1 1 0 0 1 1 0 0 0 4 1 0 4 1 1 10 0 3 0 0 3 4 4 0 0 0 0 1 21 2 3 3= 5= 5 1 1 0 0 1 1 0 0 0 4 1 0 4 1 1 10 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 1 21 2= = 5 5 1 1 0 0 1 1 0 0 0 4 1 0 4 1 1 10 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 20 0 0 2= 40.= 40.= 5= 5 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 1 0 2 1 1 10 0 6 3 6 3 4 4 0 2 0 2 1 2 1 2 2 2第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 11 1 3 11 1 1 3 1 1 1 3 (3)(3)6 6 6 66 6 6 6 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 11 1 3 11 1 1 3 1 1 1 3 = =1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 11 1 3 11 1 1 3 1 1 1 3 = = 6 6 ( ( 1)1)1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 2 00 0 0 2 = 6= 48.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 a a b b c c d d a a a a+ +b b a a+ +b b+ +c c a a+ +b b+ +c c+ +d da a 2 2a a+ +b b 3 3a a+2+2b b+ +c c 4 4a a+3+3b b+2+2c c+ +d da a 3 3a a+ +b b 6 6a a+3+3b b+ +c c 10 10a a+6+6b b+3+3c c+ +d d(4)(4)a a b b c c d d 0 0 a a a a+ +b b a a+ +b b+ +c c0 0 a a 2 2a a+ +b b 3 3a a+2+2b b+ +c c0 0 a a 3 3a a+ +b b 6 6a a+3+3b b+ +c c= = ( ( 1)1) ( ( 1)1) ( ( 1)1)a a b b c c d d 0 0 a a a a+ +b b a a+ +b b+ +c c0 0 0 0 a a 2 2a a+ +b b0 0 0 0 a a 3 3a a+ +b b= = ( ( 1)1)= = a a4 4. .第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 注注: 有些书上将上述转化过程用有些书上将上述转化过程用 rkrj, ckcj, ri+krj , ci+kcj 等记号表示等记号表示, 并写在等号的上方或下方并写在等号的上方或下方. 但这样不够直观但这样不够直观. 为了不引起混淆为了不引起混淆, 每步最好只进行一个每步最好只进行一个 操作操作. 例如例如:a ba bc dc da a+ +c bc b+ +d d c d c da a+ +c bc b+ +d d a a b br r1 1+r+r2 2a ba bc dc d a b a bc c a da d b b c d c dc c a da d b br r1 1+r+r2 2r r2 2 r r1 1r r2 2 r r1 1第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 例例3. 设设D = a a11 11 a a1 1mm a amm1 1 a ammmm D D1 1 = =, ,证明证明: D = D1D2.证明证明: 对对D1施行施行ri+krj 这类运算这类运算, 把把D1化为下三化为下三 角形行列式角形行列式:= =p p11 11 p pmm1 1 p pmmmm . . . .= = p p11 11 p pmmmm , ,b b11 11 b b1 1n n b bn n1 1 b bnnnnD D2 2 = =, ,a a11 11 a a1 1mm 0 0 0 0 , ,a amm1 1 a amm mm 0 0 0 0 c c11 11 c c1 1m m b b11 11 b b1 1n n c cn n1 1 c cnm nm b bn n1 1 b bnn nn a a11 11 a a1 1mm a amm1 1 a ammmm D D1 1 = =应用应用应用应用第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 对对对对D D2 2施行施行施行施行c ci i+ +k kc cj j 这类运算这类运算这类运算这类运算, , 把把把把D D2 2化为下三角形行列式化为下三角形行列式化为下三角形行列式化为下三角形行列式: : b b11 11 b b1 1n nb bn n1 1 b bnnnnD D2 2 = = =q q11 11 q qn n1 1 q qnnnn . . . .= = q q11 11 q qnnnn , ,于是对于是对于是对于是对D D的前的前的前的前mm行施行上述行施行上述行施行上述行施行上述r ri i+ +k kr rj j 运算运算运算运算, , 再对再对再对再对D D的后的后的后的后n n列列列列 施行上述施行施行上述施行施行上述施行施行上述施行c ci i+ +k kc cj j 运算运算运算运算, , 可得可得可得可得: :. .p p11 11 p pmm1 1 p pmmmm c c11 11 c c1 1k k q q11 11 c cn n1 1 c cnk nk q qn n1 1 q qnnnn = =. . . . . .0= = p p11 11 p pmmmm q q11 11 q qnnnn = =D D1 1D D2 2. .a a11 11 a a1 1mm 0 0 0 0 D D = =a amm1 1 a amm mm 0 0 0 0 c c11 11 c c1 1m m b b11 11 b b1 1n n c cn n1 1 c cnm nm b bn n1 1 b bnn nn 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 性质性质7. 方阵乘积的行列式等于方阵行列式的方阵乘积的行列式等于方阵行列式的 乘积乘积, 即对于同阶方阵即对于同阶方阵A, B, 有如下有如下乘乘 法公式法公式 |AB| = |A|B|.二二. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 a11 a12 a21 a22a11+0 0+a12 a21 a22=a11 0 a21 a22= 0 a12 a21 a22+= a11a22 a12a21 = a11( 1)1+1a22 +a12( 1)1+2a21 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21+0 0+a22=a11 a12a21 0=a11 a12 0 a22+= a21a12+a11a22= a21( 1)2+1a12 +a22( 1)2+2a11 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 0 0 =a11 a12 a13 a21 a22 a23 0 a32 a33 +a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 0 0 =a11 a12 a13 a21 a22 a23 0 a32 0 +a11 a12 a13 a21 a22 a23 0 0 a33 +第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 0 0 =a11 a12 a13 a21 a22 a23 0 a32 0 +a11 a12 a13 a21 a22 a23 0 0 a33 +a31 0 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = ( 1)20 a32 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23+ ( 1)20 0 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23+ ( 1)2a31 0 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = ( 1)2a32 0 0 a12 a11 a13 a22 a21 a23+( 1)2+1a33 0 0a13 a11 a12 a23 a21 a22+( 1)2+22.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 a a1212 a a1313 a a2222 a a2323 = =a a3131( ( 1)1)2 2a a1111 a a13 13 a a2121 a a2323+ +a a3232( ( 1)1)2+12+1a a1111 a a12 12 a a2121 a a2222+ +a a3333( ( 1)1)2+22+2a a1212 a a1313 a a2222 a a2323 = =a a3131( ( 1)1)3 3+ +1 1a a1111 a a13 13 a a2121 a a2323+ +a a3232( ( 1)1)3 3+ +2 2a a1111 a a12 12 a a2121 a a2222+ +a a3333( ( 1)1)3 3+ +3 3a31 0 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = ( 1)2a32 0 0 a12 a11 a13 a22 a21 a23+( 1)2+1a33 0 0a13 a11 a12 a23 a21 a22+( 1)2+2应用本节的应用本节的例例3 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33a12 a13 a22 a23 = a31( 1)3+1a11 a13 a21 a23+a32( 1)3+2a11 a12 a21 a22+a33( 1)3+3a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33拆拆, 移移, 降降 余子式余子式余子式余子式 代代代代数数数数余余余余子子子子式式式式按第三行展开按第三行展开按第三行展开按第三行展开 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 一般地一般地, 在在n阶行列式中阶行列式中, 把元素把元素aij所在的第所在的第i行行 和第和第j列划去列划去, 留下来的留下来的n 1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素aij的的余子式余子式, 记作记作Mij, 令令Aij = ( 1)i+jMij, 并称之并称之为为aij的的代数余子式代数余子式. 例如例如, 四阶阶行列式四阶阶行列式中中中中a a3232的余子式为的余子式为的余子式为的余子式为 a a11 11 a a1212 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a2222 a a23 23 a a2424 a a3131 a a3232 a a33 33 a a3434a a41 41 a a4242 a a43 43 a a4444a a11 11 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a23 23 a a2424 a a41 41 a a43 43 a a4444MM3232= =, ,代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式A A3232 = (= ( 1 1) )3+23+2MM32 32 = = MM3232. . 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 定理定理. n阶行列式阶行列式D等于它的任意一行等于它的任意一行 (列列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积的各元素与其对应的代数余子式乘积 之和之和. 即即 D = a11A11 + a12A12 + + a1nA1n = a21A21 + a22A22 + + a2nA2n = = an1An1 + an2An2 + + annAnn = a11A11 + a21A21 + + an1An1 = a12A12 + a22A22 + + an2An2 = = a1nA1n + a2nA2n + + annAnn . 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 例例4. 计算计算D2n = .2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 D2n = adD2(n 1) bcD2(n 1) .依次类推可得依次类推可得D2n = (ad bc)n.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 例例例例5 5. . 证明证明证明证明n n阶级阶级阶级阶级( (n n 2)2)范德蒙范德蒙范德蒙范德蒙(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式行列式行列式 D Dn n = = 1 1 1 1 1 1a a1 1 a a2 2 a an na a1 12 2 a a2 22 2 a an n2 2 a a1 1n n-1-1 a a2 2n n-1 -1 a an n n n-1-1= = ( (a ai i a aj j). ).n n i i j j 1 1D Dn n = = 1 1 1 1 1 1a a1 1 a a2 2 a an na a1 12 2 a a2 22 2 a an n2 2 a a1 1n n-1-1 a a2 2n n-1 -1 a an n n n-1-1证明证明证明证明: :当当当当n n =2 =2时时时时, , D D2 2 = ( = (a a2 2 a a1 1). ). 现设等式对于现设等式对于现设等式对于现设等式对于( (n n 1)1)阶范德蒙行列式成立阶范德蒙行列式成立阶范德蒙行列式成立阶范德蒙行列式成立, , 则则则则 ( ( a a1 1) ) ( ( a a1 1) ) ( ( a a1 1) )第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 =1 1 1 10 a2 a1 a3 a1 an a10 a2(a2 a1) a3(a3 a1) an2 (an a1) 0 a2n-2(a2 a1) a3n-2(a3 a1) ann-2(an a1) Dn = 1 1 1a1 a2 ana12 a22 an2 a1n-1 a2n-1 an n-1 ( ( a a1 1) ) ( ( a a1 1) ) ( ( a a1 1) )第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 = (a2 a1)(a3 a1)(an a1) 1 1 1a2 a3 an a2n-2 a3n-2 an n-2=1 1 1 10 a2 a1 a3 a1 an a10 a2(a2 a1) a3(a3 a1) an2 (an a1) 0 a2n-2(a2 a1) a3n-2(a3 a1) ann-2(an a1) = (a2 a1)(a3 a1)(an a1) (ai aj)n n i i j j 2 2= (ai aj).n n i i j j 1 12.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 前面我们得到前面我们得到,a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33= a31A31 + a32A32 + a33A33. 下面来看下面来看a11A31 + a12A32 + a13A33 = ?a11A31 + a12A32 + a13A33 =a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a13= 0.推广到一般情形推广到一般情形, 我们有如下结论我们有如下结论: 由由定理定理容易看出容易看出 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 命题命题命题命题. . n n阶行列式的某一行阶行列式的某一行阶行列式的某一行阶行列式的某一行( (列列列列) )元素与另一行元素与另一行元素与另一行元素与另一行( (列列列列) ) 的对应的代数余子式乘积之和为零的对应的代数余子式乘积之和为零的对应的代数余子式乘积之和为零的对应的代数余子式乘积之和为零. . 即即即即 a ai i1 1A Aj j1 1 + + a ai i2 2A Aj j2 2 + + + + a aininA Ajnjn = 0 ( = 0 (i i j j) ) a a1 1i iA A1 1j j + + a a2 2i iA A2 2j j + + + + a aniniA Anjnj = 0 ( = 0 (i i j j). ).定理定理.设设n阶行列式阶行列式D = |aij|, 则则 aikAjk = D ij , k k=1=1n n akiAkj = D ij . k k=1=1n n 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.4 2.4 逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵 2.4 逆矩阵逆矩阵 一一. 可逆矩阵可逆矩阵 1. 定义定义: 设设A为方阵为方阵, 若存在方阵若存在方阵B, 使得使得 AB=BA=I. 则称则称A可逆可逆, 并称并称B为为A的的逆矩阵逆矩阵. 2. 逆矩阵的唯一性逆矩阵的唯一性事实上事实上, 若若AB=BA=I, AC=CA=I,则则B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.今后我们把可逆矩阵今后我们把可逆矩阵A的逆矩阵记为的逆矩阵记为A 1. 命题命题. 设方阵设方阵A可逆可逆, 则其逆矩阵是唯一的则其逆矩阵是唯一的. 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.4 2.4 逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵 3. 设设A = aijn n为方阵为方阵, 元素元素aij的代数余子式的代数余子式 为为Aij, 则称如下矩阵则称如下矩阵A* =A11 A21 An1A12 A22 An2 A1n A2n Ann为方阵为方阵A的的伴随矩阵伴随矩阵. 命题命题. 设设A为方阵为方阵, A*为其伴随矩阵为其伴随矩阵. 则则AA* = A*A = |A|I.由由定理定理可得可得 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.4 2.4 逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵 事实上事实上, 由由AB=BA=I得得 1 = |I| = |AB| = |A|B|. 命题命题. 设设A为方阵为方阵, 若若A可逆可逆, 则则|A| 0. 4. 逆矩阵的存在性逆矩阵的存在性 定理定理.方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是|A| 0. 当当|A| 0时时, 有有 A 1 =|A|1A*.注注注注. . 设设设设A A为方阵为方阵为方阵为方阵, ,若若若若| |A A| | = 0= 0, , 则称之为则称之为则称之为则称之为奇异奇异奇异奇异( (或或或或退化退化退化退化) )矩阵矩阵矩阵矩阵. . 若若若若| |A A| | 0 0, , 则称之为则称之为则称之为则称之为非奇异非奇异非奇异非奇异( (或或或或非退化非退化非退化非退化) )矩阵矩阵矩阵矩阵. . 可见可见可见可见, , A A可逆可逆可逆可逆 | |A A| | 0 0 A A非奇异非奇异非奇异非奇异( (非退化非退化非退化非退化). ).第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.4 2.4 逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵 推论推论. 设设A, B为方阵为方阵, 若若AB = I(或或BA = I), 则则B = A 1.= (BA)A 1 = IA 1 = A 1. 事实上事实上, AB = I |A| 0 A可逆可逆 B = IB = (A 1A)B = A 1(AB) = A 1I = A 1. BA = I |A| 0 B = BI = B(AA 1) A可逆可逆 例例6. 设方阵设方阵A满足满足A3 2A2+3A I = 0. 证明证明: A及及A 2I可逆可逆, 并求它们的并求它们的逆矩阵逆矩阵.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.4 2.4 逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵 例例7. 求下列方阵的逆矩阵求下列方阵的逆矩阵.(1) (1) A A = =1 1 2 23 4 3 4 , ,1 1 2 2 3 32 2 12 2 13 3 4 3 4 3(2) (2) B B = =. .解解解解: (1): (1) A A 1 1 = =| |A A| |1 1A A* *= = 2 21 1 4 4 2 2 3 13 1. .(2) |B| = 2 0, B 1 =|B|1B*B11 = ( 1)1+12 14 3= 2, B21 =6, B31 = 4, B12 = 3, B22 = 6, B32 = 5, B13 = 2, B23 = 2, B33 = 2. =21 2 6 4 3 6 5 2 2 2. 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.4 2.4 逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵 求矩阵求矩阵求矩阵求矩阵X X使使使使AXBAXB = = C C. .1 1 2 2 3 32 2 12 2 13 3 4 3 4 3B B = =, ,例例例例8 8. . 设设设设 A A = =1 1 2 23 4 3 4 , ,1 1 2 2 3 33 0 13 0 1C C = =, ,解解解解: : 由例由例由例由例7 7可知可知可知可知A A, , B B都可逆都可逆都可逆都可逆. . 故故故故AXBAXB = = C C A A 1 1AXBAXB = = A A 1 1C C XBXB = = A A 1 1C C XBBXBB 1 1 = = A A 1 1CBCB 1 1 X X = = A A 1 1CBCB 1 1 . .因此因此因此因此X X = = 2 21 1 4 4 2 2 3 13 11 1 2 2 3 33 0 13 0 12 21 1 2 2 6 6 4 4 3 3 6 6 5 5 2 2 2 2 2 2 4 4 2020 1414 1 1 10 710 7= =. .1 12 2第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.4 2.4 逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵 二二. 逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质 定理定理.设设A, B为同阶可逆方阵为同阶可逆方阵, 数数k 0. 则则 (1) (A 1) 1 = A, |A 1| = |A| 1. (2) (AT) 1 = (A 1)T. (3) (kA) 1 = k 1A 1. (4) (AB) 1 = B 1A 1. 例例9. 设设A与与I A都可逆都可逆, G = (I A) 1 I, 求证求证G也也 可逆可逆, 并求并求G 1.证明证明: G = (I A) 1 (I A) 1(I A) = (I A) 1(I (I A) = (I A) 1A G 1 = A 1(I A) = A 1 I. 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.4 2.4 逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵 可以表示为可以表示为Ax = b.则线性方程组则线性方程组 x x1 1x x2 2x xn n1. 记记x = , ,b b1 1b b2 2b bmmb b = = , , A A = = a a1111 a a1212 a a1 1n na a2121 a a2222 a a2 2n n a amm1 1 a amm2 2 a amnmn, ,三三. 克拉默法则克拉默法则 下面讨论下面讨论A为为n阶方阵的情形阶方阵的情形.第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.4 2.4 逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵 对于对于n元线性方程组元线性方程组记记记记D D = = a a11 11 a a1212 a a1 1n n a a2121 a a22 22 a a2 2n n a an n1 1 a an n2 2 a annnn, , D D1 1 = =b b1 1 a a1212 a a1 1n n b b2 2 a a22 22 a a2 2n n b bn n a an n2 2 a annnn, ,D D2 2 = =a a1111 b b1 1 a a1 1n n a a2121 b b2 2 a a2 2n n a an n1 1 b bn n a annnn, , , , D Dn n = =. .a a1111 a a1212 b b1 1a a2121 a a2222 b b2 2 a an n1 1 a an n2 2 b bn n第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.4 2.4 逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵 考察考察考察考察 b bi i a ai i1 1 a ai i2 2 a ainin b b1 1 a a11 11 a a1212 a a1 1n n b b2 2 a a2121 a a22 22 a a2 2n n b bn n a an n1 1 a an n2 2 a annnn, , 按第一行展开得按第一行展开得按第一行展开得按第一行展开得 b bi i D D a ai i1 1D D1 1 a ai i2 2D D2 2 a aininD Dn n = 0 ( = 0 (i i = 1, 2, , = 1, 2, , n n). ). 当当当当D D 0 0时时时时, , 移项整理可得移项整理可得移项整理可得移项整理可得a ai i1 1 + + a ai i2 2 + + + + a ainin = = b bi i ( (i i = 1, 2, , = 1, 2, , n n) ). .D D1 1 D D2 2 D Dn nD D DD D D这就是说这就是说这就是说这就是说x x1 1 = =D D1 1D D, ,x x2 2 = =D D2 2D D, , , , x xn n = =D Dn nD D是是是是( ( ) )的解的解的解的解. . 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.4 2.4 逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵 又因为又因为D 0时时, A可逆可逆, 因而由因而由Ax = b可得可得 x =A 1b, 即即D 0时时, Ax = b有唯一的解有唯一的解. 于是可得于是可得 定理定理(Cramer法则法则). 若系数行列式若系数行列式D=|A| 0, x1 =D1D,x2 =D2D, , xn =DnD, 其中其中 Dj 是用是用b替换替换D的第的第j列所得的行列所得的行 列式列式( j = 1, 2, , n). 则则线性方程组线性方程组Ax = b有唯一的解有唯一的解 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.4 2.4 逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵 若线性方程组若线性方程组Ax = b中中b= , 则称之为则称之为齐次齐次线性方程组线性方程组, 否则称之为否则称之为非齐次线性方程组非齐次线性方程组.对于对于Ax = 来说来说, 它必然有一组它必然有一组零解零解 x1 = x2 = = xn = 0,若有一组不全为若有一组不全为零的数构成零的数构成Ax = 的的解解,则则称之为称之为Ax = 的的非非零解零解.定理定理5. 若齐次线性方程组若齐次线性方程组Ax = 的系数行列的系数行列 式式D = |A| 0, 则它只有零解则它只有零解. 2. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组齐次线性方程组与非齐次线性方程组 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.5 2.5 矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算 一一. 分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则 1.分块加法分块加法 A A = = A A1111 A A1212 A A1 1r rA A2121 A A2222 A A2 2r r A As s1 1 A As s2 2 A Asrsr, , B B = = B B1111 B B1212 B B1 1r rB B2121 B B2222 B B2 2r r B Bs s1 1 B Bs s2 2 B Bsrsr, ,其中其中Aij与与Bij是同型的是同型的“小小”矩阵矩阵. 2.5 矩阵的分块运算矩阵的分块运算 则则A+B可看成是分块矩阵的和可看成是分块矩阵的和 设矩阵设矩阵A与与B是同型的是同型的, 采用相同的分块采用相同的分块 法分块将法分块将A与与B分块如下分块如下第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.5 2.5 矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算 A A1111+ +B B1111 A A1212+ +B B1212 A A1 1r r + +B B1 1r r A A2121+ +B B2121 A A2222+ +B B2222 A A2 2r r + +B B2 2r r A As s1 1+ +B Bs s1 1 A As s2 2+ +B Bs s2 2 A Asr sr + +B Bsrsr . .A A + + B B = = 设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵A A = = A A1111 A A1212 A A1 1r rA A2121 A A2222 A A2 2r r A As s1 1 A As s2 2 A Asrsr, , 为常数为常数为常数为常数. . A A1111 A A1212 A A1 1r r A A2121 A A2222 A A2 2r r A As s1 1 A As s2 2 A Asrsr. .则则则则 A A = = 2. 分块数乘分块数乘第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.5 2.5 矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算 3. 分块乘法分块乘法 设设A为为m l矩阵矩阵, B为为l n矩阵矩阵, 将它们分块如下将它们分块如下 A =A11 A12 A1tA21 A22 A2t As1 As2 Ast, B =B11 B12 B1rB21 B22 B2r Bt1 Bt2 Btr,其中其中Ai1, Ai2, , Ait的列数分别与的列数分别与B1j, B2j, , Btj的的 行数相等行数相等. (i = 1, 2, , s; j = 1, 2, , r.)C11 C12 C1r C21 C22 C2r Cs1 Cs2 Csr, 其中其中Cij = AikBkj ,则则AB = k=1t第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.5 2.5 矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算 1 0 1 0 1 1 0 0 1 2 0 11 2 0 1 1 0 1 0 4 1 4 1 1 1 1 2 1 2 0 0B B = = , , 求求求求ABAB. . 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 21 2 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1例例例例1010. . 设设设设A A = = , ,解解解解: : A A = = , , I I O OA A1 1 I IB B = = , ,B B1111 I IB B2121 B B2222其中其中其中其中I I = = , ,1 01 00 10 1 1 21 2 1 1 1 1A A1 1= = , , 1 0 1 0 1 21 2B B1111= = , , 1 0 1 0 1 1 1 1B B2121= =, ,4 14 12 2 0 0B B2222= =. .于是于是于是于是ABAB = = I I O OA A1 1 I IB B1111 I IB B2121 B B2222, , B B1111 I IA A1 1B B1111+ +B B2121 A A1 1+ +B B2222 = =第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.5 2.5 矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算 于是于是AB = I OA1 IB11 IB21 B22 B11 IA1B11+B21 A1+B22 =,而而A1B11 = 1 2 1 1 1 0 1 2 3 4 0 2=,A1B11 +B21 = 3 4 0 2 1 0 1 1+A1+B22 = 1 2 1 14 12 0+ 2 4 1 1=,3 33 1=. B11 IA1B11+B21 A1+B22 从而从而AB = =. 1 0 1 0 1 2 0 1 2 4 3 3 1 1 3 1第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.5 2.5 矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算 例例例例1111. . 设设设设A A, , B B为为为为n n阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵, , , ,I I为为为为n n阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵, , , ,求求求求解解解解: : 设设设设X X1 1 X X2 2X X3 3 X X4 4O O A AB IB II OI OO IO I= =, , 则则则则 X X2 2B B = = I IX X1 1A A + + X X2 2 = 0= 0X X4 4B B = 0 = 0X X3 3A A + + X X4 4 = = I I| | |解得解得解得解得X X1 1 = = B B-1-1A A-1-1, , X X2 2 = = B B-1-1, , X X3 3 = = A A-1-1, , X X4 4 =0. =0. B B-1-1A A-1-1 B B-1-1 A A-1 -1 O OX X1 1 X X2 2X X3 3 X X4 4所以所以所以所以O O A AB IB I-1-1= = =. .O O A AB IB I-1-1. .第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.5 2.5 矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算 设矩阵设矩阵A = A11 A12 A1rA21 A22 A2r As1 As2 Asr,A11T A21T As1T A12T A22T As2T A1rT A2rT AsrT.则则AT = 4. 分块转置分块转置 第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.5 2.5 矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算 二二. 两种特殊的分块法两种特殊的分块法 设设A为为mn矩阵矩阵, 记记Aj为为A的第的第j列列, i为为A的的 第第i行行(j = 1, , n, i = 1, , m), 则有如下两则有如下两种重要的分块方法种重要的分块方法A = A1, A2, , An, = 1T, 2T, , nTT. 1 2 mA =第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.5 2.5 矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算 设设A为为n阶矩阵阶矩阵, 若若A的分块矩阵只有主对的分块矩阵只有主对角线上有非零子块角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵其余子块都为零矩阵, 且非零子块都是方阵且非零子块都是方阵, 即即A A = = A A1 1 O O O OO O A A2 2 O O O O O O A As s, ,其中其中A1, A2, As都是方阵都是方阵, 则称则称A为为分块分块对角矩阵对角矩阵(或或准对角矩阵准对角矩阵).三三. 分块对角矩阵分块对角矩阵 1. 定义定义第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.5 2.5 矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算 则则|A| = |A1| |A2| |As|. 2.分块对角矩阵的行列式分块对角矩阵的行列式 设分块对角矩阵设分块对角矩阵A = A A1 1 O O O OO O A A2 2 O O O O O O A As s, ,第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.5 2.5 矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算矩阵的分块运算 A 1 = A1 1 O O O O O O A2 1 O O O O O O As 1.则则A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A1, A2, , As都都 可逆可逆. 且当且当A1, , As都可逆时都可逆时,有有3.分块对角矩阵的逆矩阵分块对角矩阵的逆矩阵 设分块对角矩阵设分块对角矩阵A = A A1 1 O O O OO O A A2 2 O O O O O O A As s, ,1.理解理解理解理解矩阵的矩阵的n维向量的概念；维向量的概念；2.理解理解理解理解矩阵和向量的加法、数乘、乘法运算及矩阵矩阵和向量的加法、数乘、乘法运算及矩阵 的转置及相关的运算性质，的转置及相关的运算性质，熟练掌握熟练掌握熟练掌握熟练掌握上述运算；上述运算；3.理解理解理解理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三 角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；质；4.理解理解理解理解二阶、三阶行列式的定义，二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握熟练掌握熟练掌握熟练掌握它们的它们的计算；计算；5.知道知道知道知道全排列及全排列的逆序数的定义，全排列及全排列的逆序数的定义，会会会会计算排计算排列的逆序数，列的逆序数，知道知道知道知道对换及对换对于排列的奇偶性对换及对换对于排列的奇偶性的影响；的影响；6.了解了解了解了解n阶行列式的定义，阶行列式的定义，会会会会用行列式的定义计算用行列式的定义计算简单的简单的n阶行列式；阶行列式；第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 教学内容和基本要求教学内容和基本要求教学内容和基本要求教学内容和基本要求 7. 掌握掌握掌握掌握行列式的性质，行列式的性质，熟练掌握熟练掌握熟练掌握熟练掌握行列式按行、列展行列式按行、列展 开公式，开公式，了解了解了解了解行列式的乘法定理；行列式的乘法定理；8. 掌握掌握掌握掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式 的计算；的计算；9. 理解理解理解理解矩阵的可逆性的概念，矩阵的可逆性的概念，掌握掌握掌握掌握矩阵可逆的判别矩阵可逆的判别 方法，方法，掌握掌握掌握掌握逆矩阵的性质；逆矩阵的性质；10. 了解伴随矩阵的概念，了解伴随矩阵的概念，熟练掌握熟练掌握熟练掌握熟练掌握伴随矩阵的性伴随矩阵的性 质，质，掌握掌握掌握掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；11. 理解理解理解理解Cramer法则，法则，掌握掌握掌握掌握用用Cramer法则求方程组法则求方程组 的解的方法；的解的方法；12. 了解了解了解了解分块矩阵的运算性质，分块矩阵的运算性质，掌握掌握掌握掌握简单的分块矩阵简单的分块矩阵 的运算规则。的运算规则。第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 教学内容和基本要求教学内容和基本要求教学内容和基本要求教学内容和基本要求