第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识5-1 5-1 概述概述 一、一、 测量误差的来源测量误差的来源 测测量量工工作作是是在在一一定定条条件件下下进进行行的的，外外界界环环境境、观观测测者者的的技技术术水水平平和和仪仪器器本本身身构构造造的的不不完完善善等等原原因因，都都可可能能导导致致测测量量误误差差的的产产生生。通通常常把把测测量量仪仪器器、观观测测者者的的技技术术水水平平和和外外界界环环境境三三个个方方面面综综合合起起来来，称称为为观观测测条条件件。通通常常把把观观测测条条件件相相同同的的各各次次观观测测，称称为为等等精精度度观观测测；观观测测条条件件不不同同的的各各次次观观测测，称称为为不不等精度观测。等精度观测。 测量误差主要来源：测量误差主要来源： (1) (1) 外外界界环环境境 主主要要指指观观测测环环境境中中气气温温、气气压压、空空气气湿湿度度和和清清晰晰度度、风风力力以以及及大大气气折折光光等等因因素素的的不不断变化。断变化。 (2) (2) 仪仪器器误误差差 仪仪器器在在加加工工和和装装配配等等工工艺艺过过程程中，不能保证仪器结构能够满足各种几何关系。中，不能保证仪器结构能够满足各种几何关系。 (3)(3)观观测测误误差差 观观测测者者的的自自身身条条件件，观观测测者者的的感感官官鉴鉴别别能能力力，技技术术熟熟练练程程度度，会会在在仪仪器器对对中中、整整平平和瞄准等方面产生误差。和瞄准等方面产生误差。由由于于以以上上原原因因，使使得得观观测测值值偏偏离离观观测测量量的的真真值值或或理理论论值值而而产产生生真真误误差差或或闭闭合合差差，统统称称测测量量误误差差，简简称称误差误差。 真误差：真误差：设某一观测量的真值或理论值为设某一观测量的真值或理论值为X X，在等精度观，在等精度观测条件下对该量进行了测条件下对该量进行了n n次观测，其观测值为次观测，其观测值为l li i（i= i= 1,2,3,n),1,2,3,n),则相应的误差则相应的误差i i 定义为定义为 i i=l=li i X X 称为真误差。称为真误差。闭合差：闭合差：例如例如闭合水准测量的闭合差闭合水准测量的闭合差：全线高差观：全线高差观测值之和与其理论值（测值之和与其理论值（0 0）之差不为）之差不为0 0；三角形闭合三角形闭合差差，三内角观测值之和与理论值（，三内角观测值之和与理论值（1801800 0）之差不为）之差不为0 0；往返距离丈量的闭合差往返距离丈量的闭合差：同一距离往返观测值：同一距离往返观测值之差与理论值（之差与理论值（0 0）之差不为）之差不为0 0。等均说明观测中存。等均说明观测中存在误差。在误差。粗差粗差 ：粗差是测量中的：粗差是测量中的疏忽大意疏忽大意而造成的而造成的错误错误或电子测或电子测量仪器产生的量仪器产生的伪观测值伪观测值。例如，观测者由于判断错误而瞄错目标；量距时不细心，例如，观测者由于判断错误而瞄错目标；量距时不细心，将钢尺上的将钢尺上的6 6字看成字看成9 9；观测者吐字不清或记录者思想不集；观测者吐字不清或记录者思想不集中，导致听错或记错数据等。中，导致听错或记错数据等。粗差非常有害，它不仅影响粗差非常有害，它不仅影响测量成果的可靠性，造成返工浪费，严重的甚至会对工程测量成果的可靠性，造成返工浪费，严重的甚至会对工程造成难以估量的损失，所以，应尽量将粗差剔除。造成难以估量的损失，所以，应尽量将粗差剔除。 粗差剔除：粗差剔除：有些粗差可以有些粗差可以通过分析观测值中的异常值通过分析观测值中的异常值加以加以发现；有些粗差可以发现；有些粗差可以通过检核通过检核( (如进行多余观测如进行多余观测) )计算计算加以加以发现；而有些小粗差很难发现，对测量成果的精度影响极发现；而有些小粗差很难发现，对测量成果的精度影响极大，已引起人们的高度重视，形成了现代误差理论中一个大，已引起人们的高度重视，形成了现代误差理论中一个重要内容，叫做重要内容，叫做“粗差探测粗差探测”。在进行测量工作时，测量人员只要有高度的责任感在进行测量工作时，测量人员只要有高度的责任感和认真负责的态度，较完善地组织好观测方法和记和认真负责的态度，较完善地组织好观测方法和记录工作，加强检核，严格执行录工作，加强检核，严格执行“规范规范”等，粗差还等，粗差还是可以被及时发现和避免的。是可以被及时发现和避免的。 测量误差测量误差按性质按性质可分为可分为系统误差系统误差和和偶然误差偶然误差( (又称又称随机误差随机误差) )两类。两类。二、系统误差（又称累积误差）二、系统误差（又称累积误差） 在在相相同同的的观观测测条条件件下下，对对某某量量进进行行了了n n次次观观测测，如如果果误误差差出出现现的的大大小小和和符符号号均均相相同同或或按按一一定定的的规规律律变变化化，这这种种误差称为系统误差。系统误差一般具有累积性。误差称为系统误差。系统误差一般具有累积性。例例如如，用用一一把把名名义义长长度度为为50m50m的的钢钢尺尺去去量量距距，经经检检定定钢钢尺尺的的实实际际长长度度为为50.005 50.005 m m，则则每每量量一一尺尺，就就带带有有+0.005 +0.005 m m的的误误差差，丈丈量量的的尺尺段段越越多多，所所产产生生的的误误差差越越大大。所所以以这这种种误误差与所丈量的距离成正比。差与所丈量的距离成正比。 在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角时，对水准尺的读数所产生的误差为角时，对水准尺的读数所产生的误差为D D*i/*i/（=206265=206265是一弧度对应的秒值是一弧度对应的秒值) )，它与，它与水准仪至水准尺之间的距离水准仪至水准尺之间的距离D D成正比，所以这种误差按某成正比，所以这种误差按某种规律变化。种规律变化。这些误差都属于系统误差，在测量成果中具有累积这些误差都属于系统误差，在测量成果中具有累积性，对测量成果的影响较为显著，但由于这些误差性，对测量成果的影响较为显著，但由于这些误差具有一定的规律性，所以，具有一定的规律性，所以，我们可以采取措施来消我们可以采取措施来消除或尽量减少其对测量成果的影响除或尽量减少其对测量成果的影响。通常有以下三种处理方法：通常有以下三种处理方法：（1 1）检校仪器：）检校仪器：把仪器的系统误差降低到最小程度。把仪器的系统误差降低到最小程度。例例如，在测量工作开始前，如，在测量工作开始前，对仪器进行检验和校正对仪器进行检验和校正，可以使，可以使系统误差减少。系统误差减少。（2 2）求改正数）求改正数：对观测成果进行必要的改正，如钢尺经：对观测成果进行必要的改正，如钢尺经过检定，求出尺长改正数。过检定，求出尺长改正数。（3 3）对称观测）对称观测：使系统误差对观测成果的影响互为相反：使系统误差对观测成果的影响互为相反数，例如：水准测量采用中间法，水平角测量采用盘左盘数，例如：水准测量采用中间法，水平角测量采用盘左盘右观测等，都是为了达到削弱系统误差的目的。右观测等，都是为了达到削弱系统误差的目的。 系统误差具有明显的系统误差具有明显的规律性和累积性规律性和累积性，其误差，其误差的大小和符号有一定的规律，所以可以采取适当的大小和符号有一定的规律，所以可以采取适当措施加以消除或削弱。措施加以消除或削弱。 当当观观测测值值中中剔剔除除了了粗粗差差，排排除除了了系系统统误误差差的的影影响响，或或者者与与偶偶然然误误差差相相比比系系统统误误差差处处于于次次要要地地位位后后，占占主主导导地位误差就是偶然误差地位误差就是偶然误差。 在在观观测测过过程程中中，系系统统误误差差和和偶偶然然误误差差总总是是相相伴伴而而生生。当当系系统统误误差差占占主主导导地地位位时时，观观测测误误差差就就呈呈现现一一定定的的系系统统性性；反反之之，当当偶偶然然误误差差占占主主导导地地位位时时，观观测测误误差差就就呈呈现现偶然性。偶然性。 如如前前所所述述，系系统统误误差差有有明明显显的的规规律律性性，容容易易发发现现，也也较较易易控控制制，所所以以在在测测量量过过程程中中总总可可以以采采取取各各种种办办法法消消除除其其影影响响，使使其其处处于于次次要要地地位位。而而偶偶然然误误差差则则不不然然，不不能能完完全全消消除除，故故本本章章中中所所讨讨论论的的测测量量误误差差，均均系系指指偶偶然然误差而言的。误差而言的。 第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识三、三、 偶然误差偶然误差 在相同的观测条件下，对某量进行了在相同的观测条件下，对某量进行了n n次观测，如次观测，如果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶然误差，又称为随机误差然误差，又称为随机误差。例如，用经纬仪测角时的例如，用经纬仪测角时的照准误差照准误差，钢尺量距时的，钢尺量距时的读数读数误差误差等，都属于偶然误差。等，都属于偶然误差。 偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实不偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实不能预知其出现的大小和符号。能预知其出现的大小和符号。但若在一定的观测条件下，但若在一定的观测条件下，对某量进行多次观测，误差列却呈现出一定的规律性，对某量进行多次观测，误差列却呈现出一定的规律性，称为统计规律。称为统计规律。而且，随着观测次数的增加，偶然误差而且，随着观测次数的增加，偶然误差的规律性表现得更加明显。的规律性表现得更加明显。 例例如如，在在相相同同的的观观测测条条件件下下，对对358个个三三角角形形的的内内角角进进行行了了观观测测。由由于于观观测测值值含含有有偶偶然然误误差差，致致使使每每个个三三角角形形的的内内角角和和不不等等于于180。设设三三角角形形内内角角和和的的真真值值为为X，观观测测值值为为L，其观测值与真值之差为，其观测值与真值之差为真误差真误差。用下式表示为：。用下式表示为：i=Li-X（i=1,2,358） （6-16-1） 由由（6-1）式式计计算算出出358个个三三角角形形内内角角和和的的真真误误差差，并并取取误误差差区区间间为为d=3，以以误误差差的的大大小小和和正正负负号号，分分别别统统计计出出它它们们在在各各误误差区间差区间内的内的个数个数k和和频率频率k/n，结果列于表中。，结果列于表中。 四、偶然误差的特性：四、偶然误差的特性： 为了更直观地表示偶然误差的分布情况，以为了更直观地表示偶然误差的分布情况，以为横坐标为横坐标轴，以轴，以 （即真误差在各区间的分布密度）为纵坐（即真误差在各区间的分布密度）为纵坐标作直方图，标作直方图， 为图中任一长条矩形的面积称为为图中任一长条矩形的面积称为频率。频率。此图称为偶然误差分布直方图（在统计学上称为频率直方此图称为偶然误差分布直方图（在统计学上称为频率直方图）：图）：偶然误差的统计规律的四个特性：偶然误差的统计规律的四个特性： 在一定的观测条件下，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；（一定的限值；（有界性有界性） 绝对值小的误差比绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机绝对值大的误差出现的机会多会多( (密集性密集性) )； 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；（绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；（对称对称性性） 在相同观测条件下，当观测次数在相同观测条件下，当观测次数n n无限增大，无限增大，即即时，偶然误差的算术平均值趋于零，即时，偶然误差的算术平均值趋于零，即 在数理统计中，称为偶然在数理统计中，称为偶然误差的数学期望等于零。误差的数学期望等于零。即（即（抵偿性抵偿性）在上表和上在上表和上图图中所反映的中所反映的误误差分布，是差分布，是观测观测次数有次数有限限时时的分布，称的分布，称为为经验经验分布分布。当。当观测观测次数次数nn、误误差区差区间间间间隔隔d d00（即无限即无限缩缩小）小）时时，落在各区，落在各区间间的的误误差差频频率率k/Nk/N将将趋趋近于其概率近于其概率P(P(i i) )，这时这时直直方方图图中中长长方形方形顶边顶边所形成的折所形成的折线线将将变变成一条成一条光滑曲光滑曲线线。称为称为误差的理论分误差的理论分布布( (或误差分布曲线或误差分布曲线) )，这就是概率论中，这就是概率论中著名的高斯正态分著名的高斯正态分布。布。高斯正高斯正态态分布曲分布曲线线的的纵纵坐坐标标表示表示误误差分布的差分布的概率密度概率密度，它，它是偶然是偶然误误差的函数，差的函数，简简称称概率函数概率函数， 表示表示为为f()f()，横坐，横坐标标表示表示误误差的大小，曲差的大小，曲线线下的面下的面积积表示表示误误差出差出现现的的概率概率，即：即： 高斯根据偶然误差的统计特性，推导出了概率密度函高斯根据偶然误差的统计特性，推导出了概率密度函数的数的数学模型数学模型为：为：称为称为高斯正态分高斯正态分布概率密度函数布概率密度函数。它是德。它是德国科学家高斯（国科学家高斯（CaussCauss）于）于19741974年年1717岁时研究误差的岁时研究误差的规律时发现的。规律时发现的。第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识图图中中每每个个小小长长方方形形的的面面积积就就形形象象地地表表达达了了该该区区间间真真误误差差分分布布的的频频率率。例例如如图图中中带带有有斜斜线线的的长长方方形形的的面面积积为为0.069，即即表表示示真真误误差差出出现现在在+6+9区区间间的的频率为频率为0.069。第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识在概率统计中，称在概率统计中，称为随机变量。当为随机变量。当为连续型随机变量为连续型随机变量时，可以证明：时，可以证明：五、精度与观测质量：五、精度与观测质量：当偶然误差当偶然误差=0=0时时，密度函数有最大值密度函数有最大值 ；若对密；若对密度函数关于度函数关于取二阶导数并令其等于取二阶导数并令其等于0 0，可求得曲线两，可求得曲线两个拐点的横坐标值为个拐点的横坐标值为 ，所包围的曲边梯形面积，所包围的曲边梯形面积时误差落在区间（时误差落在区间（+ +，- - ）的概率，为一定值。）的概率，为一定值。 见下图，可见误差顶点的位置由见下图，可见误差顶点的位置由决定决定，愈小愈小y y值愈值愈大，函数顶峰高而陡峭，表示误差小，密度大，观测精大，函数顶峰高而陡峭，表示误差小，密度大，观测精度高；反之低而平缓，精度低。度高；反之低而平缓，精度低。例如，例如，y=2y=2比比y=1y=1的的误差曲线要陡峭的多，这是误差曲线要陡峭的多，这是因为因为2 21 1，第二组的观测，第二组的观测精度高于第一组的结果。精度高于第一组的结果。综合上述，得到偶然误差所表现出的两大数学特征：综合上述，得到偶然误差所表现出的两大数学特征：（1） 的数学期望为的数学期望为0 0，表明误差列的分布，是以它的，表明误差列的分布，是以它的数学期望数学期望0 0为为中心和终点中心和终点，逐步密集。该中心称为离散，逐步密集。该中心称为离散（取值为有限个或可列无限个）中心，是误差真值所在位（取值为有限个或可列无限个）中心，是误差真值所在位置。误差在置。误差在0 0的左右对称取值，其范围、大小、符号、误的左右对称取值，其范围、大小、符号、误差的补偿性，均如上述偶然误差的特性所述。差的补偿性，均如上述偶然误差的特性所述。（2 2）2 2的数学期望为方差的数学期望为方差2 2，它说明了误差在离散中心周，它说明了误差在离散中心周围所聚集的围所聚集的紧密度紧密度，也就是观，也就是观测值之间的测值之间的离散程度离散程度。 愈小愈小误差愈小，观测值愈密集地接误差愈小，观测值愈密集地接近其真值或它的数学期望（观测值的均值）。近其真值或它的数学期望（观测值的均值）。 测量工作总是希望尽可能地获得小的测量工作总是希望尽可能地获得小的值。它是衡量观值。它是衡量观测值精度高低的理论尺度。测值精度高低的理论尺度。第三节第三节 衡量精度的指标衡量精度的指标一、方差及其中误差一、方差及其中误差 高斯分布密度函数中的参数高斯分布密度函数中的参数，在几何上是曲线拐点，在几何上是曲线拐点的横坐标，概率论中称为随机变量的标准差的横坐标，概率论中称为随机变量的标准差( (方差的平方方差的平方根根) )。当观测条件一定时，误差分布状态唯一被确定，误。当观测条件一定时，误差分布状态唯一被确定，误差分布曲线的两个拐点也唯一被确定。这就是说参数差分布曲线的两个拐点也唯一被确定。这就是说参数与与观测条件、误差分布的密集程度及观测质量一一对应，即观测条件、误差分布的密集程度及观测质量一一对应，即将误差分布的密集或离散程度定义为将误差分布的密集或离散程度定义为“精度精度”。用。用作为作为精度指标，可以定量地衡量观测质量。所以在衡量观测精精度指标，可以定量地衡量观测质量。所以在衡量观测精度时，只要设法计算出该组误差所对应的标准差度时，只要设法计算出该组误差所对应的标准差值即可。值即可。方差方差2 2在概率论中有严格的定义：方差在概率论中有严格的定义：方差2 2是随机变量是随机变量x x与与其数学期望其数学期望E(x)E(x)之差的平方的数学期望，用数学公式表达之差的平方的数学期望，用数学公式表达为：为：2 2=E=Ex-E(x)x-E(x)2 2方差的定义：方差的定义：中误差的定义：中误差的定义：中误差的估值：中误差的估值：例例:真误差真误差甲组甲组+5+2-2-10-3乙组乙组+6-7-1-4+5+2中误差的几何意义中误差的几何意义可以证明中误差是正态分布曲线上两个拐点的横坐标可以证明中误差是正态分布曲线上两个拐点的横坐标值。值。 若若用用测测量量专专业业的的术术语语来来叙叙述述标标准准差差，就就是是在在一一定定观观测测条条件件下下，当当观观测测次次数数n n无无限限增增加加时时，测测量量真真误误差差的的均均方根用下式表示：方根用下式表示：因因为为观观测测次次数数n n不不可可能能无无限限增增加加，故故标标准准差差难难以以求求得得。在在测测量量工工作作中中，观观测测次次数数n n总总是是有有限限的的，只只能能求求得得标标准准差差的的“估值估值”，记作，记作m m，称为，称为“中误差中误差”。其值可用下式计算：其值可用下式计算： 式中式中= =2 2+ + 2 2+ + 2 2+为真误差为真误差的平方和，的平方和，n n为观测次数。为观测次数。通常把通常把m m称为观测值中误差或一次观测值中称为观测值中误差或一次观测值中误差。误差。作为精度指标，中误差最为常用，这是因为中误差对大作为精度指标，中误差最为常用，这是因为中误差对大误差的出现特别敏感，只要在误差列中有大误差存在，误差的出现特别敏感，只要在误差列中有大误差存在，中误差迅速增大，说明观测质量不好。中误差迅速增大，说明观测质量不好。【例】例】设有两组等精度观测列，其真误差分别为设有两组等精度观测列，其真误差分别为第一组第一组-3、+3、-1、-3、+4、+2、-1、-4；第二组第二组+1、-5、-1、+6、-4、0、+3、-1。试求这两组观测值的中误差。试求这两组观测值的中误差。解：解：比较比较m1和和m2可知，第一组观测值的精度要比第二组高。可知，第一组观测值的精度要比第二组高。上式的绝对误差是采用往返丈量之差，即上式的绝对误差是采用往返丈量之差，即真误差真误差来计算相来计算相对误差，称为对误差，称为相对真误差；相对真误差；采用采用中误差中误差计算的相对误差计算的相对误差，称为称为相对中误差。相对中误差。3 3 极限误差极限误差限限差差的的理理论论依依据据就就是是偶偶然然误误差差的的特特性性(1)(1)：误误差差不不会会超超过过一定的限一定的限值值。理。理论论研究表明，研究表明，误误差落在区差落在区间间(-k(-k，+k)+k)的概率的概率为为：k=1k=1时时，P(|P(|)68.3%)68.3%；k=2k=2时时， P( P(| 2| 2)95.5%)95.5%；k=3k=3时时， P( P(| 3| 3)99.7%)99.7%；k=4k=4时时， P( P(| 4| 4)1)1。在测量工作中，常取两倍中在测量工作中，常取两倍中误差作为误差的限值，作为测误差作为误差的限值，作为测量成果取舍的极限误差，量成果取舍的极限误差，极极=3 =3 简称限差，也称容许误差。简称限差，也称容许误差。要求较严的取要求较严的取2m,2m,要求较宽的取要求较宽的取3m.3m.观测值中，凡是误差超观测值中，凡是误差超过容许误差的，一律舍弃重测。过容许误差的，一律舍弃重测。 在实际工作中，为了确保观测成果质量，根据测量对在实际工作中，为了确保观测成果质量，根据测量对精度的不同要求，参考极限误差，将观测值预期中误差的精度的不同要求，参考极限误差，将观测值预期中误差的2323倍，定为检核观测质量，决定观测值取舍所能容许的倍，定为检核观测质量，决定观测值取舍所能容许的最大限值标准，称为容许误差。最大限值标准，称为容许误差。容容= =（2323）m m第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识 5-4 5-4 误差传播定律误差传播定律 对对于于能能直直接接观观测测的的量量( (如如角角度度、距距离离、高高差差等等) )，经经过过多多次次观观测测后后，便便可可通通过过真真误误差差或或改改正正数数计计算算出出观观测测值值的的中中误误差差，作作为为评评定定观观测测值值精精度度的的标标准准。但但在在实实际际工工作作中中，某某些些未未知知量量不不可可能能或或不不便便于于直直接接进进行行观观测测，而而需需要要由由另另一一些些直直接接观观测测量量根根据据一一定定的的函函数数关关系系计计算算出出来来，这这些些未未知知量量即即为为观观测测值值的的函函数数。例例如如，在在水水准准测测量量中中，两两点点间间的的高高差差h=a-bh=a-b，则则h h是是直直接接观观测测值值a a和和b b的的函函数数；在在三三角角高高程程测测量量的的计计算算公公式式中中，如如果果觇觇标标高高v v等等于于仪仪器器高高i i，则则h=Dtanh=Dtan，这这时，高差时，高差h h就是观测值就是观测值D D和和的函数，等等。的函数，等等。 本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。如何求观测值函数中误差的问题。 阐述观测值中误差与函数中误差之间函数关系的定律，阐述观测值中误差与函数中误差之间函数关系的定律，称为误差传播定律。称为误差传播定律。第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识一、一、 线性函数线性函数 1 1 、倍数函数、倍数函数 设有函数设有函数Z=KXZ=KX 式式中中X X为为直直接接观观测测值值，其其中中误误差差为为m mx x；为为常常数数；Z Z为为观测值观测值X X的函数。的函数。 若对若对X X作作n n次同精度观测，则有：次同精度观测，则有： m m2 22 2m mx x2 2 或或 m mm mx x 上上式式表表明明：对对于于倍倍数数函函数数，函函数数的的中中误误差差等等于于观观测测值值中误差的中误差的K K倍。倍。还可以证明如下：还可以证明如下：第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识设有函数设有函数 z=kx 式式中中k为为常常数数，x为为直直接接观观测测值值，其其中中误误差差为为mx，现现在在求求观观测测值值函函数数Z的中误差的中误差mZ。设设x和和Z的真误差分别为的真误差分别为x和和Z，由式知它们之间的关系为，由式知它们之间的关系为Z=kx若对若对x共观测了共观测了n次，则次，则ZiZi=k=kXiXi（i=1,2,n）将上式两端平方后相加，并除以将上式两端平方后相加，并除以n，得，得 第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识按中误差定义可知按中误差定义可知或或即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数。即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数。 例例用用水水平平视视距距公公式式D=kl求求平平距距，已已知知观观测测视视距距间间隔隔的的中中误误差差ml=1cm，k=100，则平距的中误差，则平距的中误差mD=100ml=1m。第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识2 2 和、差函数和、差函数 设有函数设有函数Z=xyZ=xy 式中，式中，x x、y y为两个相互独立的观测值，均作了为两个相互独立的观测值，均作了n n次观次观测，其中误差分别为测，其中误差分别为m mx x和和m my y。设真误差分别为设真误差分别为x x和和y y，由，由（6-106-10）式可得）式可得第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识 当当z z是一组独立观测值是一组独立观测值x x1 1、x x2 2、x xn n的和或差函数时，即：的和或差函数时，即：z=xz=x1 1xx2 2xxn n根据上述推导方法，可得函数根据上述推导方法，可得函数z z的中误差平方为：的中误差平方为：m m2 2z z=m=m2 2x1x1+m+m2 2x2x2+m+m2 2xnxn式中：式中：m mxixi为观测值为观测值x xi i的中误差。于是，上式可表述为：的中误差。于是，上式可表述为：n n个个独独立立观观测测值值代代数数和和或或差差的的中中误误差差平平方方，等等于于n n个个观观测测值值中中误误差平方之和。差平方之和。特别是，当特别是，当x xi i为同精度观测值时，有为同精度观测值时，有m mx1x1=m=mx2x2=m=mxnxn=m=m则则m2z=nm2,n n个个同同精精度度观观测测值值代代数数和和的的中中误误差差等等于于观观测测值值中中误误差差的的根根n n倍倍。第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识3 3 一般线性函数一般线性函数 设有函数设有函数Z=KZ=Kx xKK2 2x xKKn nx xn n 式式中中，K K、K KKKn n为为常常数数;x;x、x xxxn n为为独独立立观观测测值值，其其相相应应的的中中误误差差分分别别为为m m、m mmmn n。根根据据倍倍数数函函数数与与和和差差函数的中误差公式，可列出求一般线性函数函数的中误差公式，可列出求一般线性函数中误差的公式为：中误差的公式为： m m 2 2（m m）（m m）（n nm mn n）第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识二二、 非线性函数非线性函数 设有非线性函数设有非线性函数Z=f(xZ=f(x，x xxxn n） 式式中中，x x，x xxxn n为为独独立立观观测测值值，其其相相应应的的中中误误差差分分别为别为m m、m mmmn n。 则有则有 第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识上上式式是是误误差差传传播播定定律律的的一一般般形形式式，其其他他形形式式的的函函数数都都是是它它的特例。的特例。求任意函数中误差的步骤列出关于直接观测量的函数关系式全微分套用中误差关系式常用函数的中误差公式：常用函数的中误差公式：例例1、量得某圆形建筑物得直径、量得某圆形建筑物得直径D=34.50m,其中误差其中误差,求建筑物的圆周长及其中误差。求建筑物的圆周长及其中误差。解：圆周长解：圆周长例例3、用长、用长30m的钢尺丈量了的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中个尺段，若每尺段的中误差为误差为5mm，求全长，求全长D及其中误差。及其中误差。第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识例5设以同精度测得三角形三内角为设以同精度测得三角形三内角为 、 、 ，其中误差，其中误差为为m m。由于三内角和不为。由于三内角和不为 而产生闭合差而产生闭合差 ， 为了消除闭合差，对每个角值分配三分之一的闭合差，得为了消除闭合差，对每个角值分配三分之一的闭合差，得各角的最后结果，即各角的最后结果，即 试求试求 及及 的中误差的中误差m m 及及m m 第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识解：由式 得得m m2 2 = = m m2 2 + + m m2 2 + + m m2 2 =3m=3m2 2m m = m= m由由 代入代入 得得 2/3 2/3 -1/3 -1/3 -1/3 -1/3 -60-60 即即 m m = =5-5算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 一、算术平均值一、算术平均值 在在相相同同的的观观测测条条件件下下对对某某未未知知量量进进行行了了一一组组等等精精度度观观测测，其其观测值分别为观测值分别为l l、l l、l ln n，观测值的真值为观测值的真值为X X，则观测值的真误差为：则观测值的真误差为： 上上式式表表明明，当当观观测测次次数数无无限限增增多多时时，各各个个观观测测值值的的算算术术平平均均值值趋趋近近于于未未知知量量的的真真值值。当当n n为为有有限限值值时时，通通常常取取算算术术平平均均值值作作为为未未知知量量的的最最或或然然值值（最最可可靠靠值值）( (最最或或是是值值) )，并以它作为测量的最后成果。，并以它作为测量的最后成果。 算算术术平平均均值值的的一一般般表表达达式式为为：x=x=（l ll ll ln n）/n/nl/nl/n 5-5算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差二、算术平均值的中误差二、算术平均值的中误差观测次数观测次数算术平均值的中误差算术平均值的中误差20.7140.5060.41100.32200.22500.14一、一、 改正数改正数 由于观测值由于观测值l li i的真误差的真误差i i一般是不知道的一般是不知道的，所以实际，所以实际工作工作中常采用观测值的改正数中常采用观测值的改正数v vi i来计算中误差来计算中误差。 所谓改正数，就是最或是值与观测值之差，用所谓改正数，就是最或是值与观测值之差，用v v表示，表示，即：即： v=x-l v=x-l 式中式中v v为观测值的改正数；为观测值的改正数；l l为观测值；为观测值；x x为观测值的最为观测值的最或是值。或是值。各观测值的改正数：各观测值的改正数： v vx xl l v vx xl l2 2 v vn nx xl ln n将上式两边求和将上式两边求和: : v v=nx-=nx-l l 将将x=l/nx=l/n代入，得代入，得v v=0=0。此式可作为改正数计算。此式可作为改正数计算正确性的检查。正确性的检查。5-5用改正数计算等精度观测值的中误差用改正数计算等精度观测值的中误差二、用改正数计算中误差二、用改正数计算中误差设对某个量进行设对某个量进行n n次观测，观测值为次观测，观测值为l li i（i=1,2n)i=1,2n)，则，则它的最或是值就是它的最或是值就是n n个观测值的算术平均值个观测值的算术平均值x x，5-5用改正数计算等精度观测值的中误差用改正数计算等精度观测值的中误差（i i，nn）例例6 对某段距离用同等精度丈量了对某段距离用同等精度丈量了6次，结果列于下表，次，结果列于下表，求这段距离的最或然值，观测值的中误差及最或然值的求这段距离的最或然值，观测值的中误差及最或然值的中误差。中误差。次序次序观测值观测值(m)Li（mm）vi=x-Li(mm)v(mm)vv(mm2)1346.53515+4+4162346.54828-9-8643346.5200+19+193614346.54626-7-7495346.55030-11-101006346.53717+2+24取取L0=346.520L=116mmv=-2v=0vv=594例例6（续）测量中常用下法解：（续）测量中常用下法解：例例7 7 （课本例（课本例5-95-9）设用经纬仪对某角等精度观测了设用经纬仪对某角等精度观测了6 6个测回，其观测值列于个测回，其观测值列于表中，试求该角的最或然值、观测值中误差和最或然值表中，试求该角的最或然值、观测值中误差和最或然值中误差。中误差。测回观测值/( )改正数v/（） vv计算136 50 30-416236 50 2600336 50 28-24436 50 24+24536 50 25+11636 50 23+3922102 36 034从上例计算可以看出，从上例计算可以看出，m=2.6,M=1.1m=2.6,M=1.1算术平均值的精度显然提高。从公式算术平均值的精度显然提高。从公式 可以看出，增加观测次数可以提高算术平均值的精度。可以看出，增加观测次数可以提高算术平均值的精度。例如，设观测值的中误差例如，设观测值的中误差m=1,m=1,算术平均值的中误差算术平均值的中误差M M与与观测次数观测次数n n的关系如图，由该图可以看出，当的关系如图，由该图可以看出，当n n增加时，增加时，M M减小。但当观测次数达到一定数值后（例如减小。但当观测次数达到一定数值后（例如n=10n=10），），再增加观测次数，工作量增加，但提高精度的效果就再增加观测次数，工作量增加，但提高精度的效果就不太明显了。故不能单纯以增加观测次数来提高测量不太明显了。故不能单纯以增加观测次数来提高测量成果的精度，还应设法提高观测值本身的精度。例如，成果的精度，还应设法提高观测值本身的精度。例如，采用精度较高的采用精度较高的仪器，提高观测技能，在良好仪器，提高观测技能，在良好的外界条件下进行观测等。的外界条件下进行观测等。5-6 5-6 由真误差计算中误差由真误差计算中误差一、由三角形闭合差求测角中误差一、由三角形闭合差求测角中误差 三角形三个内角和的真值为三角形三个内角和的真值为180180，现设以等精度观，现设以等精度观测了三角网中每个三角形的各个内角测了三角网中每个三角形的各个内角i i 、i i 、i i，求每个三角形的闭合差求每个三角形的闭合差i,i=i+i+i-180i=1,2,3,n可可见，i 是三角形内角和的真误差，于是，由中误差定义公式得三角形内角和的中误差为：由德国测量学家菲列罗所创，在三角测量中，常用它由德国测量学家菲列罗所创，在三角测量中，常用它来初步评定测量的精度，该公式于来初步评定测量的精度，该公式于18871887年被国际地球年被国际地球测量委员会认定，沿用至今。测量委员会认定，沿用至今。例例8 8 见课本例见课本例5-105-10二、用等精度按双次观测列差值求观测值中误差二、用等精度按双次观测列差值求观测值中误差在测量工作中，常常对一些量观测两次，我们把这种观在测量工作中，常常对一些量观测两次，我们把这种观测称为双次观测。对一个未知量进行的双次观测值，测称为双次观测。对一个未知量进行的双次观测值，称为一个观测对。多个双次观测值称为双次观测列。称为一个观测对。多个双次观测值称为双次观测列。双次观测值之差的真值为零。若同一个量两次观测值双次观测值之差的真值为零。若同一个量两次观测值的差设为的差设为di ，则有：，则有：di=li- li di就是差值的真误差。根据中误差定义式，差值的中误就是差值的真误差。根据中误差定义式，差值的中误差应为：差应为：观测量的最或然值是两次观测结果的算术平均值，即：观测量的最或然值是两次观测结果的算术平均值，即：例例8水准测量在水准点水准测量在水准点16各点之间往返各测了一次，各点之间往返各测了一次，各水准点间的距离均为各水准点间的距离均为1km,各段往返测所得的高差见各段往返测所得的高差见下表。求每公里单程水准测量高差的中误差和每公里下表。求每公里单程水准测量高差的中误差和每公里往返测平均高差的中误差。往返测平均高差的中误差。测段高差观测值(m)dd12-0.185+0.188+3923+1.626-1.629-3934+1.435-1.430+52545+0.505-0.509-41656-0.007+0.005-24三、误差传播定律在测量上的应用举例三、误差传播定律在测量上的应用举例（一）距离测量的误差传递（一）距离测量的误差传递钢尺量距：设用长度为钢尺量距：设用长度为L L的钢尺丈量的钢尺丈量A A、B B之间的距离之间的距离S S，共量了共量了n n个尺段。若每尺段丈量中误差均为个尺段。若每尺段丈量中误差均为 m mL L, ,求求S S的中的中误差。误差。（1 1）列出线性函数：）列出线性函数：则则S S的中误差为：的中误差为：表明：距离丈量的中误差与所测尺段数表明：距离丈量的中误差与所测尺段数n n的平方根成正比。的平方根成正比。由于丈量是采用同一根钢尺和相同的方法进行的，式中由于丈量是采用同一根钢尺和相同的方法进行的，式中的的L L与与m mL L可视为定值，令可视为定值，令当当L=1L=1时，时，m=mm=mL L, ,即即m m为单位长度的丈量中误差，为单位长度的丈量中误差，故有故有即距离即距离S S的中误差，与距离的平方根成正比，或者说等于的中误差，与距离的平方根成正比，或者说等于单位长度的丈量中误差的单位长度的丈量中误差的 倍。倍。（2 2）光电测距：光电测距，通常将已知每千米距离测量）光电测距：光电测距，通常将已知每千米距离测量中误差（比例误差）作为单位权中误差，设为中误差（比例误差）作为单位权中误差，设为m mkmkm, ,则对则对DkmDkm的距离，其中误差为：的距离，其中误差为：表明：光电测距的中误差与所测距离的平方根成正比。表明：光电测距的中误差与所测距离的平方根成正比。例例1 1、用、用50m50m的钢尺分四段丈量长为的钢尺分四段丈量长为200m200m的距离，已知每的距离，已知每尺段量距中误差为尺段量距中误差为10mm10mm，试求全长的中误差和相对中，试求全长的中误差和相对中误差。误差。解：解：S=200mS=200m，n=4n=4，m mL L= 10mm,= 10mm,则则二、水准测量的误差传递二、水准测量的误差传递设在设在A A、B B两点之间进行水准测量，中间共设两点之间进行水准测量，中间共设n n站，则站，则A A、B B两点之间的高差应等于两点之间的高差应等于n n站所测高差之和，即：站所测高差之和，即： h hAB AB =h=h1 1+h+h2 2+h+hn n 式中式中h hi i为各站的观测高差。为各站的观测高差。设每站的高差观测中误差均为设每站的高差观测中误差均为m m站站，则，则A A、B B两点之间的两点之间的高差中误差为：高差中误差为：表明：水准测量高差的中误差等于各站高差观测中误表明：水准测量高差的中误差等于各站高差观测中误差的差的 倍，即与测站数的平方根成正比。倍，即与测站数的平方根成正比。 当水准路线通过平坦地区时，各站的视线长度大致相当水准路线通过平坦地区时，各站的视线长度大致相等，每千米的测站数也大致相同。故可认为每千米水准测等，每千米的测站数也大致相同。故可认为每千米水准测量高差的中误差相同，设为量高差的中误差相同，设为m mkmkm。 当当A A、B B两点之间的水准路线长为两点之间的水准路线长为SkmSkm时，时，A A、B B两点间高两点间高差的中误差为：差的中误差为： 表明：在平坦地区进行水准测量时，水准测量高差的表明：在平坦地区进行水准测量时，水准测量高差的中误差与距离中误差与距离S S的平方根成正比。的平方根成正比。 可见，水准路线越长，高差中误差就越大。可见，水准路线越长，高差中误差就越大。所以，为保证测量精度，规范对不同等级的水准测量所以，为保证测量精度，规范对不同等级的水准测量的路线长度作了限制。的路线长度作了限制。例例2 2、在长为、在长为R R公理的水准路线上，进行往、返观测，已知公理的水准路线上，进行往、返观测，已知往返测高差中数的每公里中误差为往返测高差中数的每公里中误差为m m，问往返测高差较差，问往返测高差较差的中误差是多少？在四等水准测量中，已知的中误差是多少？在四等水准测量中，已知m=5mmm=5mm，问，问往返测高差较差的极限值应为多少？往返测高差较差的极限值应为多少？解解（1 1）高差中数是往返测高差的平均数。若已知每公里）高差中数是往返测高差的平均数。若已知每公里高差中数的中误差为高差中数的中误差为m m，则单程观测每公里的高差中误差，则单程观测每公里的高差中误差为：为： 当路线长为当路线长为R R公里时，单程观测高差的中误差为：公里时，单程观测高差的中误差为：（2 2）取两倍中误差为极限误差，并以）取两倍中误差为极限误差，并以m=5mmm=5mm代入，则四代入，则四等水准往返测高差较差的极限值为：等水准往返测高差较差的极限值为：往返测高差较差及其中误差为：往返测高差较差及其中误差为：R R是水准路线长，单位是水准路线长，单位kmkm。三三 、角度测量的误差传递、角度测量的误差传递（一）水平角观测的精度与前面所述各种误差的综合影（一）水平角观测的精度与前面所述各种误差的综合影响有关，如仪器误差、对中误差、目标偏心、外界条件响有关，如仪器误差、对中误差、目标偏心、外界条件影响、观测误差、人员条件等。在这些误差中大都包含影响、观测误差、人员条件等。在这些误差中大都包含系统误差和偶然误差，系统误差可以采取相应措施使其系统误差和偶然误差，系统误差可以采取相应措施使其消除或减小。剩下的真误差将是各个独立偶然误差的代消除或减小。剩下的真误差将是各个独立偶然误差的代数和。这里就只包括数和。这里就只包括照准误差照准误差和和读数误差读数误差在内的观测误在内的观测误差进行分析。差进行分析。用用m m照照表示望远镜照准误差，通常用表示望远镜照准误差，通常用 来估计照来估计照准误差，准误差，V V为望远镜放大率。对为望远镜放大率。对DJ6DJ6型经纬仪，型经纬仪，V=26V=26 ，则则又设又设DJ6DJ6型经纬仪的读数误差型经纬仪的读数误差m m读读=6=6一测回的方向值是上、下两个半测回方向值的平均值，一测回的方向值是上、下两个半测回方向值的平均值，即：即：而方向值的每次观测都是一次瞄准和一次读数的结果。而方向值的每次观测都是一次瞄准和一次读数的结果。即即:b:b左左=b=b右右=a=a左左=a=a右右=L=L瞄准瞄准+L+L读数读数，所以，所以m m2 2每次每次=m=m2 2照照+m+m2 2读读而一测回的方向值是：而一测回的方向值是：由误差传播定律可知，一测回的方向中误差由误差传播定律可知，一测回的方向中误差m m方方为：为：实际上因为仪器使用时轴系间的磨损及其它不利因素的实际上因为仪器使用时轴系间的磨损及其它不利因素的影响，设计精度一般要更高一点，新出厂的仪器在精度影响，设计精度一般要更高一点，新出厂的仪器在精度上有所富裕。上有所富裕。DJ6DJ6型经纬仪设计时考虑了各种误差的综合影响，保证型经纬仪设计时考虑了各种误差的综合影响，保证野外一测回的方向中误差为野外一测回的方向中误差为6“6“。现以现以m m方方= 6= 6为依据，按误差传播定律来分析水平角观为依据，按误差传播定律来分析水平角观测精度。测精度。设野外一测回的方向中误差设野外一测回的方向中误差 m m方方=6=6，则各测回同一方向的较差为：则各测回同一方向的较差为：L L方方d d=L=L方方1 1-L-L方方2 2则各测回同一方向的较差中误差则各测回同一方向的较差中误差m m方方d d为：为：由于一测回的方向值是两个半测回方向值的平均值，由于一测回的方向值是两个半测回方向值的平均值，即：即：则半测回方向值的中误差为：则半测回方向值的中误差为：从而得到上、下两个半测回同一方向的较差为：从而得到上、下两个半测回同一方向的较差为：L L半方半方d d=b=b左左- -（b b右右180180）=a=a左左- -（a a右右180180）由于角值是两个方向值之差，故得野外一测回角值的中由于角值是两个方向值之差，故得野外一测回角值的中误差误差m m为：为：由误差传播定律得：上、下两个半测回同一方向的较差中由误差传播定律得：上、下两个半测回同一方向的较差中误差误差m m半方半方d d为：为：m m2 2半方半方d d=m=m2 2半方半方+m+m2 2半方半方=2m=2m2 2半方半方，即，即: :5-7加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差（一）权（一）权 在对某一未知量进行非等精度观测时，各观测结果的在对某一未知量进行非等精度观测时，各观测结果的中误差也各不相同，各观测值便具有不同程度的可靠性。中误差也各不相同，各观测值便具有不同程度的可靠性。在求未知量的最可靠值时，就不能象等精度观测那样简单在求未知量的最可靠值时，就不能象等精度观测那样简单地取算术平均值。地取算术平均值。 各非等精度观测值的可靠程度，称为各观测值的权。各非等精度观测值的可靠程度，称为各观测值的权。“权权”是权衡轻重的意思是权衡轻重的意思。观测值的精度愈高，其权愈大。观测值的精度愈高，其权愈大。 例如，设对某一未知量进行了两组非等精度观测，但每组例如，设对某一未知量进行了两组非等精度观测，但每组内各观测值是等精度的。设第一组观测了四次，其观测值内各观测值是等精度的。设第一组观测了四次，其观测值为为l l1 1、 1 12 2 、l l3 3、l l4 4 ; ;第二组观测了三次，观测值为第二组观测了三次，观测值为l l1 1、 1 12 2 、l l3 3 。这些观测值的可靠程度都相同这些观测值的可靠程度都相同，则每组分别取算术平均值，则每组分别取算术平均值作为最后观测值，即作为最后观测值，即 对观测值对观测值L L1 1 、L L2 2来说，彼此是非等精度的观测来说，彼此是非等精度的观测，故观测值的最后结果应为故观测值的最后结果应为上式计算实际是：上式计算实际是：从非等精度的观点来看，观测值从非等精度的观点来看，观测值L L1 1是四次观测值的平均值，是四次观测值的平均值，L L2 2是三次观测值的平均值。两者的可靠性是不一样的，故是三次观测值的平均值。两者的可靠性是不一样的，故可取可取4 4和和3 3为其相应的权，以表示两者可靠程度的差别。权为其相应的权，以表示两者可靠程度的差别。权通常以字母通常以字母P P表示，且为正值。表示，且为正值。（二）权与中误差的关系（二）权与中误差的关系一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的观测条件。观测结果的中误差愈小，其结果愈可一定的观测条件。观测结果的中误差愈小，其结果愈可靠，权就愈大。因此靠，权就愈大。因此可以根据中误差来定义观测结果的可以根据中误差来定义观测结果的权。权。设非等精度观测值的中误差分别为设非等精度观测值的中误差分别为m m1 1、m m2 2 、m mn n, ,则权则权可定义为：可定义为： 权与中误差的平方成反比。权与中误差的平方成反比。 其中其中为任意大于零的常数。任意大于零的常数。据上例，据上例，l l1 1、 1 12 2 、l l3 3、l l4 4 、l l1 1、 1 12 2 、l l3 3 是等是等精度观测列，设其观测值的中误差皆为精度观测列，设其观测值的中误差皆为m m，则第一组算术则第一组算术平均值平均值L L1 1的中误差的中误差m m1 1可求：可求：同理同理设第二第二组平均平均值L2的中的中误差差为m2，有，有根据权的定义，分别得根据权的定义，分别得L L1 1和和L L2 2的权：的权：式中式中为任意正常数。任意正常数。设=m2，则L1、L2的的权为：p1=4,p2=3例例 设以非等精度观测某角度，各观测结果的中误差分设以非等精度观测某角度，各观测结果的中误差分别为别为m m1 1=2.0=2.0、 m m2 2=3.0 =3.0 、 m m3 3=6.0 =6.0 ，则，则其权各为其权各为设设=4，则设设=36，则p1=9，p2=4，p3=1,任意任意选择值，可以使值，可以使权变为便于计算的数值。权变为便于计算的数值。例例设对某一未知量进行了设对某一未知量进行了n次观测，求算术平均值的次观测，求算术平均值的权。权。设一测回角度观测值的中误差为设一测回角度观测值的中误差为m,则算术平均值的中则算术平均值的中误差误差由权的定义并设由权的定义并设=m2，则一一测回回观测值的的权为算术平均值的权为算术平均值的权为由上知，取一测回角度观测值之权为由上知，取一测回角度观测值之权为1 1，则，则n n个测回观测个测回观测值的算术平均值的权为值的算术平均值的权为n n。故角度观测的权与其测回数成。故角度观测的权与其测回数成正比。在非等精度观测中引入正比。在非等精度观测中引入“权权”的概念，可以建立的概念，可以建立各观测值之间的精度比值，以便更合理地处理观测数据。各观测值之间的精度比值，以便更合理地处理观测数据。（三）（三）单位权和单位权中误差单位权和单位权中误差例如，设每一测回的观测值的中误差为例如，设每一测回的观测值的中误差为m m2 2，其权为，其权为p p0 0，并，并设设=m=m2 2, ,则则权等于权等于1 1的权称为单位权的权称为单位权p p0 0，而权等于，而权等于1 1的中误差称为单的中误差称为单位权中误差，位权中误差，一般用一般用m m0 0或或表示。表示。对于中于中误差差为mi的的观测值，其，其权p pi i为则相应的中误差的另一表达式可写为则相应的中误差的另一表达式可写为: : ( (四四) )加权算术平均值及其中误差加权算术平均值及其中误差1 1、加权算术平均值、加权算术平均值设对同一未知量进行了设对同一未知量进行了n n次非等精度观测，观测值为次非等精度观测，观测值为l l1 1、L L2 2、lln n, ,其相应的权为其相应的权为p p1 1、p p2 2、ppn n, ,则加权算术平均值则加权算术平均值L L0 0为非等精度观测值的最可靠值，其计算公式可写为为非等精度观测值的最可靠值，其计算公式可写为或或2 2、加权算术平均值的中误差、加权算术平均值的中误差M M0 0式中式中m m1 1、m m2 2、mmn n相应为相应为l l1 1、l l2 2、lln n的中误差。的中误差。由定义得：由定义得：p p1 1m m1 12 2=p=p2 2m m2 22 2=p=pn nm mn n2 2=m=m0 02 2(m(m0 0为单位权中误为单位权中误差差) )，故有，故有由由nmnm0 02 2=p=p1 1m m1 12 2+p+pn nm mn n2 2可知，当可知，当n n足够大时，足够大时，m mi i可用相可用相应观测值应观测值l li i的真误差的真误差i i来代替来代替，故，故即可得单位权中误差即可得单位权中误差m m0 0为：为：于是可得，于是可得，此式即为用真误差计算加权算术平均值的中误差的此式即为用真误差计算加权算术平均值的中误差的公式。公式。实用中常用观测值的改正数实用中常用观测值的改正数v vi i=L=L0 0-l-li i来计算中误差来计算中误差M M0 0，其中，其中L L0 0是加权算术平均值，是加权算术平均值，l li i为观测值。为观测值。于是有：于是有：确定权的方法：确定权的方法：例例6-8在相同的观测条件下，对某一未知量分别用不同的次数在相同的观测条件下，对某一未知量分别用不同的次数n1、n2、n3进行观测，得相应的算术平均值为进行观测，得相应的算术平均值为L1、L2、L3,求求L1、L2、L3的权。的权。解：设各观测值算术平均值解：设各观测值算术平均值L L1 1、L L2 2、L L3 3的中误差分别为的中误差分别为m m1 1、m m2 2、m m3 3。若观测一次的中误差为。若观测一次的中误差为m m，则由算术平均值，则由算术平均值的中误差公式得的中误差公式得: :例例5-9用同样观测方法，经由长度为用同样观测方法，经由长度为L1,L2,L3的三条不同的三条不同路线，测量两点间的高差，分别得出高差为路线，测量两点间的高差，分别得出高差为h1,h2,h3。已知每公里的高差中误差为已知每公里的高差中误差为mkm,求三个高差的权。求三个高差的权。不同精度观测值的最或然值不同精度观测值的最或然值设对某角进行了两组观测，第一组测设对某角进行了两组观测，第一组测n1个测回，其平均个测回，其平均值为值为L1,第二组测第二组测n2个测回，其平均值为个测回，其平均值为L2。加权平均值的中误差加权平均值的中误差单位权中误差的计算单位权中误差的计算用最或然误差计算单位权中误差（用最或然误差计算单位权中误差（1）例例5-10 5-10 如图，从已知水准点如图，从已知水准点A,B,C,D经四条水准路线，经四条水准路线，测得测得E点的高程及水准路线长见下表。求点的高程及水准路线长见下表。求E点的最或点的最或然值及其中误差，及每公里高差的中误差。然值及其中误差，及每公里高差的中误差。表表5-7不同精度观测的数据处理不同精度观测的数据处理水水准准路路线线E点的点的观测高观测高程程路线路线长长(km)Pi=1/LiL L(mm)piLiLiv(mm)pvpvv123456789158.7591.520.66+1+0.66+8+5.342.4258.7841.430.70+26+18.20-17-11.9202.3358.7581.510.6600+9+5.953.1458.7671.620.62+9+5.58000p=2.64pL L=24.44pv=-0.7pvv=297.8例例17（L） 如图，经如图，经A、B、C水准点三水准点三条水准路线条水准路线L1、 L2 、L3测定结点测定结点Q的高的高程，其观测值程，其观测值Hi和路线长和路线长Li见表，试求见表，试求Q点最或然值及其中误差，各观测值中误点最或然值及其中误差，各观测值中误差，每公里线路观测值中误差。差，每公里线路观测值中误差。列表计算如下：列表计算如下：路路线线高程观高程观测值测值H/m路线长路线长L/km权权P=100/L改正数改正数（Vi=H0-Hi）v/mmPv/mmPvv/mmL148.75945.62.2+13+28.6372L248.78432.83.0-12-36.0432L348.76840.32.5+4+10.0407.7+2.6844(1)加权平均值的计算加权平均值的计算观测值的权按式观测值的权按式 计算，计算，其中取其中取C=100km，表示，表示100km的水准测量观测值的权的水准测量观测值的权P=1。(2)单位权中误差的计算单位权中误差的计算由于单位权观测值是以由于单位权观测值是以100km计的，因此计算的单位权中计的，因此计算的单位权中误差也是以误差也是以100km为单位的，即为单位的，即(3)加权平均值中误差的计算：加权平均值中误差的计算：注：从上表得：注：从上表得：pv=+2.6mm,pv=+2.6mm,不为不为0 0，表明有凑整误差，表明有凑整误差，如果如果pvpv的绝对值未超过的绝对值未超过0.5p,0.5p,（本例为（本例为0.57.7mm=3.9mm0.57.7mm=3.9mm）, ,可忽略不计。否则应检查其原因，可忽略不计。否则应检查其原因，直至达到要求为止。直至达到要求为止。(4)各观测值中误差的计算各观测值中误差的计算(5)每公里观测值中误差的计算每公里观测值中误差的计算计算每公里观测值中误差，是为了查看测量精度是否符计算每公里观测值中误差，是为了查看测量精度是否符合规范要求。合规范要求。每公里观测值的权每公里观测值的权P Pkmkm应为：应为：例例1818 设对设对N N个多边形内角进行观测，其内角闭合差为个多边形内角进行观测，其内角闭合差为1、2、n，相应多边形内角数为，相应多边形内角数为n1、n2、nN，试求测角中误差试求测角中误差m。解：解：观测值闭合差即合差即为真真误差，差，观测值的的权即即为内角代内角代数和的数和的权。权与内角数与内角数ni成反比成反比，pi=c/ni。取。取c=1，即一，即一个内角个内角为单位位权观测值，而，而单位位权中中误差差，即，即为测角中角中误差差m。根据式。根据式可得可得即即上式用于计算导线测量中的测角中误差。当式中上式用于计算导线测量中的测角中误差。当式中n n1 1 =n=n2 2=n=nN N=3=3时，上式变为菲列罗公式。时，上式变为菲列罗公式。思考题：思考题：1 1、名词解释：系统误差、偶然误差、绝对误差、相、名词解释：系统误差、偶然误差、绝对误差、相对误差、最或然值、精密度、准确度、权、单位权对误差、最或然值、精密度、准确度、权、单位权观测值。观测值。2 2、测量上为何产生观测误差？、测量上为何产生观测误差？3 3、处理系统误差和偶然误差有何不同、处理系统误差和偶然误差有何不同? ?4 4、改正数有何特征和用途？、改正数有何特征和用途？5 5、算术平均值为最或然值，有何依据？、算术平均值为最或然值，有何依据？6 6、什么叫多余观测、什么叫多余观测? ?能解决那些问题？能解决那些问题？7 7、中误差为精度评定的标准，有何优点？、中误差为精度评定的标准，有何优点？8 8、容许误差就是极限误差吗？为什么？、容许误差就是极限误差吗？为什么？9 9、三角形闭合差、双观测值之差，为何是真误差？、三角形闭合差、双观测值之差，为何是真误差？1010、按下列关系式写出函数式、按下列关系式写出函数式z z：1111、试判断下列关系式，真误差是由几个单一观测值组、试判断下列关系式，真误差是由几个单一观测值组成的。式中的成的。式中的、d d、是怎是怎样求得的？求得的？答案：答案：2 2、观测条件决定的。、观测条件决定的。4 4、v=0v=05 5、证明，见书。、证明，见书。6 6、观测数多于未知数的数称为多余观测。、观测数多于未知数的数称为多余观测。能能 解决误差检验、求平差值、精度评定。解决误差检验、求平差值、精度评定。7 7、由于中误差是真误差平方中数的平方根，因而对绝对值大、由于中误差是真误差平方中数的平方根，因而对绝对值大的误差，有较强的反映，即只要在误差列中有大误差存在，中的误差，有较强的反映，即只要在误差列中有大误差存在，中误差会迅速增大，说明观测质量不好。误差会迅速增大，说明观测质量不好。8 8、容许误差：观测值中误差的、容许误差：观测值中误差的2 23 3倍，即倍，即2m 2m 3m3m。极限误差：极限误差：3 3倍均方差倍均方差3 3值，值，极极=3 =3 习题：习题：1 1、等精度观测条件下，用经纬仪对某角观测了五个测、等精度观测条件下，用经纬仪对某角观测了五个测回，其结果为：回，其结果为：502550251313、502518502518、 502515502515、 502516 502516、 502514 502514，试求：，试求：（1 1）半测回方向值的中误差；）半测回方向值的中误差；（2 2）两个测回角互差的中误差；）两个测回角互差的中误差；（3 3）三测回角平均值的中误差。）三测回角平均值的中误差。2 2、如图，等精度观测五边形内角各两个测回，一测回、如图，等精度观测五边形内角各两个测回，一测回角中误差角中误差m m=40,=40,试求：试求：（1 1）五边形角度闭合差的中误差；）五边形角度闭合差的中误差；（2 2）欲使角度闭合差的中误差不超过）欲使角度闭合差的中误差不超过5050，求观测，求观测的测回数。的测回数。3 3、设一个测回角的权分别为、设一个测回角的权分别为1 1和和2 2，试求：，试求：（1 1）n n测回角平均值的权；（测回角平均值的权；（2 2）n n多边形内角和的权。多边形内角和的权。4 4、设有三个观测角，其权分别为、设有三个观测角，其权分别为p p1 1=3 ,p=3 ,p2 2= 4,p= 4,p3 3=6,=6,已已知单位权中误差知单位权中误差=5=5，求观测角的中误差。，求观测角的中误差。5 5、从已知高程点、从已知高程点A A、B B、C C出发，经三条水准路线测定结出发，经三条水准路线测定结果果Q Q的高程，观测结果见下表的高程，观测结果见下表, ,求求Q Q点高程及其中误差。点高程及其中误差。路线Q点观测高程/m测站数L131.62525L231.62040L331.61050水准测量观测结果水准测量观测结果6 6、已知四边形各内角的测角中误差为、已知四边形各内角的测角中误差为2020，容许误，容许误差为中误差的二倍，求该四边形闭合差的容许误差。差为中误差的二倍，求该四边形闭合差的容许误差。7 7、如图，测得、如图，测得a=150.11m0.05ma=150.11m0.05m，A A =6424=64241,1,B =35102,B =35102,试计算边长试计算边长C C及其中误差。及其中误差。8 8、系统误差与偶然误差有哪些不同？偶然误差有、系统误差与偶然误差有哪些不同？偶然误差有哪些特性？哪些特性？9 9、如图，为了求得、如图，为了求得Q Q点的高程，从点的高程，从A A 、B B、 C C三个水准三个水准点向点向Q Q点进行了同等级的水准测量，其结果列在表中，点进行了同等级的水准测量，其结果列在表中，各段高差的权与路线长成反比，试求各段高差的权与路线长成反比，试求Q Q点的高程及其中点的高程及其中误差。误差。水准点的高水准点的高程（程（m）观测高差观测高差（m）水准路线水准路线长度（长度（km）A:20.145B:24.030C:19.898AQ:+1.538BQ:-2.330CQ:+1.7822.54.02.01010、量得一圆的半径、量得一圆的半径R=31.3mm,R=31.3mm,其中误差为其中误差为0.3mm0.3mm，求，求其圆面积及其中误差。其圆面积及其中误差。1111、设有一、设有一n n边形，每个角的观测值中误差为边形，每个角的观测值中误差为m m =10,=10,试求该试求该n n边形内角和的中误差。边形内角和的中误差。1212、用、用J6J6级经纬仪观测某个水平角四测回，其观测值为：级经纬仪观测某个水平角四测回，其观测值为：683218683218、 683154 683154、 683142 683142、 683206683206，试求观测一测回的中误差，算术平均值，试求观测一测回的中误差，算术平均值及其中误差。及其中误差。1313、对某直线丈量了六次，观测结果为：、对某直线丈量了六次，观测结果为：246.535m 246.535m 、246.548m 246.548m 、 246.520m 246.520m 、 246.529m 246.529m 、 246.550m 246.550m 、 246.537m 246.537m ，试计算其算术平均值及其中误差及相对误，试计算其算术平均值及其中误差及相对误差。差。1414、如图进行方格水准测量，其观测值如下：、如图进行方格水准测量，其观测值如下：高高差差hi/m高高差差hi/m图图10.98570.61320.98280.44230.73390.72540.735100.55650.697110.82360.901120.436求单一观测值求单一观测值h h的中误差。的中误差。