信号与信号与线性系性系统第第第第 3 讲讲讲讲教材位置教材位置教材位置教材位置: : 第第第第2 2 2 2章章章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.6-2.92.6-2.92.6-2.92.6-2.9内容概要内容概要内容概要内容概要: : 冲激响应求解；响应叠加积分；卷冲激响应求解；响应叠加积分；卷冲激响应求解；响应叠加积分；卷冲激响应求解；响应叠加积分；卷积概念、计算、性质；积概念、计算、性质；积概念、计算、性质；积概念、计算、性质；CLTISCLTISCLTISCLTIS全响应的时域求解全响应的时域求解全响应的时域求解全响应的时域求解开开讲前言前前言前讲回回顾n nCTSCTS的时域分析包括零输入响应零状态响应的时域分析包括零输入响应零状态响应的时域分析包括零输入响应零状态响应的时域分析包括零输入响应零状态响应n n零输入响应的求解零输入响应的求解零输入响应的求解零输入响应的求解n n微分方程的算子表达微分方程的算子表达微分方程的算子表达微分方程的算子表达n n零输入响应解的标准形式零输入响应解的标准形式零输入响应解的标准形式零输入响应解的标准形式n n无重根、有重根的情况无重根、有重根的情况无重根、有重根的情况无重根、有重根的情况n n待定系数的初始条件解待定系数的初始条件解待定系数的初始条件解待定系数的初始条件解n n零状态响应求解准备零状态响应求解准备零状态响应求解准备零状态响应求解准备n n奇异函数定义、性质和相互关系奇异函数定义、性质和相互关系奇异函数定义、性质和相互关系奇异函数定义、性质和相互关系n n信号的分解，任意函数可以分解为冲激函数积分信号的分解，任意函数可以分解为冲激函数积分信号的分解，任意函数可以分解为冲激函数积分信号的分解，任意函数可以分解为冲激函数积分零状态响应求解可在激励为冲激函数基础上进行零状态响应求解可在激励为冲激函数基础上进行零状态响应求解可在激励为冲激函数基础上进行零状态响应求解可在激励为冲激函数基础上进行2024/9/62开开讲前言本前言本讲导入入n n已有基础已有基础已有基础已有基础n nCTSCTS的零输入响应已经可以通过解齐次方程求解的零输入响应已经可以通过解齐次方程求解的零输入响应已经可以通过解齐次方程求解的零输入响应已经可以通过解齐次方程求解n nCTSCTS的零状态响应也可以借助简化激励函数来进行的零状态响应也可以借助简化激励函数来进行的零状态响应也可以借助简化激励函数来进行的零状态响应也可以借助简化激励函数来进行n n任意函数都可以表示为冲激函数的积分任意函数都可以表示为冲激函数的积分任意函数都可以表示为冲激函数的积分任意函数都可以表示为冲激函数的积分n n时域求解还需解决时域求解还需解决时域求解还需解决时域求解还需解决n n首先解决冲激函数作用于首先解决冲激函数作用于首先解决冲激函数作用于首先解决冲激函数作用于CTSCTS产生的零状态响应产生的零状态响应产生的零状态响应产生的零状态响应n n进而讨论用冲激函数积分表示的任意函数，作用于进而讨论用冲激函数积分表示的任意函数，作用于进而讨论用冲激函数积分表示的任意函数，作用于进而讨论用冲激函数积分表示的任意函数，作用于CTSCTS产生的零状态响应求的解产生的零状态响应求的解产生的零状态响应求的解产生的零状态响应求的解n n最后在时域范畴分析最后在时域范畴分析最后在时域范畴分析最后在时域范畴分析CTSCTS的全响应情况的全响应情况的全响应情况的全响应情况2024/9/632.6阶跃响响应和冲激响和冲激响应1.1.任务任务任务任务n n给定一零状态系统；给定一零状态系统；给定一零状态系统；给定一零状态系统；n n阶跃函数或冲激函数作为激励源，加于输入端；阶跃函数或冲激函数作为激励源，加于输入端；阶跃函数或冲激函数作为激励源，加于输入端；阶跃函数或冲激函数作为激励源，加于输入端；n n要求解系统输出处的响应函数。要求解系统输出处的响应函数。要求解系统输出处的响应函数。要求解系统输出处的响应函数。2.2.定义定义定义定义 输入输入输入输入 响应响应响应响应e(t) | (t) (t)r(t) | h(t)r (t)系统的零状态响应系统的零状态响应系统的零状态响应系统的零状态响应阶跃响应与冲激响应有什么关系？阶跃响应与冲激响应有什么关系？阶跃响应与冲激响应有什么关系？阶跃响应与冲激响应有什么关系？2024/9/642.6阶跃响响应和冲激响和冲激响应3.3.线性时不变系统激励与响应的关系线性时不变系统激励与响应的关系线性时不变系统激励与响应的关系线性时不变系统激励与响应的关系n n给定激励给定激励给定激励给定激励e(t)e(t)产生响应产生响应产生响应产生响应r(t)r(t)n n对于对于对于对于LTISLTIS响应为响应为响应为响应为激励为激励为激励为激励为系统输入函数改变为其导数，输出函数是原函数的导数系统输入函数改变为其导数，输出函数是原函数的导数冲激函数是阶跃函数的导数，冲激函数是阶跃函数的导数，冲激响应是阶跃响应导数冲激响应是阶跃响应导数冲激响应是阶跃响应导数冲激响应是阶跃响应导数2024/9/652.6阶跃响响应和冲激响和冲激响应4.4.0 0+ + 与与0 0- -的概念的概念n nt t 由正值趋零的瞬时记为由正值趋零的瞬时记为由正值趋零的瞬时记为由正值趋零的瞬时记为 t = 0t = 0+，它代表刚刚施加激励，它代表刚刚施加激励，它代表刚刚施加激励，它代表刚刚施加激励后的起始时刻；后的起始时刻；后的起始时刻；后的起始时刻；n nt t 由负值趋零的瞬时记为由负值趋零的瞬时记为由负值趋零的瞬时记为由负值趋零的瞬时记为 t = 0t = 0- -，它代表施加激励前一，它代表施加激励前一，它代表施加激励前一，它代表施加激励前一瞬间的起始时刻。瞬间的起始时刻。瞬间的起始时刻。瞬间的起始时刻。n n奇异函数在奇异函数在奇异函数在奇异函数在0 0点没有定义，为了考虑其影响，上式定义点没有定义，为了考虑其影响，上式定义点没有定义，为了考虑其影响，上式定义点没有定义，为了考虑其影响，上式定义的积分下限为的积分下限为的积分下限为的积分下限为0 0- -n n理解理解理解理解0 0+ 与与与与0 0- -的概念能更好的认识，零输入响应与零状的概念能更好的认识，零输入响应与零状的概念能更好的认识，零输入响应与零状的概念能更好的认识，零输入响应与零状态之间的联系以及系统对响应的本质。态之间的联系以及系统对响应的本质。态之间的联系以及系统对响应的本质。态之间的联系以及系统对响应的本质。2024/9/662.6阶跃响响应和冲激响和冲激响应求解求解求解求解h(t)h(t)5.5.冲激响应冲激响应冲激响应冲激响应h(t)h(t)求解求解求解求解n n根据根据根据根据n n阶系统的输入响应表达式阶系统的输入响应表达式阶系统的输入响应表达式阶系统的输入响应表达式n类比零输入响应的求解，在此分两种情况讨论类比零输入响应的求解，在此分两种情况讨论nn m 和 n m ；n n（1 1） n mn m； 2024/9/672.6阶跃响响应和冲激响和冲激响应求解求解求解求解h(t)h(t)，nmnm设特征根均为设特征根均为设特征根均为设特征根均为单根单根单根单根。为求。为求。为求。为求h (t)h (t)，先求上式中第一项的解，于是，先求上式中第一项的解，于是，先求上式中第一项的解，于是，先求上式中第一项的解，于是或合并等式左边项，合并等式左边项，合并等式左边项，合并等式左边项，将上式双方乘以将上式双方乘以 e 1 t ，可得，可得有有双方从双方从0 到到 t 取定积分取定积分12024/9/682.6阶跃响响应和冲激响和冲激响应求解求解求解求解h(t)h(t)，nmnm由于由于h 1(0 )=0，于是，于是依此可求得依此可求得 h2 (t) ， ，hn(t) ，从而从而（2-40）（2-41）类比零输入响应解的形式，物理解释为系统在类比零输入响应解的形式，物理解释为系统在类比零输入响应解的形式，物理解释为系统在类比零输入响应解的形式，物理解释为系统在0 0+状状状状态储能后的零输入响应态储能后的零输入响应态储能后的零输入响应态储能后的零输入响应2024/9/692.6阶跃响响应和冲激响和冲激响应求解求解求解求解h(t)h(t)，n n mm （2 2）若）若）若）若n n m m ，则需将，则需将，则需将，则需将H (p) H (p) 化为真分式。设化为真分式。设化为真分式。设化为真分式。设m = n+1m = n+1 ，故，故，故，故Ap + B为整除所得商；为整除所得商；为整除所得商；为整除所得商；余数中余数中余数中余数中N1(p)的幂次低于的幂次低于的幂次低于的幂次低于D(p)的幂次的幂次的幂次的幂次N，N1(p)/D(p)为真分式；为真分式；为真分式；为真分式；假定假定假定假定D(p)=0的的的的n n个根均为单根个根均为单根个根均为单根个根均为单根 i(i=1,2n),H(p)可写成：可写成：可写成：可写成：当e（t）= （t）时，有r（t）= h（t），由此有2024/9/6102.7叠加叠加积分分n n激励函数由冲激函数近似表示激励函数由冲激函数近似表示激励函数由冲激函数近似表示激励函数由冲激函数近似表示 （2-59）其中的单个激励与响应有如下关系其中的单个激励与响应有如下关系其中的单个激励与响应有如下关系其中的单个激励与响应有如下关系总响应可以近似表示为总响应可以近似表示为总响应可以近似表示为总响应可以近似表示为（2-60）2024/9/6112.7叠加叠加积分分e(0)t tte(t)02 2t3 3t4 4te(t)e(2t)e(3t)e(4t)由于：由于：由于：由于：2024/9/6122.7叠加叠加积分分当t 0 时， t 成为成为总响应各表示为总响应各表示为适当变换积分变量，有适当变换积分变量，有（2-61a）卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分（2-61b）所以：所以：所以：所以：2024/9/6132.8卷卷积及其性及其性质1.1.卷积定义及几何解释卷积定义及几何解释卷积定义及几何解释卷积定义及几何解释n n定义定义定义定义(262)n说明：说明： （1 1）在定积分中积分变量是）在定积分中积分变量是）在定积分中积分变量是）在定积分中积分变量是 ，f f1 1( () ) 与与与与 f f2 2( () ) 对变量对变量对变量对变量 而言的图形而言的图形而言的图形而言的图形与与与与 f f1 1( (t)t)和和和和 f f2 2( (t) t) 对变量对变量对变量对变量 t t 而言的图形是相同的；而言的图形是相同的；而言的图形是相同的；而言的图形是相同的； （2 2）积分结果仅是）积分结果仅是）积分结果仅是）积分结果仅是 t t 的函数。的函数。的函数。的函数。 （3 3） f f2 2( (t-t-) = f) = f2 2-(-(-t-t) ) 相当于相当于相当于相当于 f f2 2(-(-) ) 移位移位移位移位 t t 后的图形。后的图形。后的图形。后的图形。 f2()01 2 3 4 5 6 7f2(-)0-1-2-3-4-5-6-7f2(t-)t=30-4-2132024/9/6142.8卷卷积及其性及其性质n n卷积运算几何意义面积卷积运算几何意义面积卷积运算几何意义面积卷积运算几何意义面积n n二维积分的几何解释曲线下的面积二维积分的几何解释曲线下的面积二维积分的几何解释曲线下的面积二维积分的几何解释曲线下的面积n n卷积为两个函数的乘积，在其积分区间的面积卷积为两个函数的乘积，在其积分区间的面积卷积为两个函数的乘积，在其积分区间的面积卷积为两个函数的乘积，在其积分区间的面积n n卷积定义表达式中的两个变量卷积定义表达式中的两个变量卷积定义表达式中的两个变量卷积定义表达式中的两个变量n n积分变量积分变量积分变量积分变量、函数、函数、函数、函数变变量量量量t t，面，面，面，面积积与与与与t t有关；有关；有关；有关；n n积分区间与两个函数的有效取值区间相关积分区间与两个函数的有效取值区间相关积分区间与两个函数的有效取值区间相关积分区间与两个函数的有效取值区间相关n n对于有界函数，结合函数变量对于有界函数，结合函数变量对于有界函数，结合函数变量对于有界函数，结合函数变量t t，可收缩积分区间，可收缩积分区间，可收缩积分区间，可收缩积分区间n n确定积分上下限是卷积计算的重点，也是难点确定积分上下限是卷积计算的重点，也是难点确定积分上下限是卷积计算的重点，也是难点确定积分上下限是卷积计算的重点，也是难点2024/9/6152.8卷卷积及其性及其性质2.2.卷积的计算卷积的计算n n计算步骤计算步骤计算步骤计算步骤（1 1）反褶：将）反褶：将）反褶：将）反褶：将 f f2 2() () 反褶，得到反褶，得到反褶，得到反褶，得到 f f2 2(-) (-) 的图形的图形的图形的图形；（2 2）位移：把）位移：把）位移：把）位移：把 f f2 2(-) (-) 位移位移位移位移 t t ，得到，得到，得到，得到 f f2 2(t-) (t-) 的图形；的图形；的图形；的图形；（3 3）相乘：作）相乘：作）相乘：作）相乘：作 f f1 1( () ) f f2 2( (t-t-) ) 的乘积；的乘积；的乘积；的乘积；（4 4）积分：）积分：）积分：）积分： f f1 1( () ) f f2 2( (t-t-) ) 的图形的面积即为的图形的面积即为的图形的面积即为的图形的面积即为 t t 时刻的卷时刻的卷时刻的卷时刻的卷积积分的值积积分的值积积分的值积积分的值g(t)g(t)。2024/9/6162.8卷卷积及其性及其性质卷卷积计算例算例题例：求下图中方波例：求下图中方波 f1(t) 与三角波与三角波 f2(t) 卷积后的卷积后的 g(t) 的表达式。的表达式。 解：（解：（解：（解：（1 1）. . 图解图解图解图解-0.50.501f1(t)t110f2(t)t-0.50.501f2(0-)-1-0.50.501f2(0.5-)-0.50.501f2(1-)1-0.50.501f2(1.5-)1 1.5-0.50.501t1 1.53/81/21/82024/9/617（2 2）. .解析式解析式解析式解析式 1 -0.5 1 -0.5 t t 0.5 0.5 f f1 1(t (t)=)= 0 0 其它其它 1-t 0 1-t 0 t t 1 1 f f2 2(t (t)=)= 0 0 其它其它f1()=1 -0.5 0.50 其它f2(t-)=1-(t-) 0 t- 10 其它上式可改写成f2(t-)= +(1-t) t-1 t0 其它将将 t 分为四段：分为四段：(1) t 1.5 f1() f2(t-)=0 2.8卷积及其性质卷积及其性质卷积计算例题卷积计算例题2024/9/6182.8卷卷积及其性及其性质卷卷积计算例算例题f1() f2(t-)= +(1-t)0-0.5 t其它第2段解析解 -0.5 t 0.5分别用分别用 t = - 0.5t = - 0.5，0 0，和，和 0.5 0.5 代入，可得代入，可得 g(- 0.5) = 0g(- 0.5) = 0， g(0) = 3/8g(0) = 3/8， g(0.5) = 1/2g(0.5) = 1/22024/9/6192.8卷卷积及其性及其性质卷卷积计算例算例题第3段解析解 0.5 0.5 t t 1.5 1.5分别用分别用 t = 0.5t = 0.5，1 1，和，和 1.5 1.5 代入，可得代入，可得 g(0.5) = 1/2g(0.5) = 1/2， g(1) = 1/8g(1) = 1/8， g(1.5) = 0g(1.5) = 0f1() f2(t-)= +(1-t)0t-1 0.5其它2024/9/6202.8卷卷积及其性及其性质性性质1. 互换律(2-63)2. 分配律(2-64)3. 结合律(2-65)4. 卷积的微分(2-66)2024/9/6212.8卷卷积及其性及其性质性性质5. 卷积的积分(2-67)由式（2-66）和（2-67）可证明(2-68)2024/9/6222.8卷卷积及其性及其性质性性质例题例题例题例题 利用卷积运算的性质证明利用卷积运算的性质证明利用卷积运算的性质证明利用卷积运算的性质证明和证：根据冲击函数抽样性将上式两边微分可证得若将该式两边积分，则可得微分器积分器2024/9/6232.8卷卷积及其性及其性质性性质例题：求例题：求解：查表 2-1 公式 11，得6. 卷积积分的时移性若则(2-69)2024/9/6242.8卷卷积及其性及其性质性性质 卷积积分性质应用 f(t) h(t) 1 1 0 1 t 0 1 2 t f(t)*h(t) = ? 已知 u(t)*u(t)=r(t) 1.根据延时性质计算 2.根据微分性质计算2024/9/6252.9线性系性系统响响应的的时域求解域求解 零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应 - - 解齐次方程解齐次方程解齐次方程解齐次方程 零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应 - - 激励和单位冲激响应相卷积激励和单位冲激响应相卷积激励和单位冲激响应相卷积激励和单位冲激响应相卷积 1. 1. 当当当当 DD（p p）= 0= 0无重根且无重根且无重根且无重根且m nm n时，则时，则时，则时，则 （2-79） 各系数可从由初始条件确定的方程组中求取各系数可从由初始条件确定的方程组中求取2. 当特征方程有当特征方程有 1 1的的 L L 重根时，则零输入响应为重根时，则零输入响应为2024/9/6262.9线性系性系统响响应的的时域求解域求解式中冲击响应为冲击响应为零状态响应通过激励和单位冲激响应相卷积可得零状态响应通过激励和单位冲激响应相卷积可得全响应求两者之和可得全响应求两者之和可得2024/9/6272.9线性系性系统响响应的的时域求解域求解 例P70，例题（2-10）某线性系统的初态为r z i（0）= 1，激励e（t）= （1+ e - 3 t ）（t），求响应 r（t）。 解： 特征方程为 特征根为 1 = 1 ，故 代入初始条件可求的 C 1 = 1 ，故有由可见，故2024/9/6282.9线性系性系统响响应的的时域求解域求解查P60，表2-1的序号5和8，有最后求得全响应为 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 2024/9/6292.9线性系性系统响响应的的时域求解域求解自然响应受迫响应瞬态响应稳态响应 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 2024/9/6302.9线性系性系统响响应的的时域求解域求解自然响应受迫响应瞬态响应稳态响应全响应零输入响应受迫响应自然响应稳态响应瞬态响应零状态响应等幅减幅2024/9/631本本讲小小结n n系统零状态响应求解系统零状态响应求解系统零状态响应求解系统零状态响应求解n n激励分解为阶跃函数、冲激函数激励分解为阶跃函数、冲激函数激励分解为阶跃函数、冲激函数激励分解为阶跃函数、冲激函数n n分析激励与响应关系，导出阶跃响应与冲激响应关系分析激励与响应关系，导出阶跃响应与冲激响应关系分析激励与响应关系，导出阶跃响应与冲激响应关系分析激励与响应关系，导出阶跃响应与冲激响应关系n n冲激响应解的标准形式冲激响应解的标准形式冲激响应解的标准形式冲激响应解的标准形式n n零状态响应为激励和单位冲激响应相卷积零状态响应为激励和单位冲激响应相卷积零状态响应为激励和单位冲激响应相卷积零状态响应为激励和单位冲激响应相卷积n n卷积的概念卷积的概念卷积的概念卷积的概念n n定义、计算与性质定义、计算与性质定义、计算与性质定义、计算与性质n nCLTISCLTIS时域求解时域求解时域求解时域求解n n全响应零输入响应零状态响应全响应零输入响应零状态响应全响应零输入响应零状态响应全响应零输入响应零状态响应n n响应分量的分类响应分量的分类响应分量的分类响应分量的分类 自然自然自然自然/ /受迫；瞬态受迫；瞬态受迫；瞬态受迫；瞬态/ /稳态稳态稳态稳态2024/9/632信号与信号与线性系性系统第第第第 3 次课外作业次课外作业次课外作业次课外作业教材习题教材习题教材习题教材习题: : 2.152.152.152.15、 2.192.192.192.19、 2.212.212.212.21、 2.242.242.242.24