15.4 因式分解15.4.1 提公因式法1 1了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系乘法的区别和联系 2 2理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式 3 3通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力新能力，深化学生逆向思维能力. . 整式的乘法整式的乘法计算下列各式计算下列各式: :x(x+1)= x(x+1)= (x+1)(x(x+1)(x1)= 1)= 请把下列多项式写成整式的乘积的形式请把下列多项式写成整式的乘积的形式: :(1)x(1)x2 2+x =_;+x =_;(2)x(2)x2 21=_.1=_.x(x+1)x(x+1)(x+1)(x-1)(x+1)(x-1) 上面我们把一个多项式化成了几个上面我们把一个多项式化成了几个整式整式的的积积的形式的形式, ,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解, ,也叫做把也叫做把这个多项式分解因式这个多项式分解因式. .整式的乘法与因式整式的乘法与因式分解有什么关系？分解有什么关系？x x2 2-1-1 因式分解因式分解整式乘法整式乘法(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形因式分解与整式乘法是相反方向的变形. 由由m(a+b+c) = m(a+b+c) = ma+mb+mcma+mb+mc可得可得: :ma+mb+mcma+mb+mc = =m(a+b+cm(a+b+c) )这样就把这样就把ma+mb+mcma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式分解成两个因式乘积的形式, ,其中一个因其中一个因式是各项的公因式式是各项的公因式m,m,另一个因式另一个因式(a+b+c)(a+b+c)是是ma+mb+mcma+mb+mc除以除以 m m所得的商所得的商, ,像这种分解因式的方法叫做像这种分解因式的方法叫做_._. 它的各项都有一个公共的因式它的各项都有一个公共的因式m m , ,我们把因式我们把因式 m m 叫做叫做这个多项式的这个多项式的 _ ._ .ma+mb+mcma+mb+mc 公因式公因式提公因式法提公因式法【例例1 1】把把8a8a3 3b b2 2 + 12ab + 12ab3 3c c 分解因式分解因式. .分析：分析：找公因式找公因式 1.1.系数的最大公约数系数的最大公约数 4 42.2.找相同字母找相同字母 a a3.3.相同字母的最低指数相同字母的最低指数 a a1 1b b2 2 公因式为：公因式为：4ab4ab2 2【解析解析】8a8a3 3b b2 2+12ab+12ab3 3c c =4ab=4ab2 2 2a2a2 2+4ab+4ab2 2 3bc3bc =4ab=4ab2 2(2a(2a2 2+3bc)+3bc)【解析解析】a a（x x3 3）+2b+2b（x x3 3） =(x=(x3)(a+2b)3)(a+2b)【例例2 2】把把a a（x x3 3）+2b+2b（x x3 3）分解因式分解因式. .分析：分析：这这个多个多项项式整体而言可分式整体而言可分为为两大两大项项，即，即a(xa(x3)3)与与2b(x2b(x3)3)，每，每项项中都含有（中都含有（x x3 3）, ,因此可以把因此可以把(x(x3)3)作作为为公因式提出来公因式提出来. .把下列各式分解因式把下列各式分解因式: :1.a1.a（x xy y）+b+b（y yx x）; ;分析：分析：虽虽然然a a（x xy)y)与与b(yb(yx)x)看上去没有公因式，但仔看上去没有公因式，但仔细观细观察可以看出（察可以看出（x xy)y)与与(y(yx x）互）互为为相反数，如果把其相反数，如果把其中一个提取一个中一个提取一个“”号，号，则则可以出可以出现现公因式，如公因式，如：y yx=x=（x xy y）【解析解析】a a（x xy y）+b+b（y yx x） =a=a（x xy y）b b（x xy y） = =（x xy y）（）（a ab b）【解析解析】6 6（m mn n）3 31212（n nm m）2 2 =6 =6（m mn n）3 31212（m mn n）2 2 =6 =6（m mn n）3 31212（m mn n）2 2 =6 =6（m mn n）2 2（m mn n2 2）. .2.62.6（m mn n）3 31212（n nm m）2 21.1.填空填空请请在下列各式等号右在下列各式等号右边边的括号前填入的括号前填入“+ +”或或“”号，使等号，使等式成立式成立: :（1 1）2 2a=_a=_（a a2 2）; ;（2 2）y yx=_x=_（x xy y）; ;（3 3）b+ab+a=_=_（a+ba+b）; ;（4 4）（）（b ba a）2 2=_=_（a ab b）2 2; ;（5 5）m mn=_n=_（m+nm+n）; ;（6 6）s s2 2+t+t2 2=_=_（s s2 2t t2 2）. .- - -+- - -2.2.（苏州（苏州中考）分解因式中考）分解因式 a a2 2a=a= 【解析解析】 a a2 2a=a(a-1).a=a(a-1).答案：答案：a(a-1)a(a-1)3.3.（盐城（盐城中考）因式分解中考）因式分解 【解析解析】用提公因式法因式分解：用提公因式法因式分解：答案：答案：2a(a-2)2a(a-2) 4.4.写出下列多写出下列多项项式各式各项项的公因式的公因式. .（1 1）ma+mbma+mb （2 2）4kx4kx8ky 8ky （3 3）5y5y3 3+20y+20y2 2 （4 4）a a2 2b b2ab2ab2 2+ab +ab m4k5y2ab5.5.把下列各式分解因式把下列各式分解因式（1 1）8x8x7272（2 2）a a2 2b b5ab5ab（3 3）4m4m3 36m6m2 2（4 4）a a2 2b b5ab+9b5ab+9b（5 5）a a2 2+ab+abacac（6 6）2x2x3 3+4x+4x2 22x2x=8=8（x x9 9）= =abab（a a5 5）=2m=2m2 2（2m2m3 3）=b=b（a a2 25a+95a+9）= =（a a2 2ab+acab+ac）= =a a（a ab+cb+c）= =（2x2x3 34x4x2 2+2x+2x）= =2x2x（x x2 22x+12x+1） 1.1.把一个多项式化成了几个把一个多项式化成了几个整式整式的的积积的形式的形式, ,像这样像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解的式子变形叫做把这个多项式因式分解, ,也叫做把这个多也叫做把这个多项式分解因式项式分解因式. .提公因式法提公因式法2.2.分解因式的方法：分解因式的方法：注意符号变化注意符号变化 通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：