衍射角衍射角回顾：回顾：单缝衍射单缝衍射6.7 光栅衍射光栅衍射 若缝宽大，条纹亮，但条纹间距小，不易分辨；若缝宽大，条纹亮，但条纹间距小，不易分辨；若缝宽小，条纹间距大，但条纹暗，也不易分辨；若缝宽小，条纹间距大，但条纹暗，也不易分辨；这这些些条条纹纹的的狭狭窄窄程程度度和和清清晰晰度度都都不不足足以以精精确确地地对对其其进进行行测测量量，因而不能用来对波长等参量做高精度的测量。因而不能用来对波长等参量做高精度的测量。问题：问题：能否得到亮度高，分得开，宽度窄的明条纹？能否得到亮度高，分得开，宽度窄的明条纹？解决办法：解决办法：用多缝代替单缝。用多缝代替单缝。人们发明了一种光学器件人们发明了一种光学器件光栅光栅。应用：精确地测量光的波长；是重要的应用：精确地测量光的波长；是重要的光学元件，广泛应用于物理，化学，天光学元件，广泛应用于物理，化学，天文，地质等领域和近代生产技术的许多文，地质等领域和近代生产技术的许多部门。部门。透射光栅透射光栅1. 光栅光栅反射光栅反射光栅光光栅栅：任任何何具具有有空空间间周周期期性性，且且能能等等宽宽、等间距地分割波阵面的衍射屏。等间距地分割波阵面的衍射屏。常见的光栅是由大量的等宽、等间隔常见的光栅是由大量的等宽、等间隔的平行狭缝构成的衍射屏。的平行狭缝构成的衍射屏。6.7.1 衍射光栅衍射光栅2. 光栅的分类光栅的分类(1) 透射光栅：透射光栅：用于透射光衍射的光栅。用于透射光衍射的光栅。平面衍射光栅：平面衍射光栅：在很平的玻璃上刻一系在很平的玻璃上刻一系列等宽等距的平行刻痕。列等宽等距的平行刻痕。(2) 反射光栅：反射光栅：用于反射光衍射的光栅。用于反射光衍射的光栅。平面反射光栅：平面反射光栅：在光洁度很高的金属表面上刻出一系列等间距平在光洁度很高的金属表面上刻出一系列等间距平行细槽，其剖面成锯齿形，而做成反射光栅。行细槽，其剖面成锯齿形，而做成反射光栅。两种光栅工作原理相同，主要研究透射式平面衍射光栅。两种光栅工作原理相同，主要研究透射式平面衍射光栅。3. 光栅常数光栅常数baabd=a+b注注: (1) 光栅常数光栅常数d数量级约数量级约10-6m。a：透光（反光）部分宽度。：透光（反光）部分宽度。b：不透光（不反光）部分宽度。：不透光（不反光）部分宽度。光栅常数：光栅常数：(2) 光栅常数光栅常数d与每厘米上的刻痕数（刻痕与每厘米上的刻痕数（刻痕/cm）成倒数关系成倒数关系。例如：例如：8000刻痕刻痕/cm，则，则d=a+b=1/8000=1.25 10-4cm4. 光栅衍射的实验装置和衍射图样光栅衍射的实验装置和衍射图样一系列明暗相间的条纹一系列明暗相间的条纹(亮点亮点)，明纹很，明纹很细、分得很开。细、分得很开。一、双缝衍射条纹的形成一、双缝衍射条纹的形成1. 不考虑衍射，不考虑衍射，双缝干涉双缝干涉光强分布光强分布(如图如图)。周期性分。周期性分布，最大光强相同。布，最大光强相同。6.7.2 光栅衍射图样的形成光栅衍射图样的形成-323-2-0 j=-3 -2 -1 0 1 2 32. 每个缝形成各自的每个缝形成各自的夫琅和夫琅和费单缝衍射费单缝衍射。特点：特点： （1）单缝的夫琅和费衍射图）单缝的夫琅和费衍射图样，不随缝的上下移动而变化。（样，不随缝的上下移动而变化。（2）衍射角相同的光线，会聚在接收屏的衍射角相同的光线，会聚在接收屏的相同位置上。相同位置上。OaOa ad f透镜透镜I3. 双缝衍射双缝衍射双缝衍射条纹是双缝衍射条纹是单缝衍射与双缝干涉的总效果单缝衍射与双缝干涉的总效果。双缝衍射是双缝衍射是每个缝内各处的子波相互叠加形成的单缝衍射每个缝内各处的子波相互叠加形成的单缝衍射光光 (等效为一束光等效为一束光 ) 在焦平面上相遇产生干涉。在焦平面上相遇产生干涉。I12-1-20单缝衍射单缝衍射: d=3aII12-1-20-3-4-5345双缝干涉双缝干涉12-1-20-4-545双缝衍射双缝衍射因此，光栅衍射图样是多因此，光栅衍射图样是多缝干涉光强分布受单缝衍缝干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制的结果。射光强分布调制的结果。二、光栅衍射条纹的形成二、光栅衍射条纹的形成光栅衍射光栅衍射多缝干涉（多光多缝干涉（多光束干涉）和单缝衍射的总束干涉）和单缝衍射的总效果。效果。1. 光栅衍射的图样光栅衍射的图样例如：例如：5条缝的光栅衍射条缝的光栅衍射(N=5， d=3a)次极大次极大0I-2-112单缝衍射光强分布单缝衍射光强分布I5条光束干涉条光束干涉光强分布光强分布1245-1-2-4-50光栅衍射光强分布光栅衍射光强分布I主极大主极大缺缺级级缺缺级级2. 明纹条件明纹条件k=0,1,2,.主极大主极大光栅方程：光栅方程：相邻二单缝衍射光的光程差相邻二单缝衍射光的光程差:P点的光强分布主要由相邻点的光强分布主要由相邻二单缝产生的衍射光的光二单缝产生的衍射光的光程差决定。程差决定。oP f缝平面缝平面观察屏观察屏透镜透镜L d sin d xx讨论讨论:1)dsin 表示相邻两缝在表示相邻两缝在 方向的衍射光的光程差。方向的衍射光的光程差。例如例如:第二级明纹相邻两缝第二级明纹相邻两缝衍射光的光程差为衍射光的光程差为2 ,第第1条缝与第条缝与第N条缝衍射光的光条缝衍射光的光程差为程差为(N-1)2 。思考思考:光栅第五级明纹的第光栅第五级明纹的第1条缝与第条缝与第N条缝衍射光的光程差是条缝衍射光的光程差是多少多少?2)主极大主极大的位置的位置:k=0,1,2, .oP f缝平面缝平面观察屏观察屏透镜透镜L d sin d xx(N-1)5 多光束干涉主极大的位置与缝的个数无关。多光束干涉主极大的位置与缝的个数无关。3. 暗纹条件暗纹条件1) 满足单缝衍射暗纹的位置必为光栅衍射的暗纹满足单缝衍射暗纹的位置必为光栅衍射的暗纹k=1,2,.暗暗2)单缝衍射虽为明纹但各缝来的衍射光干涉而相消时单缝衍射虽为明纹但各缝来的衍射光干涉而相消时 也为暗纹也为暗纹(即多缝干涉的极小值即多缝干涉的极小值)1,2,.(N-1),N+1,.(2N-1),2N+1,kN-1, kN+1k=0k=1k=2k极小极小例例:设设N=4, 每个缝衍射每个缝衍射光的振幅相等为光的振幅相等为E0( ) 衍射角衍射角 对应的对应的P点点处处的合振幅的合振幅:k=0,1,2,.主极大主极大极小极小1, 2, 3,5, 6, 7,9, 4k-1, 4k+1, k=0k=1k=2koP f缝平面缝平面观察屏观察屏透镜透镜L d sin d xxa b c d eN=4, d=3a主极大主极大次极大次极大 k=0 k=1 k=2 k=3 k=1 = 0 /4 2 /4 3 /4 = 0 /2 3 /2 2 a b c d e 主极大主极大次极大次极大用振幅矢量法分析主极大和极小用振幅矢量法分析主极大和极小:主极大矢量图：主极大矢量图：极小矢量图：极小矢量图：( N=6 )4. 缺级现象缺级现象5条缝的光栅衍射条缝的光栅衍射(N=5,d=3a)0I-2-112单缝衍射光强分布单缝衍射光强分布I5条光束干涉条光束干涉光强分布光强分布1245-1-2-4-50光栅衍射光强分布光栅衍射光强分布I缺缺级级缺缺级级缺级的定量计算缺级的定量计算:当当 d/a 为整数为整数比比时会出现缺级时会出现缺级。k=0,1,2,.主极大主极大(1)k =1,2,.暗暗(2)由由(2)得得:代入代入(1)得得:讨论讨论:1) d 对条纹影响对条纹影响2) a 对条纹影响对条纹影响 设设d不变不变, a变变 单缝的中央明纹宽度范围内单缝的中央明纹宽度范围内,包含的主极大数目变。包含的主极大数目变。1245-1-2-4-50光栅衍射光强分布光栅衍射光强分布Id大大, 小小, 条纹密条纹密, 衍射不显著衍射不显著d小小, 大大, 条纹疏条纹疏, 衍射显著衍射显著思考：此图对应的思考：此图对应的 d 和和 a 的关系？的关系？d =3a3) N 对条纹的影响对条纹的影响N=10N=5N=3N=2N=1d=3ad=3ad=3ad=3a单缝衍射中央明纹单缝衍射中央明纹区域内的干涉条纹区域内的干涉条纹衍射条纹随衍射条纹随N的增多而变得细锐的增多而变得细锐;相邻主极大之间有相邻主极大之间有(N-1)条暗纹条暗纹,有有(N-2)个次极大个次极大。N = 5N = 10N = 50例：例：激光器发出红光激光器发出红光: =6328 垂直照射在光栅上，第一级明垂直照射在光栅上，第一级明纹在纹在38 方向上，求方向上，求:1) d ？ 2)第三级的第第三级的第1条缝与第条缝与第7条缝的光条缝的光程差程差? 3)某单色光垂直照射此光栅某单色光垂直照射此光栅，第一级明纹在第一级明纹在27 方向上方向上， 此光波长为多少此光波长为多少?解：解：1) 2)第三级相邻两缝之间衍射光的光程差为第三级相邻两缝之间衍射光的光程差为3 。则第则第1条缝与第条缝与第7条缝的光程差为条缝的光程差为(7-1)3 =1012483)dsin =k dsin38=6328 =10278 =10278 sin27=4666例：例：波长为波长为600nm的单色光垂直入射在一光栅上，第的单色光垂直入射在一光栅上，第2、3级级明条纹分别出现在明条纹分别出现在sin =0.20与与sin =0.30处，第处，第4级缺级。级缺级。求：求：(1)光栅常量；光栅常量；(2)光栅上狭缝宽度；光栅上狭缝宽度；(3)屏上实际呈现的屏上实际呈现的全部级数。全部级数。解解: (1)d=2 /sin 2=2 600 10-9/0.2=6.0 10-6m(2)由缺级条件知由缺级条件知d/a=4,所以所以a=d/4=1.5 10-6m(3)由由 max= /2得得 kmax=d sin max/ =6.0 10-6/(600 10-9)=10实际呈现的全部级次为实际呈现的全部级次为0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9例：例：波长为波长为 1 = 5000和和 2= 5200 的两种单色光垂直照射光的两种单色光垂直照射光栅栅,光栅常数为光栅常数为 0.002cm， f = 2 m, 屏在透镜焦平面上。求屏在透镜焦平面上。求(1) 两光第三级谱线的距离；两光第三级谱线的距离；(2)若用波长为若用波长为4000 7000 的光照的光照射射,第几级谱线将出现重叠；第几级谱线将出现重叠；(3)能出现几级完整光谱？能出现几级完整光谱？解解: (1) 当当 k = 2,从从 k = 2 开始重叠。开始重叠。(2)设设1=4000的第的第k+1 级与级与2=7000的第的第k级级 开始重叠开始重叠1的第的第k+1级角位置级角位置:2的第的第k级角位置级角位置:12-1-20-33 (3)能出现能出现28级完整光谱级完整光谱作业作业2： 6-20，6-21，6-246.7.3 光栅光谱光栅光谱(grating spectrum)(又叫衍射光谱又叫衍射光谱) 光栅光谱仪光栅光谱仪光源垂直入射光源垂直入射望远镜望远镜入射光为复色光入射光为复色光(或白光或白光)第一级光谱第一级光谱中央明纹中央明纹第一级光谱第一级光谱第二级光谱第二级光谱第二级光谱第二级光谱第三级光谱第三级光谱第三级光谱第三级光谱紫紫紫紫红红红红白色白色 高级次光谱会出现重叠高级次光谱会出现重叠光栅光栅光栅出现不重叠光谱的条件光栅出现不重叠光谱的条件: 光栅出现光栅出现k级完整光谱的条件级完整光谱的条件: 光栅出现最高级次光谱的条件光栅出现最高级次光谱的条件:第一级光谱第一级光谱中央明纹中央明纹第一级光谱第一级光谱第二级光谱第二级光谱第二级光谱第二级光谱第三级光谱第三级光谱第三级光谱第三级光谱紫紫紫紫红红红红白色白色sin k红红 sin k+1紫紫d sin k红红 = k 红红d sin k+1紫紫 = (k+1) 紫紫k 红红 (k+1) 紫紫k k 红红dsin90 kmax 紫紫例例10: 波长为波长为 1 = 5000和和 2= 5200 的两种单色光的两种单色光 垂直照射光栅垂直照射光栅,光栅常数为光栅常数为0.002cm, f = 2 m, 屏在透镜屏在透镜焦平面上。焦平面上。求求(1)两光第三级谱线的距离两光第三级谱线的距离;(2)若用波长若用波长为为4000 7000 的光照射的光照射,第几级谱线将出现重叠第几级谱线将出现重叠;(3)能出现几级完整光谱？能出现几级完整光谱？解解: (1) 当当 k = 2,从从 k = 2 开始重叠。开始重叠。(2)设设 1=4000的第的第k+1 级与级与 2=7000的第的第k级级 开始重叠开始重叠 1的第的第k+1级角位置级角位置: 2的第的第k级角位置级角位置:12-1-20-33 (3)能出现能出现28级完整光谱级完整光谱也可用公式：也可用公式：k k 紫紫，得到，得到 k 30 方向上，方向上，还能看到还能看到1级条纹。算上级条纹。算上0级条纹，总共能看到级条纹，总共能看到7个条纹，与正个条纹，与正入射一样入射一样。6.7.4 光栅的分辨本领光栅的分辨本领设两条谱线的角间设两条谱线的角间隔为隔为 光栅分辨本领是指把波长靠得很光栅分辨本领是指把波长靠得很近的两条谱线分辨清楚的本领。近的两条谱线分辨清楚的本领。由由瑞利准则瑞利准则:当当 = 时, 刚可分辨刚可分辨 每条谱线的半角每条谱线的半角宽度为宽度为 对光栅方程两边取微分得对光栅方程两边取微分得 的第的第k 级级主极大的角位置主极大的角位置: 的第的第k 级级主极大附近极小的角位置主极大附近极小的角位置:由瑞利准则由瑞利准则: = 时时,可分辨可分辨光栅的分辩本领光栅的分辩本领:由以上两式得由以上两式得cos 1, sin ,例例12:设计一光栅设计一光栅,要求要求1)能分辩钠光谱的能分辩钠光谱的5.890 10-7m 和和5.896 10-7m 的第二级谱线的第二级谱线; 2)第二级谱线衍射角第二级谱线衍射角 = 30 ; 3)第三级谱线缺级。第三级谱线缺级。 解解:1) 按光栅的分辩本领按光栅的分辩本领:即必须即必须N 491条条2)由由3)由缺级条件由缺级条件这里这里,光栅的光栅的N, a, b 均被确定均被确定a, b 数值交换，也使第三级为缺级。数值交换，也使第三级为缺级。双缝衍射双缝衍射双缝衍射双缝衍射单缝衍射单缝衍射a=10 双缝衍射双缝衍射a=10 ,d=40 扬氏双缝干涉和双缝衍射的区别扬氏双缝干涉和双缝衍射的区别:单缝衍射中央零级明纹范围单缝衍射中央零级明纹范围:当当a 时时, /2双缝衍射演双缝衍射演变成扬氏双缝干涉变成扬氏双缝干涉 a=2 ,d=40 1.理解惠更斯理解惠更斯-菲涅耳原理的涵义及它对光衍射现象菲涅耳原理的涵义及它对光衍射现象 的定性解释。的定性解释。2.会应用半波带分析单缝的夫琅禾费衍射图样会应用半波带分析单缝的夫琅禾费衍射图样; 掌握掌握 单缝的夫琅禾费衍射图样的特点单缝的夫琅禾费衍射图样的特点, 会分析缝宽及波会分析缝宽及波 长对衍射条纹分布的影响。长对衍射条纹分布的影响。3.掌握光栅方程及光栅衍射条纹的特点掌握光栅方程及光栅衍射条纹的特点; 会分析并确会分析并确 定光栅衍射的主极大谱线的条件及位置定光栅衍射的主极大谱线的条件及位置; 会分析光会分析光 栅常数及波长对光栅衍射的影响栅常数及波长对光栅衍射的影响; 掌握缺级现象。掌握缺级现象。4.掌握衍射对光学仪器分辨率的影响掌握衍射对光学仪器分辨率的影响, 尤其是光栅衍尤其是光栅衍 射谱线的分辩率。射谱线的分辩率。光的衍射教学要求光的衍射教学要求光光的的衍衍射射现现象象夫夫琅琅和和费费衍衍射射单单缝缝夫夫琅琅和和费费衍衍射射(半波带法分析半波带法分析)中央明纹中央明纹: =0k级暗纹中心级暗纹中心:asin =2k / 2k级明纹中心级明纹中心:asin =(2k+1) / 2圆圆孔孔夫夫琅琅和和费费衍衍射射(爱里斑爱里斑):光学仪器最小分辨角光学仪器最小分辨角:分辨本领分辨本领:光光栅栅衍衍射射光栅方程光栅方程(垂直垂直):(a+b)sin =k 缺级缺级:光栅分辨本领光栅分辨本领: R= / =kN光栅光谱光栅光谱(垂直入射垂直入射)完整清晰光谱完整清晰光谱:完整光谱完整光谱:最高级次光谱最高级次光谱:惠惠更更斯斯-菲菲涅涅耳耳原原理理