习题课习题课第一章自动控制一般概念l 自动控制自动控制 ： 在无人参与的情况下，利用外加的设备或装置使整个生产 过程或工作机械自动地按预定规律运行，或使其某个参数按预定的要求变化。l 自动控制装置基本组成自动控制装置基本组成 ： 测量元件：获得被控量的实际值并进行变换。 比较元件：获得偏差=测量结果-要求值。 调节元件：通常包括放大器和校正装置。使u=f(e) 执行元件：驱动被控对象动作，使被控量达到要求值第一章自动控制一般概念l 控制系统方块图控制系统方块图 ： 在方块图中，装置或环节用方块来表示，信号用箭头表示，分支点用点(.)表示，相加点（比较点）用 表示。自动控制系统方块图调节元件执行元件测量元件控制对象比较元件扰动量被控量(输出量)-给定量(输入量)电机、减速器、阀门放大器自动控制装置第一章自动控制一般概念l1-1举出几个你在实践中遇到的开环控制系统，闭环控制系统扰动控制系统的例子。说明他们的工作原理，分析他们的组成，画出方块图，讨论其特点。l开环控制系统：电风扇电风扇控制系统方块图调节元件执行元件控制对象扰动量被控量(输出量)电压给定量(输入量) 电机放大器自动控制装置风扇扇叶不同档位风扇转速第一章自动控制一般概念l闭环控制系统：自动控制水位系统自动水位控制系统方块图调节元件执行元件测量元件控制对象比较元件扰动量(用水量)被控量(输出量)给定水位-实际水位给定量(输入量)连杆电机、减速器、阀门浮子放大器自动控制装置水池第一章自动控制一般概念l扰动控制系统：楼道声控灯楼道声控灯控制系统方块图调节元件执行元件控制对象扰动量被控量(输出量)声音给定量(输入量) 开关放大器自动控制装置灯泡灯泡明灭第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型BAC第二章自动控制系统的数学模型2-2求下列由弹簧-质量-阻尼器组成的机械系统传递函数。(a)(b)mkf第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型2-7根据结构图等效变换原则求出电动机传递函数，。第二章自动控制系统的数学模型解：先令为0，求出。这种情况就是简单的负反馈回路。结果为：令为0，则可求出，先化简框图，在计算，注意正负号。化简后框图为：第二章自动控制系统的数学模型可将框图看作是输入的负反馈。则结果为：第二章自动控制系统的数学模型2-8化简下列系统结构图，并求出传递函数。第二章自动控制系统的数学模型解：第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型最终结果：第二章自动控制系统的数学模型2-12系统的结构如图所示。试绘出相应的信号流图并利用梅逊公式求出闭环系统的传递函数。解：先画出信号流图如下图所示：第二章自动控制系统的数学模型解：仔细观察信号流图，其中共有5个前向通道，7各回路。5个前向通道如下：7各回路如下：第二章自动控制系统的数学模型解：观察所有回路，其中不接触回路为：其中第二章自动控制系统的数学模型解：最终结果为：其中：例利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。解：不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,因有负载效应。根据电路定理，有以下等式和结构图：-25总的结构图如下：-26为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下：-27-28-29-解法二：30-31解法三：-+32-+-+-+33-+-第三章自动控制系统的时域分析3-1如图所示随动系统，当K=4时，试求（1）系统对单位脉冲输入、单为阶跃输入、单位斜坡输入的响应；（2）写出闭环系统传递函数，求阻尼系数和无阻尼振荡频率；（3）计算闭环系统瞬态过程性能指标、。第三章自动控制系统的时域分析解：当K=4时，系统的闭环传递函数为：单位脉冲输入：第三章自动控制系统的时域分析单为阶跃输入：第三章自动控制系统的时域分析单位斜坡输入：第三章自动控制系统的时域分析（2）当K=4时，系统的闭环传递函数为：则解得：第三章自动控制系统的时域分析（3）由由于本题是典型的二阶系统，则可得：第三章自动控制系统的时域分析3-6某单位反馈随动系统的开环传递函数为：若将开环特性近似为二阶的（即可考虑略去小时间常数）计算闭环系统的瞬态性能指标和值。解：先将开环传递函数写成时间常数形式：第三章自动控制系统的时域分析解：由于要略去小时间常数项，即略去：则新的开环传递函数为：闭环传递函数为：第三章自动控制系统的时域分析解：系统为典型二阶系统根据公式计算得：第三章自动控制系统的时域分析3-9某系统的特征方程为试用代数判据确定使系统稳定的K值范围。解：列出劳斯阵：第三章自动控制系统的时域分析解：由劳斯判据可列出下式：解该方程发现无解，所以使系统稳定的K值不存在。第三章自动控制系统的时域分析3-10设系统结构图如下所示。试确定临界放大系数和时间常数、的关系。在什么情况下具有最小值。解：闭环传递函数如下：第三章自动控制系统的时域分析解：特征方程为：列出劳斯阵：第三章自动控制系统的时域分析解：由劳斯判据可得：解得：所以最小值为8第三章自动控制系统的时域分析3-13设单位反馈系统的开环传递函数为：试用代数判据确定系统是否稳定及是否有的稳定裕度。解：由开环传递函数得特征方程为：列出劳斯阵：系统稳定。第三章自动控制系统的时域分析解：要判断是否有的稳定裕度，令代入特征方程得到新得特征方程为：得到劳斯阵为：第一列有负值，显然不稳定，所以该系统没有的稳定裕度50例3：系统的特征方程为：试用胡尔维茨定理判稳。解：系统的特征方程为：列胡尔维茨行列式如下：所以，系统是稳定的。第四章根轨迹法4-2 4-2 设开开环传递函数函数为：试绘制控制系制控制系统的根的根轨迹草迹草图。第四章根轨迹法解：开环传递函数为（1）所以根轨迹有三条分支（2）极点：零点：都在无穷远处（3）实轴根轨迹区间:（4）渐近线：第四章根轨迹法（4）渐近线：（5）分离会合点：解得：后者不在根轨迹上，舍去。第四章根轨迹法（6）与虚轴交点：令，代入解得：或画出的根轨迹如下图：第四章根轨迹法第四章根轨迹法解：开环传递函数为（1）根轨迹有两个分支（2）极点：零点：（3）实轴上根轨迹区间（4）渐近线：第四章根轨迹法（5）分离会合点:解得：后者不在根轨迹上，舍去。（6）与虚轴交点：令代入解得：第四章根轨迹法（7）可估算出射角范围画出根轨迹为：第四章根轨迹法解：开环传递函数为（1）根轨迹有四条分支（2）极点：零点：无（3）实轴上根轨迹区间：（4）渐近线：第四章根轨迹法（5）分离会合点：解得：（6）分离角：第四章根轨迹法画出根轨迹为：第四章根轨迹法4-3设控制系统的结构图如下图所示，为速度反馈系数，试绘制以为参变量的根轨迹图。第四章根轨迹法解：由框图可得系统的闭环传递函数为特征方程为：方程两边同时除以化简为：所以等效开环传递函数为第四章根轨迹法（1）所以有两个根轨迹分支（2）极点：零点：（3）实轴上根轨迹区间为（4）渐近线：第四章根轨迹法（5）分离会合点：解得由于后面的解不在根轨迹上，所以舍去。（6）估计出射角范围大概在所以不会与虚轴相交，不用计算与虚轴交点。第四章根轨迹法画出根轨迹图为：第四章根轨迹法4-7设飞非最小相位系统的开环传递函数为试绘制根轨迹，并确定使闭环系统稳定的范围。解：（1）根轨迹有四个分支（2）极点：零点：（3）实轴上的根轨迹区间第四章根轨迹法（4）渐近线：（5）分离会合点：解得：第四章根轨迹法（6）出射角：（7）与虚轴交点：令代入解得：观察图可知K范围是（23.3,35.7）。第四章根轨迹法根轨迹草图如下：第四章根轨迹法4-8设单位反馈控制系统的开环传递函数为若要求其闭环主导极点的阻尼角为60度，试用根轨迹法确定该系统的瞬态性能指标和稳态性能指标。解：先画出根轨迹（1）根轨迹共有三条分支。（2）极点：零点：（3）实轴上的根轨迹范围第四章根轨迹法（4）渐近线：（5）与虚轴交点：令代入解得：第四章根轨迹法根轨迹如图：如图可知不可能有60度的阻尼角。第四章根轨迹法4-10设某系统的结构图如下所示，如果试选择K值。解：系统的开环传递函数为第四章根轨迹法（1）根轨迹有三个分支（2）极点：零点：无（3）实轴根轨迹区间（4）渐近线：第四章根轨迹法（5）与虚轴交点：令代入解得：（6）画出根轨迹草图（7）解得解得取则代入特征方程第四章根轨迹法根轨迹草图：第四章根轨迹法解得：因此主导极点为满足条件由于所以闭环系统极点之和等于开环系统极点之和。则另一个闭环极点为不满足主导极点要求不行。第四章根轨迹法取则代入特征方程解得其中由于所以闭环系统极点之和等于开环系统极点之和。则另一个闭环极点为满足主导极点要求。K值可以取。第四章根轨迹法4-12设单位反馈系统的开环传递函数为试用根轨迹法回答（1）能否通过选择满足最大超调量的要求。（2）能否通过选择满足调节时间秒的要求（3）能否通过选择满足速度误差系数的要求。解：先画根轨迹：（1）共有三条根轨迹分支（2）极点：零点：无第四章根轨迹法（3）渐近线：（4）实轴上的根轨迹区间（5）分离点：解得：第四章根轨迹法（6）与虚轴交点：令代入特征方程式解得：（7）画出根轨迹（8）解得由根轨迹图可知满足主导极点，所以可以满足要求（1）（9）由根轨迹图可知所以无法满足要求第四章根轨迹法根轨迹草图：第四章根轨迹法（10）解得：由根轨迹图可知要想系统稳定，所以无法满足要求。85一、 单回路负反馈系统的根轨迹例开环传递函数为： ，画根轨迹。实轴上根轨迹区间是：-2，0；渐进线倾角： 与实轴的交点为：解 ：标出四个开环极点：0，-2， 。有四条根轨迹。86-3+4j处的出射角 ：根据对称性，可知-3-j4处的出射角 为：与虚轴的交点：闭环特征方程为：劳斯阵为：当劳斯阵某一行全为零时，有共轭虚根。这时， 。辅助方程为： ，解得共轭虚根为：即为根轨迹与虚轴的交点。87会合点与分离点（重根点）：分离角为由 得： 由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用下述近似方法：我们知道，分离点在负实轴-2，0区间上，所以当s在实数范围内变化时， 最大时为分离点。6.2811.4915.5918.4720.020.0118.2814.578.58-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2 s可见分离点在-0.8-1.0之间，近似取-0.9。88绘制根轨迹，如下图所示。-4-3-2-1012-5-4-3-2-1012345RealAxisImagAxis89一、 条件稳定系统的分析 例4-11：设开环系统传递函数为：试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时 的取值范围。 开环极点：0，-4，-6， ，零点： 实轴上根轨迹区间： 渐进线：与实轴的交点：倾角：解根据绘制根轨迹的步骤，可得：90分离会合点：3.9497.4579.3758.805.97131.6280-4-3.5-3-2.5-2.0-1.5-1-0.50 s 的最大值为9.375，这时s=-2.5，是近似分离点。由：可以求得分离点s=2.3557 。近似求法：分离点在-4，0之间。分离角：91由图可知：当 和 时，系统是稳定的； 画出根轨迹如图所示，该图是用Matlab工具绘制的。 出射角： ，入射角： 与虚轴的交点和 对应的增益值：当时，系统是不稳定的。这种情况称为条件稳定系统92例4-12单位反馈系统的开环传递函数为：若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 ，试确定开环放大系数。解：首先画出根轨迹如右。由图可以看出：根轨迹与虚轴的交点为+j5,-j5，这时的临界增益 当 时，闭环系统不稳定。 93下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：当 时解得： 这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着 的增加，主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 的直线，与根轨迹交与A、B两点。 则A、B两点就是闭环共轭主导极点，这时系统的超调量小于18%。通过求A、B两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益 ，进而求得开环放大系数K。设A点坐标为： ，则：（1）相角条件为：（2）94由(1)，(2)式解得：共轭主导极点为： 。开环传递函数以 的形式表示时，K称为开环放大系数。显然 的关系为： ，式中 不计0极点。所以，开环放大系数： 由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点为： 。该极点是共轭复极点实部的6倍多。解得：实部方程虚部方程也可令代入特征方程第五章频率法5-5开环系统的传递函数为：试绘出相应的对数幅频特性曲线（用分段直线近似表示）。第五章频率法解（1）将开环传递函数写成时间常数形式：计算各部分转折频率及斜率如下表：第五章频率法转折折频率率改改变斜率斜率累累计频率率130020.8-20-2031-20-404320-2055-40-60第五章频率法第五章频率法解（2）将开环传递函数写成时间常数形式：计算各部分转折频率如下表：第五章频率法转折折频率率改改变斜率斜率累累计频率率14002-20-2030.5-20-404140055-20-20620-20-40第五章频率法第五章频率法解（3）将开环传递函数写成时间常数形式：转折频率列出如下表所示：第五章频率法转折折频率率改改变斜率斜率累累积频率率1202-40-4030.4s+12.520-20410-20-40520-20-60第五章频率法第五章频率法5-6设开环系统的对数幅频特性分段直线近似表示。写出开环系统的传递函数。（设系统为最小相位系统）解（a）转折频率为0.0250.050.2由图可知初始斜率为-20，所以为I型开环传递函数，所以函数中有项。0.025斜率下降20包含项为：0.05斜率上升20包含项为：0.2斜率下降20包含项为：第五章频率法解：所以总的传递函数为：折线过（0.1,0）所以传递函数为：第五章频率法（b）如图可知系统为0型，转折频率为4,4004斜率下降20包含项为：400斜率下降20包含项为：传递函数为：第五章频率法由图中可列方程为：第五章频率法（c）如图初始斜率为-40，所以是II型函数，包含项：转折频率为：，0.4斜率上升20包含项为：0.4斜率下降20包含项为：总的传递函数为：第五章频率法解：由图可知：折线过（0.4,0）点第五章频率法（d）如图可知初始斜率是-20，所以为I型函数，包含项转折频率为斜率下降20包含项为:总的传递函数为：由图可知过（1,20lgK）第五章频率法折线过点（10,0）第五章频率法（e）由图可知初始斜率为20所以包含项s转折频率为，。斜率下降20包含项为：斜率下降20包含项为：总的传递函数为：第五章频率法解：折线过点则第五章频率法（f）由图可知初始斜率为20，包含项s转折频率为：斜率下降20包含项为：传递函数为：折线过点第五章频率法解：第五章频率法5-9绘制下列开环系统的极坐标特性曲线，利用奈氏判据判别系统的稳定性和比例系数K的关系。第五章频率法解：（1）令化简得：第五章频率法解：令解得：由以上可以画出极坐标曲线。第五章频率法第五章频率法解：由于P=0，Z=N+P，若要系统稳定，则N=0有极坐标图可知第五章频率法解：（2）令化简得：第五章频率法解：令由上可以的极坐标曲线为：第五章频率法第五章频率法解：因为P=0，Z=N+P，所以若要是系统稳定，N=0如图可知解得第五章频率法解：（3）令化简得：第五章频率法解：令：解得：画出极坐标图为：第五章频率法第五章频率法解：因为P=1，Z=N+P，若要系统稳定，则N=-1由图可知：130例1设开环系统传递函数为：，试用奈氏稳定性判据确定闭环系统稳定时k的取值范围。解：与实轴的交点131当K=52时，开环极点为1，1j2，都在s左半平面，所以P =0。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(1，j0)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为：Z =N+P =2，闭环系统是不稳定的。若要系统稳定，则即K 16时，奈氏图不围绕(1，j0)点。132NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4-0.6-0.4-0.200.20.40.6NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis-1-0.500.511.522.53-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5当K 1，则要求K 5。于是系统稳定的条件为5K 16。133上述结论同样可由劳思赫尔维茨判据得到。劳斯阵：要使系统稳定，则第一列都大于0于是得：5K 16。5.5.2 稳定裕度的计算解法I：由幅相曲线求例2，求(1)令试根得第五章频率法(2.1)令可得第五章频率法(2.2)将G(jw)分解为实部、虚部形式令得代入实部第五章频率法