工程电磁场工程电磁场矢量的运算法则矢量的运算法则1.1.加法加法: : 矢量加法是矢量的几何和矢量加法是矢量的几何和, ,服从服从平行四边形规则平行四边形规则。a.a.满足交换律：满足交换律：b.b.满足结合律：满足结合律：工程电磁场工程电磁场三个方向的单位矢量用三个方向的单位矢量用 表示。表示。根据矢量加法运算：根据矢量加法运算：所以：所以：在直角坐标系下的矢量表示在直角坐标系下的矢量表示: :其中：其中：工程电磁场工程电磁场矢量：矢量：模的计算模的计算：单位矢量单位矢量：方向角与方向余弦方向角与方向余弦：在直角坐标系中三个矢量加法运算：在直角坐标系中三个矢量加法运算： 工程电磁场工程电磁场2.2.减法：减法：换成加法运算换成加法运算逆矢量：逆矢量： 和和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。的模相等，方向相反，互为逆矢量。在直角坐标系中两矢量的减法运算：在直角坐标系中两矢量的减法运算： 推论：推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。工程电磁场工程电磁场3.3.乘法：乘法：（1 1）标量与矢量的乘积：）标量与矢量的乘积：方向不变，大小为方向不变，大小为|k|倍倍方向相反，大小为方向相反，大小为|k|倍倍（2 2）矢量与矢量乘积分两种定义）矢量与矢量乘积分两种定义a. a. 标量积（点积）：标量积（点积）：两矢量的点积两矢量的点积含义：含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。其结果是一标量。工程电磁场工程电磁场在直角坐标系中在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即，已知三个坐标轴是相互正交的，即有两矢量点积：有两矢量点积：结论结论: : 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论推论1 1：满足交换律：满足交换律推论推论2 2：满足分配律：满足分配律推论推论3 3：当两个非零矢量点积为零：当两个非零矢量点积为零, ,则这两个矢量必正交。则这两个矢量必正交。工程电磁场工程电磁场推论推论1 1：不服从交换律：不服从交换律：推论推论2 2：服从分配律：服从分配律：推论推论3 3：不服从结合律：不服从结合律：推论推论4 4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.b.矢量积（叉积）：矢量积（叉积）：含义：含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。者符合右手螺旋法则。工程电磁场工程电磁场在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：两矢量的叉积又可表示为：两矢量的叉积又可表示为：xyzo工程电磁场工程电磁场（3 3）三重积：）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：三个矢量相乘有以下几种形式：矢量，标量与矢量相乘。矢量，标量与矢量相乘。标量，标量三重积。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。矢量，矢量三重积。a. a. 标量三重积标量三重积法则：在矢量运算中法则：在矢量运算中, ,先算叉积先算叉积, ,后算点积。后算点积。定义：定义：含义：含义： 标量三重积结果为三矢量构成标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积的平行六面体的体积 。工程电磁场工程电磁场注意注意：先后轮换次序。先后轮换次序。推论推论：三个非零矢量共面的条件。三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：在直角坐标系中：b.b.矢量三重积：矢量三重积：工程电磁场工程电磁场例例1 1：求：求：中的标量中的标量 a、b、c。解：解：则：则：设设工程电磁场工程电磁场例例2 2： 已知已知求：确定垂直于求：确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。所在平面的单位矢量。解：解：已知已知所得矢量垂直于所得矢量垂直于 、 所在平面。所在平面。工程电磁场工程电磁场已知A点和B点对于原点的位置矢量为 和 ，求：通过A点和B点的直线方程。例3： 其中：k 为任意实数。xyzCAB解：在通过A点和B点的直线方程上， 任取一点C，对于原点的位置 矢量为 ，则工程电磁场工程电磁场矢量微分元：线元、面元、体元矢量微分元：线元、面元、体元例：例：其中：其中： 和和 称为微分元。称为微分元。1. 1. 直角坐标系直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为在直角坐标系中，坐标变量为( (x,y,z) )，如图，做一微分体元。，如图，做一微分体元。线元：线元：面元：面元：体元：体元：工程电磁场工程电磁场2. 2. 圆柱坐标系圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。，如图，做一微分体元。线元：线元：面元：面元：体元：体元：工程电磁场工程电磁场3. 3. 球坐标系球坐标系在球坐标系中，坐标变量为在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。，如图，做一微分体元。线元：线元：面元：面元：体元：体元：工程电磁场工程电磁场在柱坐标系中：在柱坐标系中：在球坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：在直角坐标系中：工程电磁场工程电磁场柱坐标系中：柱坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：正交曲线坐标系中：正交曲线坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：常用坐标系中，散度的计算公式常用坐标系中，散度的计算公式工程电磁场工程电磁场为了便于记忆，将旋度的为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式计算公式写成下列形式: :类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式：类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式：旋度公式：旋度公式：工程电磁场工程电磁场重要的场论公式重要的场论公式1. 1. 两个零恒等式两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。任何标量场梯度的旋度恒为零。 任何矢量场的旋度的散度恒为零。任何矢量场的旋度的散度恒为零。 工程电磁场工程电磁场在圆柱坐标系中：在圆柱坐标系中： 在球坐标系中：在球坐标系中： 在广义正交曲线坐标系中：在广义正交曲线坐标系中： 2. 2. 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 在直角坐标系中：在直角坐标系中：工程电磁场工程电磁场3. 3. 常用的矢量恒等式常用的矢量恒等式