第五节 椭 圆 三年三年2626考考 高考指数高考指数:1.1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；2.2.了解椭圆的简单应用；了解椭圆的简单应用；3.3.理解数形结合的思想理解数形结合的思想. .1.1.椭圆的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，而直线与椭圆的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，而直线与椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点；椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点；2.2.椭圆的定义、标准方程、几何性质常常独立考查；直线与椭椭圆的定义、标准方程、几何性质常常独立考查；直线与椭圆的位置关系，往往与向量、函数、不等式等知识交汇命题；圆的位置关系，往往与向量、函数、不等式等知识交汇命题；3.3.选择题、填空题、解答题三种题型都有可能出现，选择、填选择题、填空题、解答题三种题型都有可能出现，选择、填空题经常考查椭圆的定义、标准方程、几何性质；解答题经常空题经常考查椭圆的定义、标准方程、几何性质；解答题经常以两问的形式出现，第一问考查椭圆的定义、标准方程以及几以两问的形式出现，第一问考查椭圆的定义、标准方程以及几何性质，第二问则考查直线与椭圆的位置关系及学生分析问题、何性质，第二问则考查直线与椭圆的位置关系及学生分析问题、解决问题的能力解决问题的能力. .1.1.椭圆的定义椭圆的定义(1)(1)满足条件满足条件在平面内在平面内与两个定点与两个定点F F1 1、F F2 2的距离之的距离之 等于常数等于常数常数大于常数大于_(2)(2)焦点：两定点焦点：两定点(3)(3)焦距：两焦距：两 间的距离间的距离和和|F|F1 1F F2 2| |焦点焦点【即时应用即时应用】判断下列点的轨迹是否为椭圆判断下列点的轨迹是否为椭圆( (请在括号内填请在括号内填“是是”或或“否否”) )(1)(1)平面内到点平面内到点A(0A(0，2)2)，B(0B(0，-2)-2)距离之和等于距离之和等于2 2的点的轨迹的点的轨迹( )( )(2)(2)平面内到点平面内到点A(0A(0，2)2)，B(0B(0，-2)-2)距离之和等于距离之和等于4 4的点的轨迹的点的轨迹( )( )(3)(3)平面内到点平面内到点A(0A(0，2)2)，B(0B(0，-2)-2)距离之和等于距离之和等于6 6的点的轨迹的点的轨迹( )( )【解析解析】由椭圆的定义可知由椭圆的定义可知:(1):(1)距离之和小于距离之和小于|AB|AB|，所以点的，所以点的轨迹不存在；轨迹不存在；(2)(2)距离之和等于距离之和等于|AB|AB|，点的轨迹是以，点的轨迹是以A A、B B为端点为端点的一条线段；的一条线段；(3)(3)符合椭圆定义，点的轨迹是以符合椭圆定义，点的轨迹是以A A、B B为焦点，长为焦点，长轴长为轴长为6 6的椭圆的椭圆. .答案：答案：(1)(1)否否 (2)(2)否否 (3)(3)是是2.2.根据图形写出相对应的椭圆的标准方程和几何性质根据图形写出相对应的椭圆的标准方程和几何性质标准方程标准方程xyOB2A1A2B1F1F2bac对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴对称中心：原点对称中心：原点长轴长轴A1A2的长为的长为2a短轴短轴B1B2的长为的长为2b图形图形性性质质范围范围对称性对称性顶点顶点轴轴（ab0）（ab0）-a x a-b y b-b x b-a y aA1(-a，0),B1(0，-b),A2（a，0）B2（0，b）A1(0，-a),A2（0，a）B1(-b，0),B2（b，0）xyOA2B1B2A1F1F2bca图形图形性性质质焦距焦距离心率离心率a a、b b、c c的关系的关系xyOA2B1B2A1F1F2bcaxyOB2A1A2B1F1F2bac【即时应用即时应用】(1)(1)思考：椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系思考：椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系? ?提示：提示：因为离心率因为离心率 所以，离心率越接近所以，离心率越接近于于1 1，b b就越接近于就越接近于0 0，即短轴的长接近于，即短轴的长接近于0 0，椭圆就越扁；离心，椭圆就越扁；离心率越接近于率越接近于0 0，a a、b b就越接近，即椭圆的长、短轴长越接近相等，就越接近，即椭圆的长、短轴长越接近相等，椭圆就越接近于圆，但永远不会为圆椭圆就越接近于圆，但永远不会为圆. .(2)(2)已知椭圆已知椭圆 的焦点在的焦点在y y轴上，若椭圆的离心率为轴上，若椭圆的离心率为则则m m的值为的值为 . .【解析解析】 的焦点在的焦点在y y轴上，所以轴上，所以a a2 2=m,=m,b b2 2=2=2，离心率为，离心率为 又离心率为又离心率为 所以所以 解得解得答案：答案：(3)(3)已知椭圆的短轴长为已知椭圆的短轴长为6 6，离心率为，离心率为 则椭圆的一个焦点到则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为长轴端点的距离为 . .【解析解析】因为椭圆的短轴长为因为椭圆的短轴长为6 6，所以，所以b=3 b=3 又因为离心率为又因为离心率为 所以所以 又因为又因为a a2 2=b=b2 2+c+c2 2 解解组成的方程组得：组成的方程组得：a=5,c=4.a=5,c=4.所以，一个焦点到长轴端点的距离为：所以，一个焦点到长轴端点的距离为：a+c=9a+c=9或或a-c=1.a-c=1.答案：答案：9 9或或1 1 椭圆的定义、标准方程椭圆的定义、标准方程【方法点睛方法点睛】1.1.利用椭圆定义解题的注意问题利用椭圆定义解题的注意问题(1)(1)注意常数注意常数2a|F2a|F1 1F F2 2| |这一条件；这一条件；(2)(2)注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形焦点三角形”中的数量关系中的数量关系. .2.2.椭圆的标准方程椭圆的标准方程(1)(1)当已知椭圆的焦点在当已知椭圆的焦点在x x轴上时，其标准方程为轴上时，其标准方程为 (ab0)(ab0)；当已知椭圆的焦点在；当已知椭圆的焦点在y y轴上时，其标准方程为轴上时，其标准方程为 (ab0)(ab0)；(2)(2)当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为为 (m0,n0,mn)(m0,n0,mn)，这样可避免讨论和复杂的计算；，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为也可设为AxAx2 2+By+By2 2=1(A0,B0,AB)=1(A0,B0,AB)这种形式这种形式, ,在解题时更简便在解题时更简便. .【例例1 1】(1)(2012(1)(2012济南模拟济南模拟) )已知已知F F1 1、F F2 2是椭圆是椭圆C C：(a(ab b0)0)的两个焦点，的两个焦点，P P为椭圆为椭圆C C上的一点，且上的一点，且 若若PFPF1 1F F2 2的面积为的面积为9 9，则，则b=b= . .(2)(2)已知点已知点P P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P P到两焦点的距离到两焦点的距离分别为分别为5 5、3 3，过，过P P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程求椭圆的方程. .【解题指南解题指南】(1) (1) = |PF = |PF1 1|PF|PF2 2| |，由椭，由椭圆定义及圆定义及PFPF1 1F F2 2为直角三角形建立为直角三角形建立|PF|PF1 1| |、|PF|PF2 2| |的方程求的方程求|PF|PF1 1| |PF|PF2 2|.|.(2)(2)可先设椭圆的方程为可先设椭圆的方程为 或或 (ab0)(ab0)，再，再根据题设条件求出相应的系数值即可根据题设条件求出相应的系数值即可. .【规范解答规范解答】(1)(1)设设|PF|PF1 1|=r|=r1 1,|PF,|PF2 2|=r|=r2 2, ,则则2r2r1 1r r2 2=(r=(r1 1+r+r2 2) )2 2-(r-(r1 12 2+r+r2 22 2) )=4a=4a2 2-4c-4c2 2=4b=4b2 2, , r r1 1r r2 2=b=b2 2=9,b=3.=9,b=3.答案：答案：3 3(2)(2)设椭圆的方程为设椭圆的方程为 或或 (ab0)(ab0)，因为，因为P P到两焦到两焦点的距离分别为点的距离分别为5 5、3 3，所以，所以2a=5+3=82a=5+3=8，即，即a=4a=4，又因为过，又因为过P P且与长轴且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，所以垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，所以(2c)(2c)2 2=5=52 2-3-32 2=16=16，所以，所以c c2 2=4=4，因此，因此b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=12=12，所以椭圆方程为：，所以椭圆方程为：【反思反思感悟感悟】1.1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点到两焦点的距离之和等于联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点到两焦点的距离之和等于2a2a求解；求解；2.2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点的坐出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解；标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解；当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x x轴、轴、在在y y轴两种情形，无论哪种情形，始终有轴两种情形，无论哪种情形，始终有ab0.ab0. 椭圆的几何性质及应用椭圆的几何性质及应用【方法点睛方法点睛】1.1.椭圆几何性质中的不等关系椭圆几何性质中的不等关系对于椭圆标准方程中对于椭圆标准方程中x x、y y的范围，离心率的范围等，在求与椭的范围，离心率的范围等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这些不等关系些不等关系. .2.2.利用椭圆几何性质应注意的问题利用椭圆几何性质应注意的问题求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系们之间的内在联系. .3.3.求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a a、b b、c c的等的等式式( (或不等式或不等式) )，利用，利用a a2 2=b=b2 2+c+c2 2消去消去b b，即可求得离心率或离心率的，即可求得离心率或离心率的范围范围. .【提醒提醒】求椭圆离心率时要注意其范围求椭圆离心率时要注意其范围:0e1:0eb0)P(a,b)(ab0)为动点，为动点，F F1 1,F,F2 2分别为椭圆分别为椭圆 的左的左, ,右焦右焦点已知点已知F F1 1PFPF2 2为等腰三角形为等腰三角形(1)(1)求椭圆的离心率求椭圆的离心率e e；(2)(2)设直线设直线PFPF2 2与椭圆相交于与椭圆相交于A,BA,B两点，两点，M M是直线是直线PFPF2 2上的点，满足上的点，满足 =-2=-2，求点，求点M M的轨迹方程的轨迹方程【解题指南解题指南】(1)(1)可由可由F F1 1PFPF2 2为等腰三角形，得出为等腰三角形，得出a a、b b、c c之间之间的关系式，消去的关系式，消去b b，即得离心率的值；，即得离心率的值；(2)(2)可用直接法求出轨迹方程可用直接法求出轨迹方程. .【规范解答规范解答】(1)(1)设设F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0)(c0)(c,0)(c0)，由题意，可得由题意，可得|PF|PF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2|,|,即即 整理得整理得 得得 =-1(=-1(舍舍) )，或或 所以所以 e=e=(2)(2)由由(1)(1)知：知：a=2c,b= a=2c,b= 可得椭圆方程为可得椭圆方程为直线直线PFPF2 2方程为方程为y= (x-c).Ay= (x-c).A，B B两点的坐标满足方程组两点的坐标满足方程组消去消去y y并整理，得并整理，得5x5x2 2-8cx=0.-8cx=0.解得解得x x1 1=0,x=0,x2 2= =得方程组的解得方程组的解 不妨设不妨设M(x,y)M(x,y)，令，令A( ),B(0, ),A( ),B(0, ),则则 由由y= (x-c),y= (x-c),得得c=x- c=x- 于是于是 由由 =-2=-2，即，即化简得化简得18x18x2 2- -15=0.- -15=0.将将 代入代入c=x- c=x- 得得所以所以x0.x0.因此，点因此，点M M的轨迹方程是的轨迹方程是18x18x2 2- -15=0(x0).- -15=0(x0).【反思反思感悟感悟】1.1.依据题设条件求椭圆的离心率，其关键是依据依据题设条件求椭圆的离心率，其关键是依据题设条件寻找关于题设条件寻找关于a a、c c的一个等式，解方程求出离心率的值；有的一个等式，解方程求出离心率的值；有些题目求离心率的范围，解题思路也是如此；些题目求离心率的范围，解题思路也是如此；2.2.求轨迹方程的方法是最基本的方法，应用已知条件中的等式求求轨迹方程的方法是最基本的方法，应用已知条件中的等式求方程，但要注意同解变形，注意变量的取值方程，但要注意同解变形，注意变量的取值. . 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【方法点睛方法点睛】1.1.直线与椭圆位置关系判断的步骤直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)(1)联立直线方程与椭圆方程；联立直线方程与椭圆方程；(2)(2)消元得出关于消元得出关于x(x(或或y)y)的一元二次方程；的一元二次方程；(3)(3)得出结论：当得出结论：当0 0时，直线与椭圆相交；当时，直线与椭圆相交；当=0=0时，直线时，直线与椭圆相切；当与椭圆相切；当0 0时，直线与椭圆相离时，直线与椭圆相离. .2.2.直线被椭圆截得的弦长公式直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为设直线与椭圆的交点坐标为A(xA(x1 1,y,y1 1) )、B(xB(x2 2，y y2 2),),则则|AB|=|AB|= (k (k为直线斜率为直线斜率).).3.3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法【提醒提醒】利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式况下进行的，不要忽略判别式. .涉及问题涉及问题处理方法处理方法弦长弦长根与系数的关系、弦长公式根与系数的关系、弦长公式中点弦或弦的中点中点弦或弦的中点点差法点差法【例例3 3】(2011(2011北京高考北京高考) )已知椭圆已知椭圆G: (ab0)G: (ab0)的离心率为的离心率为 右焦点为右焦点为( 0)( 0)，斜率为，斜率为1 1的直线的直线l与椭圆与椭圆G G交于交于A,BA,B两点，以两点，以ABAB为底边作等腰为底边作等腰PABPAB，顶点为，顶点为P(-3,2).P(-3,2).(1)(1)求椭圆求椭圆G G的方程；的方程；(2)(2)求求PABPAB的面积的面积. .【解题指南解题指南】(1)(1)利用利用a,b,ca,b,c的关系及离心率求出的关系及离心率求出a,ba,b，代入标准，代入标准方程；方程；(2)(2)联立直线方程与椭圆方程，然后利用根与系数的关系，设而联立直线方程与椭圆方程，然后利用根与系数的关系，设而不求，整体代入不求，整体代入. .【规范解答规范解答】(1)(1)由已知得由已知得解得解得a=a=又又b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=4=4，所以椭圆，所以椭圆G G的方程为的方程为(2)(2)设直线设直线l的方程为的方程为y=x+my=x+m，由，由 得，得，4x4x2 2+6mx+3m+6mx+3m2 2-12=0 -12=0 设设A,BA,B的坐标分别为的坐标分别为(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2)(x)(x1 1x0k0，求证：，求证：PAPB.PAPB.【解题指南解题指南】(1)(1)利用利用MNMN的中点在的中点在PAPA上即可求解；上即可求解；(2)(2)先求点先求点P P的坐标，再求出的坐标，再求出ABAB的方程，就能求出距离的方程，就能求出距离d;(3)d;(3)证明证明斜率之积为斜率之积为-1-1即可即可. .【规范解答规范解答】(1)(1)由题意知，由题意知，a=2, a=2, 故故M(-2,0),N(0, ).M(-2,0),N(0, ).所以线段所以线段MNMN的中点的坐标为的中点的坐标为(-1, )(-1, )，由于直线，由于直线PAPA平分线段平分线段MNMN，故直线，故直线PAPA过线段过线段MNMN的中点，又直线的中点，又直线PAPA过坐标原点，所以过坐标原点，所以 .3.3分分(2)(2)直线直线PAPA的方程为的方程为y=2xy=2x，代入椭圆方程得，代入椭圆方程得解得解得 因此因此于是于是C( 0),C( 0),直线直线ACAC的斜率为的斜率为所以直线所以直线ABAB的方程为的方程为x-y- =0x-y- =0， .5.5分分因此因此 .7.7分分(3)(3)方法一：将直线方法一：将直线PAPA的方程的方程y=kxy=kx代入代入解得解得 记记= = 8 8分分则则P(,k),A(-,-k)P(,k),A(-,-k)，于是，于是C(,0)C(,0)，故直线，故直线ABAB的斜率为的斜率为 直线直线ABAB的方程为的方程为 (x-)(x-)，代入椭圆方程得，代入椭圆方程得(2+k(2+k2 2)x)x2 2-2k-2k2 2x-x-2 2(3k(3k2 2+2)=0+2)=0，解得，解得 或或x=-x=-，1010分分因此因此B( )B( )，于是直线，于是直线PBPB的斜率为的斜率为因此因此k k1 1k=-1k=-1，所以，所以PAPB. PAPB. 1212分分方法二：设方法二：设P(xP(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 10,x0,x2 20,x0,x1 1xx2 2，A(-xA(-x1 1,-y,-y1 1),C(x),C(x1 1,0). ,0). 8 8分分设直线设直线PBPB，ABAB的斜率分别为的斜率分别为k k1 1,k,k2 2. .因为因为C C在直线在直线ABAB上，所以上，所以 从而从而k k1 1k+1=2kk+1=2k1 1k k2 2+1= +1= 1010分分因此因此k k1 1k=-1k=-1，所以，所以PAPB. PAPB. 1212分分【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示解答本题时有两点容易造成失分解答本题时有两点容易造成失分: :(1)(1)解答第二问时，找不到解答第二问时，找不到ABAB的直线方程，其错误原因是只看到了点的直线方程，其错误原因是只看到了点A A，而忽视了点而忽视了点C C在直线在直线ABAB上这一条件；上这一条件；(2)(2)计算直线计算直线PAPA、PBPB的斜率之积时，运算上出现错误的斜率之积时，运算上出现错误. .备备考考建建议议解决直线与椭圆的综合问题时，要注意以下几点：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意以下几点：(1)(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题. .1.(20111.(2011新课标全国卷新课标全国卷) )椭圆椭圆 的离心率为的离心率为( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析解析】选选D.D.直接求直接求 故选故选D.D.2.(20122.(2012武汉模拟武汉模拟) )若点若点F F1 1,F,F2 2为椭圆为椭圆 的焦点，的焦点，P P为椭圆为椭圆上的点，当上的点，当F F1 1PFPF2 2的面积为的面积为1 1时，时， 的值是的值是( )( )(A)0 (B)1 (C)3 (D)6(A)0 (B)1 (C)3 (D)6【解析解析】选选A.FA.F1 1PFPF2 2的面积为的面积为1 1，设，设P(xP(x1 1，y y1 1),),则有则有 |2c|2c|y|y1 1|=1|=1，即，即 |y|y1 1|=1,|=1, 代入椭圆方程得：代入椭圆方程得：不妨令点不妨令点P P为为( )( )，又，又F F1 1( 0),F( 0),F2 2( 0)( 0)3.(20113.(2011新课标全国卷新课标全国卷) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，椭圆中，椭圆C C的中的中心为原点，焦点心为原点，焦点F F1 1,F,F2 2在在x x轴上，离心率为轴上，离心率为 过过F F1 1的直线的直线l交交C C于于A,BA,B两点，且两点，且ABFABF2 2的周长为的周长为1616，那么，那么C C的方程为的方程为 . .【解析解析】由由ABFABF2 2的周长等于的周长等于4a=16,4a=16,得得a=4a=4，又知离心率为，又知离心率为即即 进而进而 所以所以a a2 2=16=16，b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=16-8=8=16-8=8，椭圆椭圆C C的方程为的方程为答案：答案：4.(20114.(2011浙江高考浙江高考) )设设F F1 1,F,F2 2分别为椭圆分别为椭圆 的左、右焦点，的左、右焦点，点点A,BA,B在椭圆上，若在椭圆上，若 则点则点A A的坐标是的坐标是 . .【解析解析】椭圆的焦点分别为椭圆的焦点分别为F F1 1( 0),F( 0),F2 2( 0)( 0)，设，设A A点坐标为点坐标为(m,n),B(m,n),B点坐标为点坐标为(p,t)(p,t)则则 即即 又又 且且 由上面两式解得由上面两式解得m=0,n=m=0,n=1,1,即点即点A A的坐标是的坐标是(0,(0,1).1).答案：答案：(0(0，1)1)或或(0,-1)(0,-1)