直线和平面垂直的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质 教学目的教学目的1进一步理解直线与平面垂直定义的两种用法；2理解并掌握直线与平面垂直的判定定理2；3理解并掌握直线与平面垂直的性质定理教学重点和难点教学重点和难点这节课的重点是使学生进一步理解、掌握直线和平面垂直的定义和判定定理这节课的难点是直线和平面垂直的性质定理的证明教学设计过程教学设计过程一、复习，讲练上节课所留的作业一、复习，讲练上节课所留的作业师：先请一位同学讲他所做的第32页习题四中的第1题（教师写出已知、求证并画出直观图）已知：ABC，lAB，lAC（如图1）求证：lBC生：因为lAB，lAC，所以l平面ABC（线面垂直的判定定理）故lBC（线面垂直的定义）师：对，在上一节我们讲直线和平面垂直的定义时，就强调过在立体几何中这是一个很重要的定义，我们一定要很好地理解、应用线面垂直的定义既是线面垂直最基本的判定方法，在线面垂直判定定理的证明思路就是回到定义去关于这一应用在上节课中已经做了详细的说明线面垂直的定义又是线面垂直的最基本的性质，当我们知道直线和平面垂直后，这平面的垂线就和平面内任何一直线都垂直，所以应用线面垂直的定义是证明两直线垂直常用的方法之一师：现在我们来看第32页习题四的第2题请一个同学回答（写出已知、求证和根据已知条件而画的直观图，我们叫它为起始图）已知：直线a平面，直线b平面（如图2（1）求证：ba生：过a作平面，设c，因为a，所以ac（线面平行的性质定理）又因为b，因此bc，故ba师：我们怎样想到要过a作平面的呢？生：这是线面平行的性质定理的要求因为在线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行在图中没有这条交线，所以我们就要作平面c，作出这条交线，以满足定理的要求a平行交线c师：这是定理要求我们作辅助面在立体几何解题过程中，我们经常要作辅助线、辅助面，我们根据什么原则来作辅助线、辅助面呢？有两条原则：一是用概念来指导作图，这在求异面直线所成的角时，我们曾反复强调；二是用定理来指导作图这就是今天我们在证明这个题时要明确的这是在立体几何中作辅助线、辅助面的两条基本原则，遵循这两条原则就说明解题的思路是正确的，就使解题的正确性有了基本的保证；反之，如果违背了这两条原则，那就说明了第一步就走错了方向这一题肯定不可能做对所以作辅助线、辅助面这两条原则我们一定要理解、记住，并且在解题过程中应用当然，以后随着课程内容不断的展开，我们还会反复强调这两条原则以前我们还讲过要使直观图有好的视觉效果，还要注意视角的选择，这一题的起始图（根据已知条件所画出的直观图）看起来它的视觉效果并不好，但当我们证完这道题，看到它的终止图（解完题后的直观图）视觉效果就比较好，所以视角选择好与不好要以终止图的视觉效果好与不好为标准这样在解完一道题后，有时要重新设计起始图的画法，以保证终止图有最好的视觉效果二、直线与平面垂直的判定定理二、直线与平面垂直的判定定理2师：这是课本第25页的例1，我们把它正式升格为判定定理2我们来看下面的模型就很容易了解定理的内容（这时拿出两根小棍平行地放在课桌面上，并使其中一根与桌面垂直，让学生观察另一根与桌面的关系）ab，如果a平面，那么b与平面是什么关系？生：b也垂直平面师：这就是线面垂直的判定定理2 判定定理判定定理2如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面已知：ab，a（如图3）求证：b师：判定定理1、判定定理2，这里的1，2不是人为的排列，而是有它内在的逻辑关系，也就是说我们可以应用判定定理1来证明判定定理2，那么我们如何用判定定理1来证明判定定理2呢？生：为了用判定定理1，我们可以首先在平面内作两条相交直线m，n因为a，所以am，an（线面垂直的定义）又因为ab，所以bm，bn（一条直线垂直于平行线中的一条也就垂直于另一条）故b（线面垂直的判定定理1）三、直线和平面垂直的性质定理三、直线和平面垂直的性质定理师：现在我们来研究直线和平面垂直的性质定理，先来看模型（这时教师用两根小棍都垂直于桌面，让学生观察、回答）生：这两直线平行师：这就是直线和平面垂直的性质定理 直线和平面垂直的性质定理直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行已知：a平面，（如图4）b平面，求证：ab师：我们讲过了线面垂直的判定定理1、2也曾经在讲线面垂直的定义时，把课本中的两句话（第24页）升格为两个定理，即：定理定理过一点有且只有一条直线和一个平面垂直定理定理 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直现在可以根据上述定理来证明线面垂直的性质定理：四、两个定义四、两个定义1点到平面的距离点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离（教师可先用一根小棍垂直于桌面演示，然后给点到平面的距离下定义，下完定义后可指出，点到平面的距离可转化为两点间的距离，即这个点和垂足之间的距离）2平行的直线和平面的距离平行的直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离（教师可先用一根小棍和平面平行，演示让学生观察，如何给平行的直线和平面的距离下定义，定义给出后，教师可指出平行的直线和平面的距离可能转化为点到平面的距离，当然也就可转化为两点间的距离）师：在这定义中，是这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离，那会不会因在直线上所取的点不同，而使距离不同呢？生：不会，它们之间的距离都相等师：对，但为了在理论上说明这个定义的合理性，我们来看下面这个例题例例已知：l平面，Al，Bl，AA于A，BB于B（如图5）求证：AABB生：因为AA，BB，所以AABB（性质定理），所以过AA，BB作平面，设AB，因为l，所以lAB，故AABB（平行线间的距离处处相等）师：通过这个例题的证明，我们就了解了定义的合理性可以在直线上任意取点这对于以后我们求平行的直线和平面的距离，提供了很好的思路今天我们讲了直线和平面垂直的第2个判定定理，讲了直线和平面垂直的性质定理，在这个基础上还讲了点到平面的距离、平行的直线和平面的距离两个定义作业作业课本第32页习题四第3，5，8题