第二课时第二课时 直线和平面所成的角直线和平面所成的角 2.3.1 2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定问题提出问题提出 1 1. .直线和平面垂直的定义和判定直线和平面垂直的定义和判定定理分别是什么？定理分别是什么？ 定义：定义：如果一条直线与平面内的任如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直与这个平面垂直. .定理：定理：如果一条直线和一个平面内的两如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面于这个平面. 2 2. .当直线与平面相交时，对于直线当直线与平面相交时，对于直线与平面垂直的情形，我们已作了一些相与平面垂直的情形，我们已作了一些相关研究，对于直线与平面不垂直的情形，关研究，对于直线与平面不垂直的情形，我们需要从理论上作些分析我们需要从理论上作些分析. .知识探究（一）：知识探究（一）：平面的斜线平面的斜线 思考思考1:1:当直线与平面相交时，它们可能当直线与平面相交时，它们可能垂直，也可能不垂直，如果一条直线和垂直，也可能不垂直，如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的这个平面的斜线斜线，斜线和平面的交点叫，斜线和平面的交点叫做做斜足斜足. .那么过一点作一个平面的斜线那么过一点作一个平面的斜线有多少条？有多少条？lP斜线斜线斜足斜足思考思考2:2:过斜线上斜足外一点向平面引过斜线上斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的条斜线在这个平面上的射影射影.那么斜那么斜线线l在平面在平面内的射影有几条？内的射影有几条？lPAB思考思考3:3:两两条平行直线、相交直线、异条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？哪些图形？思考思考4:4:如图，过平面如图，过平面外一点外一点P P引平引平面面的两条斜线段的两条斜线段PAPA、PBPB，斜足为，斜足为A A、B B，再过点，再过点P P引平面引平面的垂线，垂足的垂线，垂足为为O O，如果，如果PAPAPBPB，那么，那么OAOA与与OBOB的大的大小关系如何？反之成立吗？小关系如何？反之成立吗？OPAB思考思考5:5:如图，过平面如图，过平面内一点内一点P P引平引平面面的两条斜线的两条斜线PAPA、PBPB，这两条斜，这两条斜线段在平面线段在平面内的射影分别为内的射影分别为PCPC、PDPD，如果，如果PAPAPBPB，那么，那么PCPC与与PDPD的大小的大小关系确定吗？关系确定吗？CPABD思考思考6:6:如图，直线如图，直线l是平面是平面的一条的一条斜线，它在平面斜线，它在平面内的射影为内的射影为b b，直，直线线a a在平面在平面内，如果内，如果abab，那么直，那么直线线a a与直线与直线l垂直吗？为什么？反之成垂直吗？为什么？反之成立吗？立吗？alb知识探究（二）：知识探究（二）：直线和平面所成的角直线和平面所成的角 思考思考1:1:平面的一条斜线与这个平面总存平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度，我们设想用一个平在一个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度，并且这个角的面角来反映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确大小由斜线与平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点宜选在何处？定，那么角的顶点宜选在何处？l思考思考2:2:如图，如图，ABAB为平面为平面的一条斜线，的一条斜线，A A为斜足，为斜足，ACAC为平面为平面内的任意一条内的任意一条直线，能否用直线，能否用BACBAC反映斜线反映斜线ABAB与平与平面面的相对倾斜度？为什么？的相对倾斜度？为什么？CAB思考思考3:3:反映斜线与平面相对倾斜度反映斜线与平面相对倾斜度的平面角的顶点为斜足，角的一边的平面角的顶点为斜足，角的一边在斜线上，另一边在平面内的哪个在斜线上，另一边在平面内的哪个位置最合适？为什么？位置最合适？为什么？PAB思考思考4:4:我们把平面的一条斜线和它在平我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线这条斜线和这个平面所成的角和这个平面所成的角. .在实际应用或解题在实际应用或解题中，怎样去求这个角？中，怎样去求这个角？PAB思考思考5:5:特别地，当一条直线与平面垂特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为直时，规定它们所成的角为9090；当；当一条直线和平面平行或在平面内时，一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为规定它们所成的角为0 0. .这样，任何这样，任何一条直线和一个平面的相对倾斜度都一条直线和一个平面的相对倾斜度都可以用一个角来反映，那么直线与平可以用一个角来反映，那么直线与平面所成的角的取值范围是什么？面所成的角的取值范围是什么？思考思考6:6:如图，如图，BADBAD为斜线为斜线ABAB与平面与平面所成的角，所成的角，ACAC为平面为平面内的一条直内的一条直线，那么线，那么BADBAD与与BACBAC的大小关系如的大小关系如何？何？DCABBACBAC BADBAD思考思考7:7:两条平行直线与同一个平面两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？成的角的大小关系如何？思考思考8:8:过平面过平面外一点外一点P P引平面引平面的的斜线，斜足为斜线，斜足为A A，若斜线，若斜线PAPA与平面与平面所成的角为所成的角为5050，那么点，那么点A A在平面在平面内的运动轨迹是什么图形？内的运动轨迹是什么图形？PAO理论迁移理论迁移 例例1 1 在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中. .（1 1）求直线）求直线A A1 1B B和平面和平面ABCDABCD所成的角；所成的角；（2 2）求直线）求直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角. .D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DO例例2 2 如图，如图，ABAB为平面为平面的一条斜线，的一条斜线，B B为斜足，为斜足，AOAO平面平面，垂足为，垂足为O O，直，直线线BCBC在平面在平面内，已知内，已知ABC=60ABC=60，OBC=45OBC=45，求斜线，求斜线ABAB和平面和平面所成所成的角的角. .ABCOD作业作业: :P67P67 练习：练习：2.2.P74P74习题习题2.3A2.3A组：组：9.9.