第二章 控制系统的数学模型（1）静态数学模型：在静态条件下，描述变量之间关系的代数方程。l静态条件：即变量各阶导数为零l如直流电路方程，直流电压，直流电流等等（2）动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。如瞬态过程中的电路方程，电容电感的电磁惯性等1.什么是控制系统的数学模型？什么是控制系统的数学模型？控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。1chpt22. 建立控制系统的数学模型的意义建立控制系统的数学模型的意义定量研究控制系统的基础为系统行为进行控制3. 建立控制系统的数学模型的方法建立控制系统的数学模型的方法两大类（1）解析法：根据处理具体系统所服从的运动规律，运用适当的数学工具分别列写相应的运动方程。（2）实验法：在系统内部关系十分复杂时，为了某特定目的，可以通过实验地手段，测量该系统地输入输出量，然后运用“系统辨识”方法构建一个近似地数学模型。2chpt24. 建立控制系统的数学模型的工具建立控制系统的数学模型的工具（1）微分方程（2）差分方程（3）传递函数（4）结构图和信号流图（5）实验所得的频率特性（6）其它数学工具3chpt2一、线性元件的微分方程l例2-3（图2-3）l步骤：l （1）确定输入量和输出量；l （2）列写相应的微分方程；l （3）消去中间变量，整理成标准形式。 LRCUr(t)U0(t)2-1控制系统的时域数学模型4chpt2二、控制系统微分方程的建立l步骤：l（1）由系统原理图画出系统方块图；l（2）分别列写各元件（方块）的微分方程；l（3）消去中间变量，整理成标准形式。l注意：l （1）信号传送的单向性；l （2）后级对前级的负载效应。5chpt2图2-5速度控制系统6chpt2三、线性系统的特性l若f1（t）c1（t），f2（t）c2（t）；l则a1f1（t）+a2f2（t）a1c1（t）+a2c2（t）l(1)、可叠加性l(2)、均匀性1.什么是线性方程？由线性微分方程描述的系统。2.线性方程的性质：7chpt23. 线性系统的应用线性系统的应用（1）多个外作用产生的响应可通过逐个外作用响应的叠加。（2）零输入和零初始条件响应合成得到非零响应。（3）系统对输入和干扰分别研究（4）只有线形时不变微分方程才能运用Laplace变换为代数方程。8chpt2四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法）1微分方程的解法（1） 直接解析法（分离变量法）适用于变量少量简单的情况（2）Laplace变换解析法仅适用于线形时不变情况（3）状态转移矩阵法仅适用于线形时不变情况（4）数值法适用于所有情况9chpt2例例26 已知L=1H,C=1F,R=1欧姆，且电容上的初始电压U0(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ui(t)=1V。求电路突然接通电源时，电容电压u0(t)的变化规律。LRCUr(t)U0(t)解：【RLC无源网络微分方程】为：令10chpt2待入整理得：其中：11chpt2由输入电压产生的输出分量与初始条件无关零初始条件响应零输入响应由初始条件产生的输出分量与输入电压无关零初始条件响应零输入响应单位阶跃响应12chpt2利用Laplace变换的初值定理和终值定理，可以直接计算出u0(t)的初始值和终值。计算结果与时域表达式求得的数值一致。13chpt22. 用Laplace变换求解线形定常微分方程的步骤归纳：（1）考虑初始条件初始条件初始条件初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；（2）由代数方程求出输出量的拉氏变换表达式，使之成为典型分式之和；（3）反变换得到输出量的时域表达式。14chpt2五. 非线性微分方程的线性化非线性元件线性化切线法（小偏差法）步骤：先写出非线性函数：在平衡点附近用泰勒级数展开15写出增量线性化微分方程 略去增量符号，便得到函数 在工作点A附近的线性化方程：将一阶导数项近似式代入方程16(例2-7)17续（例2-7）18五、运动的模态（振型）Mode（1）定义：所谓模态，即齐次微分方程的独立解，n阶微分方程有n个独立解。每一种模态代表一种类型的运动形式。微分方程的通解是这些独立解的线性组合。（2）特征根与模态形式的关系特征根模态单实根1 ne- 1 t e- n t多重根te-t， t2e-t 一对共轭复根e-tcost e-tsint19chpt22-2控制系统的复数域数学模型(1)传递函数的由来对初始条件为零的微分方程进行Laplace变换,得到复数域中的数学模型。（2）传递函数的优点使时域微分方程变成频域代数方程，减少了问题的复杂度。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念，是频率法和根轨迹法的基础。 一.传递函数（Transfer function）20chpt2（2）传递函数的局限性只适合线性时不变系统，全零初始条件只适用于解析计算，但不适用于数值计算21chpt2一、传递函数的定义和性质G(S)R(S)C(S)1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之间关系。 C(S)=G(S)*R(S)其中G(S)称为传递函数。2.相应方块图22chpt2l2、性质：l（1）是复变量s的有理真分式函数，mn，所有系数均为实数。 l（2）只取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。l（3）与微分方程一一对应。l（4）其拉氏反变换是脉冲响应。l可表征控制系统的动态性能，并用以求出在给定输入量时系统的零初始条件响应。3.一般形式见书P29-30 (2-36) (2-37)23chpt2零零零零初始条件初始条件初始条件初始条件的两个含义：（1）指系统处于“静态”，输出量及其各阶导数在T=0时为零。（2）指系统处于“静态”，输入量及其各阶导数在T=0时为零。24chpt22.传递函数的几种表达式A. 传递函数的传递函数的“有理分式有理分式”型型（1）表达式 G(S)=书P31 (2-37)(2)由微分方程Laplace变换，结构图，信号流图综合及其他运算后的得到的传递函数通常都写称有理式。(3)该形式在观察初值，终值时特别直观25chpt2B.传递函数的零点增益形式传递函数的零点增益形式（1）表达式G(S)=书P32 (2-41)（2）分子分母写成“单阶因子”的形式（3）Z是传递函数的零点，P是传递函数的极点。 K为传递系数或根轨迹增益。（4）零极点可以为实数或复数。（5）该形式观察零极点分布十分方便。26chpt2C.传递函数的传递函数的“标准因子标准因子”形式形式（1）表达式G(S)=书P32 (2-42)（2）常数项系数为1（3）分子分母均分解成“标准因子”乘积（4）各因子中，系数都是实数。（5）该形式适合绘制对数幅频曲线（Bode）。27chpt2D.传递函数的传递函数的“部分分式部分分式”形式形式（1）表达式（2）该形式适合通过Laplace反变换求得时域响应。28chpt2二、传递函数的零点和极点l零点zi;极点pj;传递系数(或根轨迹增益)K=bm/an;零极点分布图 三、传递函数的极点和零点对输出的影响l1、 极点决定了固有响应的模态l2、 零点影响各模态在响应中所占的比重（图2-9）29chpt2输入产生的强迫运动分量其函数形式与输入相同被输入激发产生的Mode分别对应系统极点1和2他们构成自由运动分量30chpt231四、典型元部件的传递函数l机械、电子、液压、光学及其它321.电位器33线位移、角位移电压量 l(1) 单个电位器 lu（t）=K1（t） lU(s)=K1(s) lG(s)=U(s)/ (s)=K1l(2) 误差检测器 lu（t）= u1（t）-u2（t）l= K11（t）-2（t）=K1（t）l U(s)=K1(s) l G(s)=U(s)/ (s)=K1 34352. 测速发电机l角速度电压量（直流、交流）l lu（t）=Kt（t）=Ktd（t）/dtlU(s)=Kt(s)= Kts(s)l G(s)=U(s)/ (s)=Kt l G(s)=U(s)/ (s)=Kts 363.电枢控制直流伺服电动机l电枢控制直流伺服电动机简化后的微分方程为：l令Mc(t)=0,得电枢电压ua(t)到转速wm(t)的传递函数：l令ua(t) =0,得负载扰动转矩Mc(t)到转速wm(t)的传递函数：374. 两相伺服电动机小功率交流执行机构 重量轻、惯性小、加速特性好l线性化 38lMm=-Cm+Ms 式中，lMm是电动机输出转矩；lm是电动机角速度；lC=d Mm /dm是阻尼系数；lMs是堵转转矩，Ms =Cmua，CM=Ms/E。l不考虑负载转矩时l l式中,m是电动机转子角位移；l Jm是折算到电动机上的总转动惯量；l fm是折算到电动机上的总粘性摩擦系数。 39chpt2l消去中间变量，并取拉氏变换，得l式中，Km=CM/(fm+C)是电动机转动系数；Tm=Jm/(fm+ C)是电动机时间常数。l由于m(s)=s(s)，所以40chpt25. 无源网络l校正元件 例2-8l负载效应（图217负载效应示例）Z1Z2Ur(t)U0(t)41chpt26.单容水槽l水位控制 （图2-18） 42chpt27.电加热炉l热处理 （图2-19） 43chpt28.有纯延迟的单容水槽44chpt29.双容水槽l（图2-20） 45chpt22-3控制系统的结构图与信号流图 概述概述控制系统的结构图【控制系统的结构图【Block Diagram】和信号和信号流图【流图【Signal Flow Graph】都是描述系统各元都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形部件之间信号传递关系的数学图形表示系统中各变量之间的因果关系以及对各变表示系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算量所进行的运算描述复杂系统的简便方法描述复杂系统的简便方法46chpt2结构图结构图信号流图信号流图应用范围应用范围非非线性系统线性系统连续系统连续系统离散系统离散系统混合系统混合系统线性时不变线性时不变纯线性系统纯线性系统纯离散系统纯离散系统人工计算人工计算稍烦稍烦直接简明直接简明SIMULINK直接对应直接对应图形编程图形编程无无对应关系对应关系两种图比较两种图比较47chpt2系统结构图的组成和绘制1.组成由对信号单向运算的方框和信号流向线组成。2.结构图的基本单元（1）信号线带箭头的直线箭头表示信号的流向直线旁标记信号的时间函数或象函数四种基本单元（2）引出点（或测量点）u(t),U(s)信号引出或测量位置同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同u(t),U(s)u(t),U(s)48chpt2（3）比较点（或综合点）表示对两个以上信号进行加减运算“”表示相加“”表示相减“”可忽略不写（4）框图（或环节）方框表示对信号进行的数学变换方框内写入元部件或系统的传递函数G(S)u(t)U(s)c(t)C(s)C(s)=G(S)*U(S) 四种基本单元49chpt2(1) 写运动方程，进行Laplace变换比较电路放大器两相伺服系统绳轮传动机构测量电位器50chpt2 E1(s)_E2(s)E(s)比较电路51chpt2E (s)KAUa(s)放大器52chpt2Ms_MMUa(s)CMMaJms2Mmfms两相伺服系统两相伺服系统53chpt2测量电位器L(s)K1E2(s)rL(s)绳轮传动机构用信号线按信号流向依次将各元部件的方框连接起来。见书P43页图2-2354chpt2(1)分别列写各元部件的运动方程，并在零初始条件下进行Laplace变换。(2)根据各元部件在系统中的工作关系，确定其输入量和输出量，并按照各自的运动方程化出每个元部件的方框图。(3)用信号线按信号流向依次将各元部件的方框连接起来。绘制系统结构图基本步骤：55chpt2二、 结构图的等效变换和简化1.串联R(s)G1(s)U(s)G2(s)C(s)有U(s)=G1(s).R(s) C(s)=G2(s).U(s)整理有： C(s)=G1 (s) .G2 (s) .R(s)G(s)=G1 (s) .G2 (s)R(s)G1(s). G2(s)C(s)结论：N个方框串联的等效传递函数等于N个传递函数之乘积。56chpt22.并联并联有C1(s)=G1(s).R(s) C2(s)=G2(s).R(s)整理有： C(s)=G1 (s) G2 (s) .R(s)G(s)=G1 (s) G2 (s)R(s)G1(s) G1(s)C(s)结论：N个方框串联的等效传递函数等于N个传递函数之代数和。 G1 (s)C(s)G2 (s)C1(s)C2(s)57chpt23. 反馈有C (s)=G (s)*E(s) B(s)=H(s)*C(s) E(s)=R(s) B(s)整理有： C(s)= *R(s)G(s)=G1 (s) G2 (s)结论：闭环传递函数“+”正反馈“-” 负反馈 G (s)C(s)H (s)R(s)C(s)58chpt24. 比较点和引出点的移动l移动前后必须保持信号的等效性l比较点和引出点之间一般不交换位置l“-”可以在信号线上移动，但不能越过比较点和引出点。l表2-1/P4959chpt2*例2-14 *l例2-1460chpt261chpt2*例2-15 *62chpt2*例2-16 *63chpt2三、信号流图的组成及性质1.起源梅森Mason图示法描述一个或一组线性代数方程式。由节点和支路组成。2. 基本单元(1)节点：代表变量；用小圆圈表示。(2)支路：代表因果关系的乘法因子；表示两个变量之间的传递方向及增益，用单向线段表示。64chpt2典型信号流图典型信号流图由图得：65chpt23. 基本性质（1）节点代表的变量（2）每个节点变量等于所有流入该节点的信号之代数和。（3）从该节点流出的信号都等于该节点变量。（4）支路代表因果关系的乘法因子。相当于乘法器， 信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。（5）在支路上信号传递是单向的。（6）信号流图不是唯一的。66chpt2【源节点】【输入节点】:只有信号输出支路，没有信号输入支路。【阱节点】【输出节点】：只有信号输入支路，没有信号输出支路。【混合节点】：既有信号输出支路，又有信号输入支路。4.常用术语常用术语67chpt2【前向通路】：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。前向通路上个支路增益的乘积称为【前向通路总增益】。【回路】【单独回路】：起点和终点在同一节点，而且信号通过每个节点不多于一次的闭合通路。【不接触回路】：回路之间没有公共节点。68chpt2四、信号流图的绘制l1、 由系统微分方程绘制信号流图：先取拉氏变换，再绘制。 例2-1769chpt22、由系统结构图绘制信号流图70chpt2比较点和节点对应关系71chpt2例2-1872chpt2五、梅森增益公式l1、 推导:用可莱姆法则求解线性方程组(P58) 【图2-45典型信号流图】73chpt2具有任意条【前向通路前向通路】及任意个【单独回路单独回路】和【不接触回路不接触回路】的复杂信号流图，求取从任意源节点到任意阱节点之间传递函数的Mason增益公式为：其中：P：为从源点到阱点的传递函数【总增益】N为从源点到阱点的前向通路总数Pk：为从源点到阱点的第k条前向通路总增益74chpt2【流图特征式流图特征式 】：1La+ LbLc- LdLeLf.其中La所有单独回路增益之和。 Lb Lc所有互不接触单独回路中，每次取2个回路的回路增益乘积之和。 Ld Le Lf所有互不接触单独回路中，每次取3个回路的回路增益乘积之和。【流图余因子式流图余因子式 k】：等于流图特征式中除去与第k条前向通路相接触回路增益的余项。（包括回路增益乘积项）Mason增益公式75chpt2Mason公式说明：公式说明：（1）对于给定的系统信号流图，流程特征式）对于给定的系统信号流图，流程特征式是确是确定不变的。定不变的。（2）对于不同的源节点和阱节点的前向通路和余）对于不同的源节点和阱节点的前向通路和余因子因子i不同。不同。76chpt2N=2 ,单独回路单独回路3个，增益分别为个，增益分别为bf , cg , dh两不互接触回路两不互接触回路1个，增益为个，增益为bfdh=1-(bf+cg+dh)+bfdhP1=e 1=1-(bf+cg)P2=abcd 2=177chpt2例2-1978chpt2例例2-20 2-20 79chpt2例2-2180chpt2例2-2281chpt2例2-2382chpt2五、闭环系统的传递函数l1、 输入信号下的闭环传递函数：令N(s)=0,得（图2-51反馈控制系统的典型结构图和信号流图）83chpt2l2、 扰动作用下的闭环传递函数：(图2-52在扰动作用下系统结构图)令R(s)=0,得84chpt2l当输入信号R(s)和扰动作用N(s)同时作用时，系统的输出为lC（s）=(s)R(s)+N(s)N(s)l如果满足|G1(s)G2(s)H(s)| 1 ,l和|G1(s)H(s)| 1的条件，l则可简化为lC(s)R(s)/H(s) l特别是当 H(s)=1，即单位反馈时，lC(s)R(s)l从而近似实现了对输入信号的完全复现，且对扰动具有较强的抑制能力。 85chpt2l3、闭环系统的误差传递函数： 特征式：=1+ G1(s)G2(s)H(s) 其中 G1(s)G2(s)H(s)称为系统的开环传递函数或回路增益。86chpt2