第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型本章主要内容本章主要内容本章主要内容本章主要内容: : : : 2.I2.I2.I2.I 2.22.22.22.2 2.32.32.32.3 2.42.42.42.42.52.52.52.5控制控制控制控制系统的微分方程系统的微分方程系统的微分方程系统的微分方程非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数系统方框图和信号流图系统方框图和信号流图系统方框图和信号流图系统方框图和信号流图数学模型的定义数学模型的定义数学模型：数学模型：静态模型：参数对时间的变化可以忽略静态模型：参数对时间的变化可以忽略动态模型：动态模型：描述系统变量间相互关系的动态性能动态性能的运动方程运动方程解析法解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。建立数学模型的方法：建立数学模型的方法：实验法实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。系统辨识。系统辨识。系统辨识。数学模型的形式数学模型的形式时间域：时间域： 微分方程差分方程状态方程复数域：复数域： 传递函数结构图频率域：频率域： 频率特性第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程一、建立系统微分方程式的一般步骤如下：一、建立系统微分方程式的一般步骤如下： 确定系统的输入量和输出量根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各元件的运动方程消中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式 二、微分方程式的建立二、微分方程式的建立 （一）（一）弹簧弹簧质量质量阻尼器系统阻尼器系统 图2-1表示一个弹簧质量阻尼器系统。当外力f (t)作用时，系统产生位移y(t)， 要求写出系统在外力f (t)作用下的运动方程式。f (t)是系统的输入，y(t)是系统的输出。列出的步骤如下： 图2-1 弹簧质量阻尼器系统（1）运动部件质量用M表示.（2）列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有：式中 f 1(t)阻尼器阻力； f 2(t)弹簧力。 (2.1) （3）f1(t)和f2(t)为中间变量，找出它们与其它因素的关系。阻尼器阻力与运动方向相反，与运动速度成正比，故有： (2.2) 式中B 阻尼系数。 设弹簧为线性弹簧，则有：f2 (t) = Ky(t)式中 K 弹性系数。(2.3)（4）将式）将式(2.2)和式和式(2.3)代入式代入式(2.1)，得系统的微分方，得系统的微分方程式程式 : (2.4) 式中式中M、B、K均为常数，此机械位移系统为均为常数，此机械位移系统为线性定常系统。线性定常系统。 图2-2所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值， ur(t)为输入电压， uc(t)为输出电压，输出端开路。 要求列出uc(t)与ur(t)的方程关系式。 图2-2 R-L-C电路（二）（二）R-L-C电路电路（1）根据基尔霍夫定律可写出原始方程式：）根据基尔霍夫定律可写出原始方程式： (2.5)（2）式中）式中i是中间变量，它与输出是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系：有如下关系： (2.6)（3）消消去去式式(2.5)、式式(2.6)的的中中间间变变量量i后后，便便得得输输入入输输出微分方程式：出微分方程式： 则(2.8)(2.7） 令令T1=L/R，T2=RC为电路的两个时间常数。当为电路的两个时间常数。当t的单位的单位为秒时，它们的单位也为秒。为秒时，它们的单位也为秒。 式式(2.7)或式或式(2.8)是线性定常系统二阶微分方程式，式是线性定常系统二阶微分方程式，式中中左端导数项最高阶次为左端导数项最高阶次为2。l许多表面上不同的物理系统：机械系统、许多表面上不同的物理系统：机械系统、电气系统可能会有完全相同的数学模型。电气系统可能会有完全相同的数学模型。l数学模型表达了系统的共性，研究数学模数学模型表达了系统的共性，研究数学模型的特性时，不再涉及原来系统的物理性型的特性时，不再涉及原来系统的物理性质和具体的特点。质和具体的特点。l同一个系统选择不同的输入输出微分方同一个系统选择不同的输入输出微分方程的形式有变化。程的形式有变化。l微分方程的阶数微分方程的阶数= =独立储能元件的个数独立储能元件的个数建立合理数学模型的方法建立合理数学模型的方法n数学模型越精确就越复杂，从工程的角度出发：在要求的精度下，以最简化的形式反映系统的动态过程，根据系统的结构参数和系统要满足的技术指标，忽略一些次要因素，使模型准确反映系统的本质，又能简化分析计算工作。第二节、非线性方程的线性化第二节、非线性方程的线性化针对时间变量的常微分方程： 线性方程指满足叠加原理叠加原理： 可加性 齐次性不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。常见非线性情况常见非线性情况饱和非线性死区非线性间隙非线性继电器非线性 尽管线性系统的理论已经相当成熟，但非尽管线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。另外，迭加原理线性系统的理论还远不完善。另外，迭加原理不适用于非线性系统，这给解非线性系统带来不适用于非线性系统，这给解非线性系统带来很大不便。故我们尽量对所研究的系统进行线很大不便。故我们尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析。性化处理，然后用线性理论进行分析。严格讲： 所有系统都是非线性的二、线性化问题的提出二、线性化问题的提出三三 线性化方法线性化方法1、忽略弱的非线型因素、忽略弱的非线型因素2、小偏差法（切线法、增量线型化法）、小偏差法（切线法、增量线型化法）增量方程的数学含义 将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。线性化定义线性化定义 将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。 将将非线性函数非线性函数y=f(x)y=f(x)在工作点（在工作点（x x0 0,y,y0 0) )处展成泰勒处展成泰勒级数级数 忽略二次以上的高次项，得到的线型函数来代替忽略二次以上的高次项，得到的线型函数来代替原来的原来的非线性函数非线性函数线性化步骤：线性化步骤：例例3 写出加热炉的微分方程写出加热炉的微分方程 解：输入量是电压解：输入量是电压 u (t)输出量是炉温输出量是炉温Tq q是单位时间产生的热量，是单位时间产生的热量，q qs s是单位时间散失的热量，是单位时间散失的热量，C C是物质的热容量是物质的热容量R是热阻该方程为该方程为非线性非线性方程方程进行线性化处理进行线性化处理 将将方程方程在工作点（在工作点（u u0 0,q,q0 0) )处展成泰勒级数处展成泰勒级数, ,忽略二次以忽略二次以上的高次项得上的高次项得非线性非线性令稳态时：稳态时： 1、首先确定系统处于平衡状态时，各元件的工作点。、首先确定系统处于平衡状态时，各元件的工作点。 2、以以偏偏量量表表示示的的线线性性化化方方程程式式，若若输输入入量量工工作作在在较较大大的的范围内，会带来较大的误差。的的范围内，会带来较大的误差。 3、某些典型的非线性特性是不连续的不能进行、某些典型的非线性特性是不连续的不能进行线性化线性化线性化处理应注意的几点线性化处理应注意的几点