一元二次方程一元二次方程1教学目标：教学目标：一元二次方程概念一元二次方程概念解一元二次方程的方法解一元二次方程的方法一元二次方程应用题一元二次方程应用题 2一元二次方程概念一元二次方程概念 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念 3一元二次方程概念只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程一元二次方程4一元二次方程特点（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程5一元二次方程的一般形式一般形式任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 这种形式叫做一元二次方程的一般形式一般形式 一个一元二次方程经过整理化成 后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项6例例1将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 分析分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0）因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等 解：去括号，得： 40-16x-10x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22 7例例2（学生活动：请二至三位同学上台演练）（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（将方程（x+1）2+（x-2）（）（x+2）= 1化成一元化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项次项系数；一次项、一次项系数；常数项 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a0）的形式 解：去括号，得： x2+2x+1+x2-4=1 移项，合并得：2x2+2x-4=0 其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4 8应用拓展求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程 分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+170即可 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 （m-4）20 （m-4）2+10，即（m-4）2+10 不论m取何值，该方程都是一元二次方程 9本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式 和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用 10第二课时1一元二次方程根的概念；2根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目 11一元二次方程的根一元二次方程的根 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根一元二次方程的根 12直接开平方法直接开平方法形如的方程 可以用直接开平方法解，两边直接开平方得 或者 ， 注意：若b0，方程无解13例题：例题：将方程左边配成完全平方式，得到的方程是（ ）A、 B、 C、 D、14因式分解法因式分解法一般步骤如下：将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。例题：例题：解方程15配方法配方法用配方法解一元二次方程 的一般步骤二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 的形式；用直接开平方法解变形后的方程。注意：注意：当 时，方程无解16例题：例题：将方程 配方后，原方程变形为（ ） A B C D17公式法公式法一元二次方程 的求根公式： （ ）一般步骤： 将方程化为一般形式确定方程的各系数a，b，c，计算 的值；当 ，将a，b，c以及 的值代入求根公式，得出方程的根 18注意:当时 ，方程无解；公式法是解一元二次方程的万能方法；利用 的值，可以不解方程就能判断方程根的情况；19一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式一元二次方程 的根的判别式当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根，当0时，方程没有实数根20韦达定理（根与系数关系）韦达定理（根与系数关系）（1）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c0之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+； 可以由公式法解一元二次方程的两个根证明。*实根与虚根。（2）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q （3）以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=021一元二次方程的应用一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。“解”就是求出说列方程的解；“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。22231、下列式子哪些是方程？、下列式子哪些是方程？2353x25x318x2y5没有未知数没有未知数不是等式不是等式含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程不是等式不是等式方程的本质方程的本质特征是什么特征是什么？242、我们学过哪些方程？、我们学过哪些方程？一元一次方程、二元一次方程、分式方程。一元一次方程、二元一次方程、分式方程。3、什么叫一元一次方程？方程的、什么叫一元一次方程？方程的“元元”和和“次次”是什么意思？是什么意思？只含有只含有一个未知数一个未知数，并且未知数的，并且未知数的次数是次数是1 1次次的整式方程叫一元一次方程。的整式方程叫一元一次方程。一元一元一次一次25问题问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为房之间，开辟面积为900平方米的一块长方平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长米，那么绿地的长和宽各为多少？和宽各为多少？26问题问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为房之间，开辟面积为900平方米的一块长方平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长米，那么绿地的长和宽各为多少？和宽各为多少？x（x10）27问题问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？米，那么绿地的长和宽各为多少？解：设长方形绿地的宽为解：设长方形绿地的宽为x米，米，则长为（则长为（x10）米，可得方程：）米，可得方程： 设未知数设未知数长长宽面积宽面积 相相等关系等关系x（x10）=900 28去年底：去年底：5今年底：今年底：55x5（1x）明年底：明年底：5（1x）5（1x）x5（1x）（1x）5 （1x）2问题问题2、学校图书馆去年年底有图书、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明万册，预计到明年年底增加到年年底增加到72万册。求这两年的年平均增长率。万册。求这两年的年平均增长率。解：设这两年的年平均增长率为解：设这两年的年平均增长率为x,根据题意得方程：根据题意得方程：5（1x）27.2注意：每年都是注意：每年都是在上一年的基础在上一年的基础上增长！上增长！29整理得：整理得： x210x9000（1）5x210x2.20 （2） 特征（特征（1） 都是整式方程都是整式方程 （2） 只含有一个未知数只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是未知数的最高次数是230 只含有一个未知数，并且未知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是数的最高次数是2 2的的整式方程整式方程叫做叫做一元二一元二次方程次方程。一元二次方程通常可写成如下的一元二次方程通常可写成如下的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0（a0)特征：方程的左边按特征：方程的左边按x x的降幂排列，的降幂排列，右边右边0 031练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。说明理由。不是不是是是不是不是不是不是32讨论：为什么二次项系数讨论：为什么二次项系数a不能为不能为0？假如？假如a=0会出现什么情况？会出现什么情况？b、c能不能为能不能为0？ax2+bx+c=0（a0)33ax2+bx+c=0二次项二次项一次项一次项常数项常数项二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数a0一元二次方程的项和各项系数一元二次方程的项和各项系数 34练习练习1、指出下列一元二次方程的二次项、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：系数、一次项系数和常数项：方程方程二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数常数项项213305130352、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： 3x21x2=02x27x3=01x25x0=02x25x11=0友情提示：某一项的系数包括它前友情提示：某一项的系数包括它前面的符号。面的符号。36拓展练习：拓展练习：1、 关于关于x的方程的方程axax2 2 2bx2bxa a2x2x2 2, 在什在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？件下此方程为一元一次方程？解：移项：解：移项：axax2 2 2bx2bxa a 2x2x2 2 0 0合并同合并同类项：（：（a a2 2）x x2 2 2bx2bxa a0 0所以，所以，当当a2时是一元二次方程；时是一元二次方程；当当a2，b0时是一元一次方程；时是一元一次方程；372、已知关于、已知关于x的一元二次方程的一元二次方程(m1)x23x5m40有一根为有一根为2，求，求m。什么叫方程的根？什么叫方程的根？能够使方程左右两边相等的未知数的值，能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的根。叫方程的根。解：把解：把x x2 2代入原方程得：代入原方程得： (m1) 223 2 5m40解这个方程得：解这个方程得：m6383、已知关于、已知关于x的方程的方程是一元二次方程，求是一元二次方程，求m的的值。分析：因为方程是一元二次方程，故未知数分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的的最高次数最高次数 m +12，解之得，解之得，m=1或或m=1，又因二次项系数又因二次项系数m10， 即即m1，所以所以m=1。温馨提示：注意陷井温馨提示：注意陷井二次项系数二次项系数a0！39v若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=_ 40已知关于x的方程（k21）x2（k1）x20（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出它的根；（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？写出这个方程的二次项系数，一次项系数和常数项41二次函数y=ax2的图象和性质421、二次函数的一般形式是怎样的？二次函数的一般形式是怎样的？y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)2.2.下列下列函数中函数中,哪些是二次函数？哪些是二次函数？43你会用描点法画二次函数y=y=x2 2的图象吗的图象吗? ?观察观察y=y=x2 2的表达式的表达式, ,选择适当选择适当x值值, ,并计算并计算相应的相应的y y值值, ,完成下表：完成下表：x-3-3-2-2-1-10 01 12 2 3 3y=y=x2 29 94 41 11 10 04 49 944xy0 0-4-3-2-11234108642-2描点描点, ,连线连线y= =x2 2?4546二次函数二次函数y=x2的图象的图象形如物体抛形如物体抛射时所经过射时所经过的路线的路线,我们我们把它叫做把它叫做抛抛物线物线这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.47 议一议议一议(2)图象图象 与与x轴有交点吗？如果有轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么交点坐标是什么?(4)当当x0呢？呢？(3)当当x取什么值时取什么值时,y的值最小的值最小?最小值是什么最小值是什么? 你是如何知道的？你是如何知道的？观察图象观察图象, ,回答问题：回答问题：xyO(1)图象是轴对称图形吗？图象是轴对称图形吗？如果是如果是,它的对称轴是什么它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？请你找出几对对称点？48当当x0 (在对称轴的在对称轴的右侧右侧)时时, y随着随着x的增大而的增大而增大增大. 当当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=4抛物线抛物线y=x2在在x轴的轴的上方上方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最低点是它的最低点,开口开口向上向上,并且向上无限并且向上无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是0.49(1)(1)二次函数二次函数y=-y=-x2 2的图象是什么形状？的图象是什么形状？ 做一做做一做你能根据表格中的数据作出你能根据表格中的数据作出猜想吗猜想吗？(2)(2)先想一想，然后作出它的图象先想一想，然后作出它的图象(3)(3)它与二次函数它与二次函数y=x2的图象有什么关系？的图象有什么关系？xy=-x x2 2x-3-2-10123y=-x x2 2x -9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9在学中做在做中学50做一做做一做xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点描点, ,连线连线y=-=-x2 2?51当当x0 (在对称轴在对称轴的右侧的右侧)时时, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. y 当当x= -2时时,y= -4 当当x= -1时时,y= -1当当x=1时时,y= -1当当x= 2时时,y= -4抛物线抛物线y= -x2在在x轴的轴的下方下方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最高点是它的最高点,开口开口向下向下,并且向下无限并且向下无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是0.521.抛物线抛物线y=ax2的顶点是原点的顶点是原点,对称轴是对称轴是y轴轴. 2.当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),它它的开口向上的开口向上,并且向上无限伸展；并且向上无限伸展； 当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小；在的增大而减小；在对称轴右侧对称轴右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x=0时函数时函数y的值最小的值最小. 当当a0时，在对称轴的左侧时，在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在对称轴的右侧对称轴的右侧,y随着随着x增大而减小增大而减小,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大.二次函数y=ax2的性质53做一做做一做(1)抛物线抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 , 在对称轴在对称轴 侧侧,y随着随着x的增大而增大；在对称轴的增大而增大；在对称轴 侧侧, y随着随着x的增大而减小的增大而减小,当当x= 时时,函数函数y的值最小的值最小,最小最小 值是值是 ,抛物线抛物线y=2x2在在x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外).(2)抛物线抛物线 在在x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外),在对称在对称轴的左侧轴的左侧,y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧；在对称轴的右侧,y随着随着x的的 ,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是 ,当当x 0时时,y0.54六、本课小结：六、本课小结：1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是是2的整式方程，叫做一元二次方程。的整式方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式为、一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a0），一元二次方程的项及系），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。次数及其系数的定义是一致的。3、一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一、一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一种有效数学模型。种有效数学模型。4、二次函数y=ax2的图象是什么？的图象是什么？5、二次函数y=ax2的图象有何性质？的图象有何性质？6、抛物线y=ax2 与与y=-ax2有何关系？有何关系？55