1-1测量的基本知识测量的基本知识注意：注意：大多数的测量结果不但有数值而且有大多数的测量结果不但有数值而且有单位单位。物理测量：运用各种物理仪器和物理方法物理测量：运用各种物理仪器和物理方法把待测未知量与已知标准单位同类量作比较，把待测未知量与已知标准单位同类量作比较，即待测量是该计量单位的多少倍即待测量是该计量单位的多少倍一一、物理测量的基本概念物理测量的基本概念直接测量与间接测量直接测量与间接测量直接测量与间接测量直接测量与间接测量 凡是可以直接用计量仪器和测量量进行比较，便可获得测量结果的，该测量属于直接测量直接测量。 凡是通过与被测量有函数关系的其他量，才得到被测量凡是通过与被测量有函数关系的其他量，才得到被测量量值的测量，称为量值的测量，称为间接测量间接测量。1.直接测量与间接测量是相对的。直接测量与间接测量是相对的。2. 直接测量是测量的基础。直接测量是测量的基础。总结总结总结总结等精度测量和不等精度测量等精度测量和不等精度测量等精度测量和不等精度测量等精度测量和不等精度测量p 由同一观察者用同一仪器、同一方法、同一环境测量n次，所得测量值为x1、x2.xn，则把这样在同一种条件下的重复测量称为等精度测量等精度测量。p 在不同条件（观察者、仪器、方法、环境）下的重复测量称为不等精度测量不等精度测量。测量的精密度、准确度、精确度测量的精密度、准确度、精确度u 精密度u 准确度u 精确度二、测量结果分析的基本概念二、测量结果分析的基本概念(1)算术平均值与数学期望算术平均值与数学期望p算术平均值算术平均值 随机变量的算术平均数，等于随机变量的算术平均数，等于“试验结果的各个可能值与其相试验结果的各个可能值与其相应的频率应的频率f(x=xi)乘积之和乘积之和”。由于频率。由于频率f(x=xi)要试验后才能确定，要试验后才能确定，因而算术平均数也必须到试验后才能求出，而且各次试验后，所因而算术平均数也必须到试验后才能求出，而且各次试验后，所得到算术平均数也不一定相同，具有随机性。得到算术平均数也不一定相同，具有随机性。p 数学期望数学期望是连续的是连续的概率概率概率密度函数概率密度函数在大量试验下，频率在大量试验下，频率f(x=xi)稳定于概率稳定于概率p(x=xi),而随机变量而随机变量x的算术平均值的算术平均值也一定稳定于也一定稳定于“随机变量随机变量x的各个可能值与其相应概率的各个可能值与其相应概率p(x=xi)乘积的总和乘积的总和”，这个，这个“总和总和”是一个常数，它是算术平均值的稳定值，是一个常数，它是算术平均值的稳定值，称为随机变称为随机变量量x的数学期望。的数学期望。p 算术平均值与数学期望算术平均值与数学期望数学期望数学期望E(x)与算术平均值有紧密联系，都是反映随机变量与算术平均值有紧密联系，都是反映随机变量x的的“平均特平均特征征”这一统计特征，但它们又有质的差别，这一统计特征，但它们又有质的差别， E(x)是一个客观存在的理论值，是一个客观存在的理论值，而算术平均值是一个试验值，具有随机性。而算术平均值是一个试验值，具有随机性。其中，其中，(2) 测量列及测量列平均值的标准偏差测量列及测量列平均值的标准偏差p测量列的标准偏差测量列的标准偏差p测量列平均值的标准偏差测量列平均值的标准偏差(3) 正态分布正态分布u概率密度函数：概率密度函数：u正态分布曲线：正态分布曲线：特点：特点：l单峰性单峰性l对称性对称性l有界性有界性l抵偿性抵偿性概率含量概率含量68.3%概率含量概率含量99.7%1-2 实验测量不确定度的评定实验测量不确定度的评定一、不确定度的定义与物理意义一、不确定度的定义与物理意义1、定义：、定义：由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，称为不称为不称为不称为不确定度确定度确定度确定度，它是与测量结果相联系的一个参数，它是与测量结果相联系的一个参数测量值测量值测量不确定度测量不确定度用测量的算术平均值来表示用测量的算术平均值来表示2、分类、分类可用概率统计法计算的可用概率统计法计算的可用概率统计法计算的可用概率统计法计算的A类评定类评定用其它非统计方法估算的用其它非统计方法估算的用其它非统计方法估算的用其它非统计方法估算的B类评定类评定3 3、物理意义：更科学地表示了测量结果的可靠性、物理意义：更科学地表示了测量结果的可靠性、物理意义：更科学地表示了测量结果的可靠性、物理意义：更科学地表示了测量结果的可靠性表示真值在量值表示真值在量值之中，显然，量之中，显然，量值范围越窄，则测量不确定度越小，用测量值表值范围越窄，则测量不确定度越小，用测量值表示真值的可靠性就越高示真值的可靠性就越高2. 求测量列平均值的标准偏差求测量列平均值的标准偏差二、直接测量标准不确定度的二、直接测量标准不确定度的A类评定类评定当测量次数足够多时，测量值分布满足正态分布当测量次数足够多时，测量值分布满足正态分布置信概率置信概率68.3%因此为达到同样的置信概率，应把测量偏差范围扩因此为达到同样的置信概率，应把测量偏差范围扩大，乘上一个大，乘上一个t t因子，即：因子，即： 但实验测量中，次数有限所以测量值不满足正态分但实验测量中，次数有限所以测量值不满足正态分布，而是遵循布，而是遵循t t分布。分布。三种概率下的不同自由度三种概率下的不同自由度v的的tvp值值(v=n-1)3.503.503.713.714.034.034.604.605.845.849.939.930.992.372.372.462.462.572.572.782.783.183.184.304.300.951.081.081.091.091.111.111.141.141.201.201.321.320.68765432vtp0.990.950.682.582.582.862.862.982.983.253.253.363.361.961.962.092.092.152.152.262.262.312.311 11.031.031.041.041.061.061.071.07 191498vtp所以直接测量量不确定度所以直接测量量不确定度A类评定为：类评定为：注意：对于不同的置信概率注意：对于不同的置信概率注意：对于不同的置信概率注意：对于不同的置信概率P P，具不有同的，具不有同的，具不有同的，具不有同的A A类不确定度类不确定度类不确定度类不确定度二、直接测量标准不确定度的二、直接测量标准不确定度的B类评定类评定测量值的测量值的测量值的测量值的B B类不确定度可表示为：类不确定度可表示为：类不确定度可表示为：类不确定度可表示为：置信概率置信概率p与置信因子与置信因子kp的关系表的关系表误差分布与置信系数误差分布与置信系数C的关系的关系1）不确定度是正态分布或近似高斯分布）不确定度是正态分布或近似高斯分布P=68.3%2）均匀分布）均匀分布P=68.3%3）三角形分布）三角形分布P=68.3%四四、 总不确定度的合成总不确定度的合成测量结果测量结果:P=68.3%注意：注意：A、B类不确定度的合成时，两者概率需一致。类不确定度的合成时，两者概率需一致。v测量不确定度用测量不确定度用一位或二位一位或二位数表示均可。如果作为间数表示均可。如果作为间接测量的一个中间结果（中间过程）不确定度最好用二接测量的一个中间结果（中间过程）不确定度最好用二位。位。对不保留数字一律对不保留数字一律“只进不舍只进不舍”，如，如ux=0.32，取，取0.4。v测量值末位与不确定度末位相对齐来确定。对测量值末位与不确定度末位相对齐来确定。对保留数字末位采用保留数字末位采用“4舍舍6入，入，5凑偶凑偶”规则。规则。如：如：测量结果平均值为，其标准不确定度计算为，测量结果平均值为，其标准不确定度计算为，测量结果平均值为，其标准不确定度计算为，测量结果平均值为，其标准不确定度计算为，直接测量结果不确定度书写表示直接测量结果不确定度书写表示注意事项注意事项不确定度的其它表示不确定度的其它表示相对不确定度：相对不确定度：没有单位，用百分数表示，它没有单位，用百分数表示，它更能反映测量的准确程度更能反映测量的准确程度所取位数所取位数0-10%取一位取一位10%-100%取取二二位位定义：表示不确定度ux在整个测量值 中所占百分比，用符号“E”来表示例题一例题一1）用量程）用量程025mm，最小分度值为，最小分度值为0.01mm，最大允差为，最大允差为 0.004mm的螺旋测量微器测量钢丝的直径的螺旋测量微器测量钢丝的直径6次，数据如次，数据如下：下：D(mm):3.953,3.953,3.950,3.954,3.952,3.953, ，求直径，求直径的的A,B类不确定度，并完整表示不确定度测量结果。类不确定度，并完整表示不确定度测量结果。解：解：因测量次数为因测量次数为6次，查表得次，查表得t=1.11，总不确定度合成总不确定度合成D测量结果的不确定度表示测量结果的不确定度表示相对不确定度为相对不确定度为螺旋测量微器的误差为正态分布，螺旋测量微器的误差为正态分布，C=3五、间接测量量不确定度的估算五、间接测量量不确定度的估算 表示间接测量值与各直接测量值之间的关系式称为不表示间接测量值与各直接测量值之间的关系式称为不确定度传递公式。确定度传递公式。对于间接测量值：对于间接测量值：对于间接测量值：对于间接测量值：1）常用函数不确定度的算术合成）常用函数不确定度的算术合成p 绝对不确定度传递公式：绝对不确定度传递公式：p 相对不确定度传递公式：相对不确定度传递公式：例如：例如： N=A+B N=AB2）常用函数不确定度的几何合成）常用函数不确定度的几何合成p 绝对不确定度传递公式绝对不确定度传递公式p 相对不确定度传递公式相对不确定度传递公式算术合成的不确定度传递公式简单算术合成的不确定度传递公式简单但得到的是可能的最大偏差但得到的是可能的最大偏差例如：例如： N=A+B N=AB3）运算顺序的选择）运算顺序的选择v函数为和与差关系函数为和与差关系-先计算绝对不确定度，先计算绝对不确定度，后计算相对不确定度后计算相对不确定度v函数为积与商关系函数为积与商关系-先计算相对不确定度，先计算相对不确定度，后计算绝对不确定度后计算绝对不确定度例题二例题二1-3 有效数字及其运算有效数字及其运算一、有效数字一、有效数字定义：定义：测量数据中所有可靠数字加上一位可疑数字统称为有效数字。？有效数字的最后一位是估读的，为可疑数字。虽然可疑有效数字的最后一位是估读的，为可疑数字。虽然可疑数字不是准确的，是误差所在的位，但仍反映了被测量数字不是准确的，是误差所在的位，但仍反映了被测量大小的信息，所以还是有意义的。大小的信息，所以还是有意义的。估读位前的几位数字都为可靠数字估读位前的几位数字都为可靠数字1.实验过程中记录应记几位数字？2.实验后，处理实验数据时数据运算后要保留几位数字？有郊数字的认定有郊数字的认定1）在测量数据中）在测量数据中1、2、9九个数字，每个数九个数字，每个数字都为有效数字字都为有效数字2）“0”是特殊数字，其认定应注意以下几种情况是特殊数字，其认定应注意以下几种情况v数字间的“0”为有效数字v数字后的“0”为有效数字v数字前的“0”不是有效数字，它只表示数量级的大小在测量时，数据不能任意多写或少写，即便是在测量时，数据不能任意多写或少写，即便是“0”也一样也一样注意：注意：总结总结1、有效数字的位数计算，从第一位不是、有效数字的位数计算，从第一位不是“0”的数字至最后一位的数字至最后一位2、在十进制单位中，有效数字的位数与十进制、在十进制单位中，有效数字的位数与十进制单位的变化无关单位的变化无关例如：某长为例如：某长为1.34cm，有效数字为，有效数字为3位位1.34cm=13.4mm=0.0134m（只是单位在变）（只是单位在变）二、科学记数法标准式二、科学记数法标准式二、科学记数法标准式二、科学记数法标准式为计算的方便，对较大或较小的数值，常用为计算的方便，对较大或较小的数值，常用1010nn的形式来书写（的形式来书写（n n为正整数），为正整数），通常在小数通常在小数通常在小数通常在小数点前面只写一位数字点前面只写一位数字点前面只写一位数字点前面只写一位数字。如：如：如：如：3210003210001000m1000m1000m1000m采用科学记数为（采用科学记数为（采用科学记数为（采用科学记数为（3.210.013.210.013.210.013.210.01）101010105 5 5 5m m m m0.00015600.0000001m0.00015600.0000001m0.00015600.0000001m0.00015600.0000001m（1.5600.0011.5600.0011.5600.0011.5600.001） 10 10 10 10-4-4-4-4m m m m三、有效数字的位数多少，在一定程度上反映测三、有效数字的位数多少，在一定程度上反映测三、有效数字的位数多少，在一定程度上反映测三、有效数字的位数多少，在一定程度上反映测量结果的准确度量结果的准确度量结果的准确度量结果的准确度有效数字位数越多相对误差越小，准确度越大有效数字位数越多相对误差越小，准确度越大有效数字位数越少相对误差越大，准确度越小有效数字位数越少相对误差越大，准确度越小v 加减法则加减法则：加减运算所得结果的最后一位，加减运算所得结果的最后一位，保留到所有参加运算的数中末位数保留到所有参加运算的数中末位数数量级数量级数量级数量级最大最大的那一位为止的那一位为止例：例：217-14.8=202.2结果：结果： 2022-0.8+6.3+271=347.82结果：结果：348三、有效数字的运算法则三、有效数字的运算法则三、有效数字的运算法则三、有效数字的运算法则v乘除法则乘除法则乘除法则乘除法则：积和商的位数与参与运算诸项中：积和商的位数与参与运算诸项中有效数字位数最少有效数字位数最少的那一项相同的那一项相同例：例：例：例：31.522.1=66.192结果：结果： 667996.5=5193.5结果：结果：结果结果:特殊情况：特殊情况：特殊情况：特殊情况：乘除运算时，参与运算中位数最少的数字，乘除运算时，参与运算中位数最少的数字，乘除运算时，参与运算中位数最少的数字，乘除运算时，参与运算中位数最少的数字，若首位是若首位是若首位是若首位是“ “8 8” ”或或或或“ “9 9” ”时，计算结果可以时，计算结果可以时，计算结果可以时，计算结果可以多取一位多取一位多取一位多取一位例如：例如：四、数值的修约规则四、数值的修约规则四、数值的修约规则四、数值的修约规则尾数的舍入法则尾数的舍入法则尾数的舍入法则尾数的舍入法则通常通常“小于小于5则舍则舍”，“大于大于5则入则入”，“等于等于5则凑偶则凑偶”即前一即前一位为奇数则进（奇进），以成偶位为奇数则进（奇进），以成偶数；若前一位为偶数则舍（偶舍）数；若前一位为偶数则舍（偶舍）例：例：注：注：2.51取一位有效数字，因为取一位有效数字，因为5后有一位后有一位1，满足大于，满足大于5法则，法则，则进则进统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时， 样本中独立或能自由变化的个数，称为该统计量的自由度样本中独立或能自由变化的个数，称为该统计量的自由度. 自由度计算公式：自由度自由度计算公式：自由度=样本个数样本个数-样本数据受约束条件的个数，样本数据受约束条件的个数，即即df = n - k（df自由度，自由度，n样本个数，样本个数，k约束条件个数）约束条件个数）当在估计总体的方差时，使用的是离差平方和。只要当在估计总体的方差时，使用的是离差平方和。只要n-1个数的离个数的离差平方和确定了，方差也就确定了；因为在均值确定后，如果知差平方和确定了，方差也就确定了；因为在均值确定后，如果知道了其中道了其中n-1个数的值，第个数的值，第n个数的值也就确定了。这里，均值就个数的值也就确定了。这里，均值就相当于一个限制条件，由于加了这个限制条件，估计总体方差的相当于一个限制条件，由于加了这个限制条件，估计总体方差的自由度为自由度为n-1。